| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
defar
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 01. 2004. (01:37:19)
Postovi: (152)16
|
 Postano: 10:11 pet, 10. 9. 2004 Naslov: |
    |
|
|
limes funkcije definira se za tocku koja je gomiliste domene funkcije,
i cesto je korisna stvar, ako je domena funkcije nekakav gust skup.
primijeti, uostalom, da limes funkcije moze postojati u tocki u kojoj funkcija uopce nije definirana.
s druge strane, mi smo definirali neprekidnost funkcije _u tocki iz domene_, koja je(domena) topoloski potprostor od IR_n, s obzirom na topologiju otvorenih skupova.
to znaci da je i skup S:=(1,2,3) topoloski potprostor od IR.
otvorena kugla radijusa R<=1 oko tocke 1 je skup koji sadrzi sve tocke iz S, za manje od R udaljene od 1 - a to je skup koji sadrzi samo tocku 1.
a ocito je da skup S uopce nema gomiliste.
dakle, ja bi rekla: moze i nisi bas krivo shvatila, samo ti treba malo vremena da se priviknes na neprekidnost funkcija iz jednog u drugi TOPOLOSKI prostor, koja je malo opceniti pojam od neprekidnosti sa segmenta kao podskupa od IR.
jel, veky, daj reci koju...meni je tek dobar jutar borna doljaz na kavu :oops:
mislim da nisam nista krivo rekla, al da je moglo i bolje.
limes funkcije definira se za tocku koja je gomiliste domene funkcije,
i cesto je korisna stvar, ako je domena funkcije nekakav gust skup.
primijeti, uostalom, da limes funkcije moze postojati u tocki u kojoj funkcija uopce nije definirana.
s druge strane, mi smo definirali neprekidnost funkcije _u tocki iz domene_, koja je(domena) topoloski potprostor od IR_n, s obzirom na topologiju otvorenih skupova.
to znaci da je i skup S:=(1,2,3) topoloski potprostor od IR.
otvorena kugla radijusa R<=1 oko tocke 1 je skup koji sadrzi sve tocke iz S, za manje od R udaljene od 1 - a to je skup koji sadrzi samo tocku 1.
a ocito je da skup S uopce nema gomiliste.
dakle, ja bi rekla: moze i nisi bas krivo shvatila, samo ti treba malo vremena da se priviknes na neprekidnost funkcija iz jednog u drugi TOPOLOSKI prostor, koja je malo opceniti pojam od neprekidnosti sa segmenta kao podskupa od IR.
jel, veky, daj reci koju...meni je tek dobar jutar borna doljaz na kavu 
mislim da nisam nista krivo rekla, al da je moglo i bolje.
_________________
`To begin with, a dog's not mad. You grant that? 'Well, then,' the Cat went on, `you see, a dog growls when it's angry, and wags its tail when it's pleased. Now I growl when I'm pleased, and wag my tail when I'm angry. Therefore I'm mad.'
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 12:00 pet, 10. 9. 2004 Naslov: Re: neprekidnost i limes |
|
|
|
[quote="Anonymous"]Da li postoji funkcija koja je neprekidna u nekoj tocki, a da nema limes u toj tocki?
npr. ako je to izolirana tocka domene funkcije, limes ne postoji u izoliranoj tocki, a funcija je neprekidna....ili sam ja to nesto krivo shvatila :?
.....moze neki primjer ako postoji....hvala.....[/quote]
Wrong view. Limes (funkcije) ne može postojati (preciznije, nije definirano pričanje o limesu - npr. nemaš čak ni potvrdu jedinstvenosti) u točkama koje nisu gomilišta domene - nema nikakve direktne veze jesu li u domeni ili nisu. Npr. ako je domena D:={0}U[1,2> , skup gomilištâ domene je D'=[1,2] -- 0 je u domeni ali nije gomilište (i nema smisla promatrati limes), dok 2 nije u domeni ali jest gomilište točaka domene (i ima smisla promatrati limes, ali nema smisla promatrati neprekidnost, jer ti za to treba vrijednost funkcije u točki).
Da rezimiramo: Domena funkcije f , D , je jedan skup. Skup točaka u kojima ima smisla pričati o limesu funkcije f , je skup gomilištâ od D , D' , koji ne mora biti ni podskup ni nadskup od D . Skup točaka u kojima ima smisla pričati o neprekidnosti funkcije f , je njihov presjek, D'nD ((svaka sličnost sa zmajevima i tamnicama je potpuno slučajna; )).
