| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
angelika
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 02. 2011. (17:26:51)
Postovi: (5F)16
|
|
| [Vrh] |
|
kikzmyster
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2010. (13:35:08)
Postovi: (72)16
Spol: 
|
 Postano: 12:22 ned, 13. 5. 2012 Naslov: |
    |
|
|
Uvrstavanjem [tex]B=A^t[/tex] imamo [tex]AA^t = A^tA[/tex], dakle [tex]A[/tex] je po definiciji normalna matrica. Ako [tex]A \neq 0[/tex] (za [tex]A=0[/tex] vrijedi [tex]A = \alpha I, \alpha = 0 [/tex]), onda [tex]A[/tex] ima svojstvenu vrijednost, jer se svaka normalna matrica moze dijagonalizirati. Oznacimo taj svojstveni vektor sa [tex]x[/tex], i svojstvenu vrijednost s [tex]\alpha[/tex]. Sad imamo [tex]ABx = BAx \Rightarrow A(Bx) = \alpha Bx \Rightarrow Bx[/tex] je svojstveni vektor (za svojstvenu vrijednost [tex]\alpha[/tex]), za svaki [tex]B[/tex]. Ali to znaci da za bilo koji [tex]y \in V[/tex] vrijedi [tex]Ay = \alpha y[/tex], jer mozemo definirati [tex]B[/tex] tako da [tex]x[/tex] preslikava u [tex]y[/tex]. Dakle [tex]Ay=\alpha y, \forall y \in V \ \Rightarrow (A-\alpha I)y = 0, \forall y \in V \ \Rightarrow A - \alpha I = 0 \Rightarrow A=\alpha I[/tex].
Bilo bi lijepo kad bi se moglo pokazati da A ima svojstvenu vrijednost bez pozivanja na teoriju o normalnim matricama, ali mi nije bas uspjelo.
Uvrstavanjem [tex]B=A^t[/tex] imamo [tex]AA^t = A^tA[/tex], dakle [tex]A[/tex] je po definiciji normalna matrica. Ako [tex]A \neq 0[/tex] (za [tex]A=0[/tex] vrijedi [tex]A = \alpha I, \alpha = 0 [/tex]), onda [tex]A[/tex] ima svojstvenu vrijednost, jer se svaka normalna matrica moze dijagonalizirati. Oznacimo taj svojstveni vektor sa [tex]x[/tex], i svojstvenu vrijednost s [tex]\alpha[/tex]. Sad imamo [tex]ABx = BAx \Rightarrow A(Bx) = \alpha Bx \Rightarrow Bx[/tex] je svojstveni vektor (za svojstvenu vrijednost [tex]\alpha[/tex]), za svaki [tex]B[/tex]. Ali to znaci da za bilo koji [tex]y \in V[/tex] vrijedi [tex]Ay = \alpha y[/tex], jer mozemo definirati [tex]B[/tex] tako da [tex]x[/tex] preslikava u [tex]y[/tex]. Dakle [tex]Ay=\alpha y, \forall y \in V \ \Rightarrow (A-\alpha I)y = 0, \forall y \in V \ \Rightarrow A - \alpha I = 0 \Rightarrow A=\alpha I[/tex].
Bilo bi lijepo kad bi se moglo pokazati da A ima svojstvenu vrijednost bez pozivanja na teoriju o normalnim matricama, ali mi nije bas uspjelo.
|
|
| [Vrh] |
|
angelika
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 02. 2011. (17:26:51)
Postovi: (5F)16
|
|
| [Vrh] |
|
kikzmyster
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2010. (13:35:08)
Postovi: (72)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
angelika
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 02. 2011. (17:26:51)
Postovi: (5F)16
|
|
| [Vrh] |
|
butterfly
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 07. 2010. (16:27:56)
Postovi: (4)16
|
|
| [Vrh] |
|
gflegar
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 10. 2011. (15:03:41)
Postovi: (10D)16
Spol:
|
| Postano: 16:50 pon, 14. 5. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="kikzmyster"]Bilo bi lijepo kad bi se moglo pokazati da A ima svojstvenu vrijednost bez pozivanja na teoriju o normalnim matricama, ali mi nije bas uspjelo.[/quote]
Mozda ovako nekako:
Ako [tex]A[/tex] nije regularan operator postoji [tex]x \in Ker\ A, x \neq 0 \Rightarrow Ax = 0 = 0x \Rightarrow 0 \in \sigma(A)[/tex].
Ako je [tex]A[/tex] regularan, pretpostavimo da on nema svojstvenih vrijednosti.
