|
Evo i (uobičajenog) komentara o načinima rješavanja
i tipičnim pogreškama pri rješavanju zadataka na testu.
Možda bude od koristi za ubuduće.
Najviše zabune izaziva računanje s linearnim funkcionalima,
a dosta kompliciranja i pogrešaka ima i u zadacima s
linearnim operatorima na V3(O), kad se gubi iz vida
geometrijski smisao koji često može biti od velike pomoći.
Kod linearnih funkcionala, dio studenata "zna postupak"
(invertira se matrica prijelaza pa se iz nje nekako pročitaju
funkcionali iz dualne baze), no zatim se naprave pogreške
koje ukazuju na nerazumijevanje toga što se uopće radi.
Dosta puta se za funkcionale na prostoru polinoma
kao rješenje napisalo da su to (dakle, ti funkcionali)
također polinomi (??).
Npr. za funkcional na prostoru polinoma stupnja najviše 3
dobije se matrični zapis [ 1 0 0 1] (koji je točan).
a onda se "očita" da je taj funkcional jednak 1 + t^3.
Ne, to je funkcional koji polinomima 1, t, t^2 i t^3
redom pridružuje skalare 1, 0, 0, 1, odnosno općem polinomu
a + bt + c t^2 + d t^3 pridružuje skalar a+d.
Ključne pogreške tog tipa (ili ako se "miješa" i dobra i sasvim
pogrešna varijanta) itekako odnose bodove.
Dio studenata, ipak, sasvim se dobro snalazi i primjenjuje
različite metode izračunavanja, zahvaljujući razumijevanju
onoga što računaju.
U nekim zadacima mogli su se izbjeći podulji izračuni,
ako se umjesto "grube sile" (dobro, ne baš jako grube)
iskoristi malo "teorije". Jasno da će mnogi studenti radije
pribjeći "sigurnom" načinu računanja, naročito na testu.
ali zato bi bilo dobro još kod rješavanja domaće zadaće
malo više pozornosti posvetiti smislu zadatka.
Najbolji primjer bio je u zadacima one skupine na testu
gdje se u 1. zadatku promatralo operatore I-A i I+A
(A je operator ortogonalne projekcije na 2-dim. potprostor)
na V3(O),
a u 2. zadatku trebalo je za funkcional na prostoru polinoma,
zadan stanovitim integralom (od 0 do 1) ispitati je li to
linearni funkcional pa, ako jest, odrediti mu rang i defekt.
Kod rješavanja ovih zadataka baš je jako izraženo koliko
se to može sažeti ako se pisanje zamijeni s malo
više razmišljanja, da tako kažem.
U zadatku s operatorima, 2- dim. potprostor zadan je
jednom bazom pa se mogu izračunati matrice
za A, I-A i I+A te ustanoviti jesu li drugi i treći operator
izomorfizmi (A to očito nije). Dodatnim pitanjem (ovise li
zaključci o konkretnom potprostoru na kojii se projicira)
pokušao sam sugerirati malo općenitije razmatranje, no to
baš i nije imalo odziva.
No, uglavnom: znamo da svaki vektor v ima jednoznačan
rastav kao zbroj njegove ortogonalne projekcije na
potprostor i vektora v' ortogonalnog na taj potprostor
(ovdje govorimo o 2-dim. i 1-dim. potprostoru).
Stoga, taj rastav nije ništa drugo nego zapis
v = Av + v', odnosno (I-A)v = v'.
Dakle, operator I-A je ortogonalni projektor na
smjer ortogonalan na zadani potprostor pa mu je očito
rang 1, a defekt 2 ("obrnute" vrijednosti od onih za A).
To ne ovisi o konkretnom 2-dim. potprostoru, jednostavno
je I-A projektor na 1-dim. potprostor
(a neki su baš tako i računali projekciju, pomoću
v - (v,n)n = Av, znači (I-A)v = (v,n)n).
Račun sa zadanim vektorima je OK, ali suvišan.
Za I+A stvar je drukčija, ali se također lako riješi
bez "konkretnih" vektora.
Za vektor x iz Ker(I+A) vrijedi (I+A)x = 0,
dakle Ax = -x, no kako je A ortogonalni projektor,
očito je to moguće samo za x=0. Znači, I+A je mono,
pa i izomorfizam.
(Usput, ovo sve sam i pokazao nekim studentima koji su došli
na konzultacije, ali takvih ima vrlo malo).
U jednom drugom zadatku, kod provjere je li zadani
operator S projektor i je li ortogonalan, neki su
propustili provjeriti da je S^2 = S, tj. je li S uopće
operator projiciranja, a smjer projiciranja (ortogonalnost)
drugo je pitanje (da li S preslika vektor normale u 0).
Zadatak s funkcionalom pomoću integrala: većina u toj
grupi znala je dokazati linearnost i bez uvrštavanja
konkretnog zapisa polinoma s njegovim koeficijentima.
No, za traženje ranga i defekta, svi su uvrštavali polinom,
integrirali itd, što i nije tako strašan posao (integriranje
polinoma stupnja 5), ali se može
"elegantno" izbjeći. Naime, linearni funkcional ili je ranga 1
ili je nulfunkcional. Ako uočimo barem jedan određeni
polinom p za kojeg je f(p) skalar različit od 0, to nam
je sasvim dovoljno. Pa, uzmimo recimo p(t) = 1.
Za zadani f imamo tada: f(p) je Integral (od 0 do 1)
polinoma t^2, a to je 1/3. Ništa više nam ne treba, jer znamo
već da je f [b]linearni[/b] funkcional.
Zasad toliko, za ranojutarnji komentar iz teorije i prakse
testova iz Linearne algebre.