Neprekidnost se _definira_ preko limesa u točki. So, bilo bi prilično blesavo _na osnovu te definicije_ reći da je funkcija definirana (kao nulfunkcija, npr.) na gornjem skupu D={0}U[1,2> , neprekidna u točki 0 .
Naravno, postoji i Cauchyjeva definicija neprekidnosti, po kojoj gornja funkcija _jest_ neprekidna u 0 (za bilo koji eps , delta:=1 , npr.) - no ekvivalentnost definicije preko limesa i Cauchyjeve definicije vrijedi samo u točkama skupa D'nD (ako sam dobro informiran, vi ste tu ekvivalenciju dokazali na predavanjima, za interval - naravno, ako je D interval (bilo kakav - zatvoren, poluotvoren, beskonačan,...), D' je nadskup od D , pa je D'nD=D , pa se područja na kojima te definicije imaju smisla poklapaju.
(Mi nismo imali tih problemâ, jer smo radili neprekidnost po Cauchyjevoj definiciji. 8) ) Teoretski, moguće je i okrenuti stvar upside down, pa proširiti vašu definiciju neprekidnosti i na izolirane točke domene (tako da se slaže s Cauchyjevom), a moguće je i otići još jedan korak dalje i _definirati_ limes u izoliranoj točki kao funkcijsku vrijednost, samo zato da bi definicije neprekidnosti mogle ostati nepromijenjene - no to je već megablesavo, između ostalog zato što se kosi s osnovnim principom da vrijednost funkcije u točki ne smije utjecati na vrijednost limesa funkcije u toj točki:-).
| Anonymous (napisa): | Da li postoji funkcija koja je neprekidna u nekoj tocki, a da nema limes u toj tocki?
npr. ako je to izolirana tocka domene funkcije, limes ne postoji u izoliranoj tocki, a funcija je neprekidna....ili sam ja to nesto krivo shvatila 
.....moze neki primjer ako postoji....hvala..... |
Wrong view. Limes (funkcije) ne može postojati (preciznije, nije definirano pričanje o limesu - npr. nemaš čak ni potvrdu jedinstvenosti) u točkama koje nisu gomilišta domene - nema nikakve direktne veze jesu li u domeni ili nisu. Npr. ako je domena D:={0}U[1,2> , skup gomilištâ domene je D'=[1,2] – 0 je u domeni ali nije gomilište (i nema smisla promatrati limes), dok 2 nije u domeni ali jest gomilište točaka domene (i ima smisla promatrati limes, ali nema smisla promatrati neprekidnost, jer ti za to treba vrijednost funkcije u točki).
Da rezimiramo: Domena funkcije f , D , je jedan skup. Skup točaka u kojima ima smisla pričati o limesu funkcije f , je skup gomilištâ od D , D' , koji ne mora biti ni podskup ni nadskup od D . Skup točaka u kojima ima smisla pričati o neprekidnosti funkcije f , je njihov presjek, D'nD ((svaka sličnost sa zmajevima i tamnicama je potpuno slučajna; )).
Neprekidnost se _definira_ preko limesa u točki. So, bilo bi prilično blesavo _na osnovu te definicije_ reći da je funkcija definirana (kao nulfunkcija, npr.) na gornjem skupu D={0}U[1,2> , neprekidna u točki 0 .
Naravno, postoji i Cauchyjeva definicija neprekidnosti, po kojoj gornja funkcija _jest_ neprekidna u 0 (za bilo koji eps , delta:=1 , npr.) - no ekvivalentnost definicije preko limesa i Cauchyjeve definicije vrijedi samo u točkama skupa D'nD (ako sam dobro informiran, vi ste tu ekvivalenciju dokazali na predavanjima, za interval - naravno, ako je D interval (bilo kakav - zatvoren, poluotvoren, beskonačan,...), D' je nadskup od D , pa je D'nD=D , pa se područja na kojima te definicije imaju smisla poklapaju.
(Mi nismo imali tih problemâ, jer smo radili neprekidnost po Cauchyjevoj definiciji.  ) Teoretski, moguće je i okrenuti stvar upside down, pa proširiti vašu definiciju neprekidnosti i na izolirane točke domene (tako da se slaže s Cauchyjevom), a moguće je i otići još jedan korak dalje i _definirati_ limes u izoliranoj točki kao funkcijsku vrijednost, samo zato da bi definicije neprekidnosti mogle ostati nepromijenjene - no to je već megablesavo, između ostalog zato što se kosi s osnovnim principom da vrijednost funkcije u točki ne smije utjecati na vrijednost limesa funkcije u toj točki:-).