Neka je [tex]\{e_1, \ldots, e_n\}[/tex] baza za [tex]V[/tex]. Skup [tex]e = \{Ae_1, e_1, \ldots, e_n\}[/tex] je sustav izvodnica za V. Zbog injektivnosti operatora [tex]A[/tex] je [tex]Ae_1 \neq 0[/tex]. Jer [tex]A[/tex] nema svojstvenih vrijednosti ne postoji [tex]\lambda[/tex] takav da je [tex] e_1 = \lambda Ae_1[/tex] pa su vektori [tex]e_1[/tex] i [tex]Ae_1[/tex] linearno nezavisni.
Reduciramo skup [tex]e[/tex] do baze... [tex] e' = \{Ae_1, e_1, \ldots, e_{k-1}, e_{k+1}, \ldots e_n\}[/tex] i definiramo operatore [tex]B_1[/tex] i [tex]B_2[/tex] na bazi [tex]e'[/tex] sa:
[dtex] B_1(Ae_1) = e_1, \ \ \ B_1(e_i) = e_1 \forall i = 1, 2, \ldots k-1, k + 1, \ldots, n[/dtex]
[dtex] B_2(Ae_1) = e_2, \ \ \ B_2(e_i) = e_1 \forall i = 1, 2, \ldots k-1, k + 1, \ldots, n[/dtex]
Iz [tex]AB = BA\ \ \forall B \in L(V)[/tex] imamo [tex] Ae_1 = AB_1e_1 = B_1Ae_1 = e_1 [/tex] i [tex]Ae_1 = AB_2e_1 = B_2Ae_1 = e_2[/tex] pa je [tex] e_1 = Ae_1 = e_2[/tex] sto je kontradikcija sa linearnom nezavisnoscu vektora [tex]e_1[/tex] i [tex]e_2[/tex].
Dakle, [tex]\sigma(A) \neq \emptyset[/tex].
@butterfly: Sutra :)
| kikzmyster (napisa): | | Bilo bi lijepo kad bi se moglo pokazati da A ima svojstvenu vrijednost bez pozivanja na teoriju o normalnim matricama, ali mi nije bas uspjelo. |
Mozda ovako nekako:
Ako [tex]A[/tex] nije regularan operator postoji [tex]x \in Ker\ A, x \neq 0 \Rightarrow Ax = 0 = 0x \Rightarrow 0 \in \sigma(A)[/tex].
Ako je [tex]A[/tex] regularan, pretpostavimo da on nema svojstvenih vrijednosti.
Neka je [tex]\{e_1, \ldots, e_n\}[/tex] baza za [tex]V[/tex]. Skup [tex]e = \{Ae_1, e_1, \ldots, e_n\}[/tex] je sustav izvodnica za V. Zbog injektivnosti operatora [tex]A[/tex] je [tex]Ae_1 \neq 0[/tex]. Jer [tex]A[/tex] nema svojstvenih vrijednosti ne postoji [tex]\lambda[/tex] takav da je [tex] e_1 = \lambda Ae_1[/tex] pa su vektori [tex]e_1[/tex] i [tex]Ae_1[/tex] linearno nezavisni.
Reduciramo skup [tex]e[/tex] do baze... [tex] e' = \{Ae_1, e_1, \ldots, e_{k-1}, e_{k+1}, \ldots e_n\}[/tex] i definiramo operatore [tex]B_1[/tex] i [tex]B_2[/tex] na bazi [tex]e'[/tex] sa:
[dtex] B_1(Ae_1) = e_1, \ \ \ B_1(e_i) = e_1 \forall i = 1, 2, \ldots k-1, k + 1, \ldots, n[/dtex]
[dtex] B_2(Ae_1) = e_2, \ \ \ B_2(e_i) = e_1 \forall i = 1, 2, \ldots k-1, k + 1, \ldots, n[/dtex]
Iz [tex]AB = BA\ \ \forall B \in L(V)[/tex] imamo [tex] Ae_1 = AB_1e_1 = B_1Ae_1 = e_1 [/tex] i [tex]Ae_1 = AB_2e_1 = B_2Ae_1 = e_2[/tex] pa je [tex] e_1 = Ae_1 = e_2[/tex] sto je kontradikcija sa linearnom nezavisnoscu vektora [tex]e_1[/tex] i [tex]e_2[/tex].
Dakle, [tex]\sigma(A) \neq \emptyset[/tex].
@butterfly: Sutra 
|
|
| [Vrh] |
|
frutabella
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36)
Postovi: (24E)16
|
|
| [Vrh] |
|
Zenon
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
| [Vrh] |
|
pllook
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 11. 2013. (20:56:12)
Postovi: (CD)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
MyLegHurts
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 01. 2014. (14:36:37)
Postovi: (12)16
|
|
| [Vrh] |
|
room
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 11. 2013. (15:41:40)
Postovi: (78)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
|
nisam skužila od prve. Još jednom hvala 