Evo i (uobičajenog) komentara o načinima rješavanja
i tipičnim pogreškama pri rješavanju zadataka na testu.
Možda bude od koristi za ubuduće.
Najviše zabune izaziva računanje s linearnim funkcionalima,
a dosta kompliciranja i pogrešaka ima i u zadacima s
linearnim operatorima na V3(O), kad se gubi iz vida
geometrijski smisao koji često može biti od velike pomoći.
Kod linearnih funkcionala, dio studenata "zna postupak"
(invertira se matrica prijelaza pa se iz nje nekako pročitaju
funkcionali iz dualne baze), no zatim se naprave pogreške
koje ukazuju na nerazumijevanje toga što se uopće radi.
Dosta puta se za funkcionale na prostoru polinoma
kao rješenje napisalo da su to (dakle, ti funkcionali)
također polinomi (??).
Npr. za funkcional na prostoru polinoma stupnja najviše 3
dobije se matrični zapis [ 1 0 0 1] (koji je točan).
a onda se "očita" da je taj funkcional jednak 1 + t^3.
Ne, to je funkcional koji polinomima 1, t, t^2 i t^3
redom pridružuje skalare 1, 0, 0, 1, odnosno općem polinomu
a + bt + c t^2 + d t^3 pridružuje skalar a+d.
Ključne pogreške tog tipa (ili ako se "miješa" i dobra i sasvim
pogrešna varijanta) itekako odnose bodove.
Dio studenata, ipak, sasvim se dobro snalazi i primjenjuje
različite metode izračunavanja, zahvaljujući razumijevanju
onoga što računaju.
U nekim zadacima mogli su se izbjeći podulji izračuni,
ako se umjesto "grube sile" (dobro, ne baš jako grube)
iskoristi malo "teorije". Jasno da će mnogi studenti radije
pribjeći "sigurnom" načinu računanja, naročito na testu.
ali zato bi bilo dobro još kod rješavanja domaće zadaće
malo više pozornosti posvetiti smislu zadatka.
Najbolji primjer bio je u zadacima one skupine na testu
gdje se u 1. zadatku promatralo operatore I-A i I+A
(A je operator ortogonalne projekcije na 2-dim. potprostor)
na V3(O),
a u 2. zadatku trebalo je za funkcional na prostoru polinoma,
zadan stanovitim integralom (od 0 do 1) ispitati je li to
linearni funkcional pa, ako jest, odrediti mu rang i defekt.
Kod rješavanja ovih zadataka baš je jako izraženo koliko
se to može sažeti ako se pisanje zamijeni s malo
više razmišljanja, da tako kažem.
U zadatku s operatorima, 2- dim. potprostor zadan je
jednom bazom pa se mogu izračunati matrice
za A, I-A i I+A te ustanoviti jesu li drugi i treći operator
izomorfizmi (A to očito nije). Dodatnim pitanjem (ovise li
zaključci o konkretnom potprostoru na kojii se projicira)
pokušao sam sugerirati malo općenitije razmatranje, no to
baš i nije imalo odziva.
No, uglavnom: znamo da svaki vektor v ima jednoznačan
rastav kao zbroj njegove ortogonalne projekcije na
potprostor i vektora v' ortogonalnog na taj potprostor
(ovdje govorimo o 2-dim. i 1-dim. potprostoru).
Stoga, taj rastav nije ništa drugo nego zapis
v = Av + v', odnosno (I-A)v = v'.
Dakle, operator I-A je ortogonalni projektor na
smjer ortogonalan na zadani potprostor pa mu je očito
rang 1, a defekt 2 ("obrnute" vrijednosti od onih za A).
To ne ovisi o konkretnom 2-dim. potprostoru, jednostavno
je I-A projektor na 1-dim. potprostor
(a neki su baš tako i računali projekciju, pomoću
v - (v,n)n = Av, znači (I-A)v = (v,n)n).
Račun sa zadanim vektorima je OK, ali suvišan.
Za I+A stvar je drukčija, ali se također lako riješi
bez "konkretnih" vektora.
Za vektor x iz Ker(I+A) vrijedi (I+A)x = 0,
dakle Ax = -x, no kako je A ortogonalni projektor,
očito je to moguće samo za x=0. Znači, I+A je mono,
pa i izomorfizam.
(Usput, ovo sve sam i pokazao nekim studentima koji su došli
na konzultacije, ali takvih ima vrlo malo).
U jednom drugom zadatku, kod provjere je li zadani
operator S projektor i je li ortogonalan, neki su
propustili provjeriti da je S^2 = S, tj. je li S uopće
operator projiciranja, a smjer projiciranja (ortogonalnost)
drugo je pitanje (da li S preslika vektor normale u 0).
Zadatak s funkcionalom pomoću integrala: većina u toj
grupi znala je dokazati linearnost i bez uvrštavanja
konkretnog zapisa polinoma s njegovim koeficijentima.
No, za traženje ranga i defekta, svi su uvrštavali polinom,
integrirali itd, što i nije tako strašan posao (integriranje
polinoma stupnja 5), ali se može
"elegantno" izbjeći. Naime, linearni funkcional ili je ranga 1
ili je nulfunkcional. Ako uočimo barem jedan određeni
polinom p za kojeg je f(p) skalar različit od 0, to nam
je sasvim dovoljno. Pa, uzmimo recimo p(t) = 1.
Za zadani f imamo tada: f(p) je Integral (od 0 do 1)
polinoma t^2, a to je 1/3. Ništa više nam ne treba, jer znamo
već da je f linearni funkcional.
Zasad toliko, za ranojutarnji komentar iz teorije i prakse
testova iz Linearne algebre.
|
