|
[quote="Blockflöte"]Naime:
[code:1]
4. Zadan je vektorski prostor V, dimenzije n i A€L(V) takav da je r(A)=k, 0<k<n. Definiramo operator T:L(V)->L(V) formulom T(X)=XA. Odredite d(T).
[/code:1]
Čini mi se da oko zadatka nema mnogo posla pa ako bi nekome ne bilo preteško, molio bih da mi ukratko pokuša riješiti. Ja sam riješenje nisam uspio naći.[/quote]
To što je r(A)=k , znači da se imA može zapisati kao [{v1..k}] , gdje su v1..k nezavisni elementi od V . Skup {v1..k} je linearno nezavisan u V , pa se može nadopuniti do baze za V : neka je to {v1..n} (nadopunjeno s v{k+1}..n ). Također (usporedi s dokazom teorema o rangu i defektu), vi za i:1..k je @imA , dakle jednak je Aui , za neki ui@V . Skup {u1..k} je linearno nezavisan, i može se nadopuniti do baze za V , vektorima koji čine bazu za KerA : u{k+1}..n . Dakle, imamo dvije baze za V : {u1..n} i {v1..n} , označimo ih s Bu i Bv .
Sad pogledajmo bazu za L(V) , izgrađenu poput kanonske, samo ne polazeći od kanonske baze za V , već od baze Bv . Dakle Fij je operator @L(V) , koji u bazi Bv (dakle, u paru bazâ (Bv,Bv) ) ima kanonsku matricu Eij (dakle, vektor vj preslika u vi , a sve ostale vektore baze Bv preslika u nulvektor). {Fij;i,j:1..n} je naravno baza za L(V) . Označimo je s Bf .
Pogledajmo kako naš operator T djeluje na "vektore" (operatore) gornje baze Bf . Dakle, zanima nas za proizvoljne i,j:1..n , koliko je T(Fij) , odnosno FijoA . Označimo taj operator s Gij , i pogledajmo kako on djeluje na bazu Bu .
Podsjetimo se, Bu se sastoji od dva dijela: u1..k su vektori koji preslikani po A daju v1..k , vektore baze za imA , dok su u{k+1}..n vektori baze jezgre od A : Auj=0vektor za j:k+1..n .
Za prvi dio ( l:1..k ),
Gij(ul)=(FijoA)(ul)=Fij(A(ul))=Fij(vl)=(j=l?vi:0vektor) .
Za drugi dio (l:k+1..n ),
Gij(ul)=Fij(A(ul))=Fij(0vektor)=0vektor .
Odnosno, _ako je j:1..k _, uvijek postoji neki ul (konkretno, uj ) iz baze takav da je Gij(ul) != 0vektor , pa Gij nije nuloperator. Obrnuto, ako je j:k+1..n , bazi Bu nema spasa: vektori u1..k će se preslikati u v1..k od kojih Fij s prevelikim j-om neće prepoznati nijednoga, dok će se vektori u{k+1}..n preslikati u nulvektore, s kojima Fij neće moći učiniti ništa nego ostaviti ih tamo gdje jesu. Dakle, tad će Gij biti nuloperator (jer sve vektore baze preslikava u nulvektor).
Sad još treba vidjeti da su ovi gornji Gij-ovi (za j:1..k ) linearno nezavisni, no to se lako vidi npr. ponoću njihovih matričnih zapisâ u paru bazâ (Bu,Bv) .
Zaključak: Gij;i:1..n&j:1..k (njih nk ) tvore bazu za imT . Fij;i:1..n&j:k+1..n (njih n(n-k) ) tvore bazu za kerT . Odgovor: d(T)=n(n-k) .
Zanimljiv zadatak. :-)
| Blockflöte (napisa): | Naime:
| Kod: |
4. Zadan je vektorski prostor V, dimenzije n i A€L(V) takav da je r(A)=k, 0<k<n. Definiramo operator T:L(V)->L(V) formulom T(X)=XA. Odredite d(T).
|
Čini mi se da oko zadatka nema mnogo posla pa ako bi nekome ne bilo preteško, molio bih da mi ukratko pokuša riješiti. Ja sam riješenje nisam uspio naći. |
To što je r(A)=k , znači da se imA može zapisati kao [{v1..k}] , gdje su v1..k nezavisni elementi od V . Skup {v1..k} je linearno nezavisan u V , pa se može nadopuniti do baze za V : neka je to {v1..n} (nadopunjeno s v{k+1}..n ). Također (usporedi s dokazom teorema o rangu i defektu), vi za i:1..k je @imA , dakle jednak je Aui , za neki ui@V . Skup {u1..k} je linearno nezavisan, i može se nadopuniti do baze za V , vektorima koji čine bazu za KerA : u{k+1}..n . Dakle, imamo dvije baze za V : {u1..n} i {v1..n} , označimo ih s Bu i Bv .
Sad pogledajmo bazu za L(V) , izgrađenu poput kanonske, samo ne polazeći od kanonske baze za V , već od baze Bv . Dakle Fij je operator @L(V) , koji u bazi Bv (dakle, u paru bazâ (Bv,Bv) ) ima kanonsku matricu Eij (dakle, vektor vj preslika u vi , a sve ostale vektore baze Bv preslika u nulvektor). {Fij;i,j:1..n} je naravno baza za L(V) . Označimo je s Bf .
Pogledajmo kako naš operator T djeluje na "vektore" (operatore) gornje baze Bf . Dakle, zanima nas za proizvoljne i,j:1..n , koliko je T(Fij) , odnosno FijoA . Označimo taj operator s Gij , i pogledajmo kako on djeluje na bazu Bu .
Podsjetimo se, Bu se sastoji od dva dijela: u1..k su vektori koji preslikani po A daju v1..k , vektore baze za imA , dok su u{k+1}..n vektori baze jezgre od A : Auj=0vektor za j:k+1..n .
Za prvi dio ( l:1..k ),
Gij(ul)=(FijoA)(ul)=Fij(A(ul))=Fij(vl)=(j=l?vi:0vektor) .
Za drugi dio (l:k+1..n ),
Gij(ul)=Fij(A(ul))=Fij(0vektor)=0vektor .
Odnosno, _ako je j:1..k _, uvijek postoji neki ul (konkretno, uj ) iz baze takav da je Gij(ul) != 0vektor , pa Gij nije nuloperator. Obrnuto, ako je j:k+1..n , bazi Bu nema spasa: vektori u1..k će se preslikati u v1..k od kojih Fij s prevelikim j-om neće prepoznati nijednoga, dok će se vektori u{k+1}..n preslikati u nulvektore, s kojima Fij neće moći učiniti ništa nego ostaviti ih tamo gdje jesu. Dakle, tad će Gij biti nuloperator (jer sve vektore baze preslikava u nulvektor).
Sad još treba vidjeti da su ovi gornji Gij-ovi (za j:1..k ) linearno nezavisni, no to se lako vidi npr. ponoću njihovih matričnih zapisâ u paru bazâ (Bu,Bv) .
Zaključak: Gij;i:1..n&j:1..k (njih nk ) tvore bazu za imT . Fij;i:1..n&j:k+1..n (njih n(n-k) ) tvore bazu za kerT . Odgovor: d(T)=n(n-k) .
Zanimljiv zadatak. 
|