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 12:08 pet, 10. 9. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="defar"]s druge strane, mi smo definirali neprekidnost funkcije _u tocki iz domene_, koja je(domena) topoloski potprostor od IR_n, s obzirom na topologiju otvorenih skupova.[/quote]
In a way, "topologija otvorenih skupova" je pleonazam - svaka topologija je topologija otvorenih skupova, po definiciji: elementi topologije _zovu se_ otvoreni skupovi. :-p
Osim ako misliš na kvaziproširenje one definicije s |R , "otvoren skup :je unija otvorenih intervalâ", na |R^n (to bi onda valjda išlo "otvoren skup :je unija produkata otvorenih intervalâ (koja je podskup od |R^n )". Ili na metrički otovrene skupove (preko kugli)... no svejedno mi čudno zvuči "topologija otvorenih skupova". Bar onda reci "topologija metrički otvorenih skupova".
(Jest da mi uopće nije jasno što će ti topologija tu, al dobro.: )
[quote]to znaci da je i skup S:=(1,2,3) topoloski potprostor od IR.[/quote]
S:={1,2,3} , valjda. :-)
[quote]dakle, ja bi rekla: moze i nisi bas krivo shvatila, samo ti treba malo vremena da se priviknes na neprekidnost funkcija iz jednog u drugi TOPOLOSKI prostor, koja je malo opceniti pojam od neprekidnosti sa segmenta kao podskupa od IR.[/quote]
Mislim da stvarno ne treba skočiti već u topološke prostore - tim više što žena čak nije ni pitala za |R^n , nego najobičniji |R ... no ako je tebi tako lakše... :-)
[quote]jel, veky, daj reci koju...meni je tek dobar jutar borna doljaz na kavu :oops:
mislim da nisam nista krivo rekla, al da je moglo i bolje.[/quote]
Imaš gore.
| defar (napisa): | | s druge strane, mi smo definirali neprekidnost funkcije _u tocki iz domene_, koja je(domena) topoloski potprostor od IR_n, s obzirom na topologiju otvorenih skupova. |
In a way, "topologija otvorenih skupova" je pleonazam - svaka topologija je topologija otvorenih skupova, po definiciji: elementi topologije _zovu se_ otvoreni skupovi. :-p
Osim ako misliš na kvaziproširenje one definicije s |R , "otvoren skup :je unija otvorenih intervalâ", na |R^n (to bi onda valjda išlo "otvoren skup :je unija produkata otvorenih intervalâ (koja je podskup od |R^n )". Ili na metrički otovrene skupove (preko kugli)... no svejedno mi čudno zvuči "topologija otvorenih skupova". Bar onda reci "topologija metrički otvorenih skupova".
(Jest da mi uopće nije jasno što će ti topologija tu, al dobro.: )
| Citat: | | to znaci da je i skup S:=(1,2,3) topoloski potprostor od IR. |
S:={1,2,3} , valjda. 
| Citat: | | dakle, ja bi rekla: moze i nisi bas krivo shvatila, samo ti treba malo vremena da se priviknes na neprekidnost funkcija iz jednog u drugi TOPOLOSKI prostor, koja je malo opceniti pojam od neprekidnosti sa segmenta kao podskupa od IR. |
Mislim da stvarno ne treba skočiti već u topološke prostore - tim više što žena čak nije ni pitala za |R^n , nego najobičniji |R ... no ako je tebi tako lakše...
| Citat: | jel, veky, daj reci koju...meni je tek dobar jutar borna doljaz na kavu
mislim da nisam nista krivo rekla, al da je moglo i bolje. |
Imaš gore.
|
|
| [Vrh] |
|
defar
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 01. 2004. (01:37:19)
Postovi: (152)16
|
| Postano: 12:36 pet, 10. 9. 2004 Naslov: |
|
|
|
da, htjedoh rec "topologija otv. kugala u euklidskom prostoru" ... :oops:
mi smo u stvari samo malo spomenuli topoloske prostore, kad se neko svojstvo moglo bez puno predznanja poopciti, uglavnom smo zivjeli u IR_n kao metr. prostoru.
"mi" smo u IR_n:
1 definirali neprekidnost onako "preko otv. kugala/skupova",
2 onda smo def. pojam limesa funkcije u gomilistu domene,
pa pokazali ako fja f ima limes u nekoj tocki P iz domene, i taj limes je jednak f(P),
onda je f nepr. u P,
3 pa pokazali jos da vrijedi Heineova karakterizacija neprekidnosti funkcije u tocki iz domene.
(koja koristi limes niza u IR_n)
hm...te tri stvari jesu ekvivalentne, ako domena ima izoliranu tocku, onda bi se moglo reci da
ona nema limes u toj tocci, ali da je je ona nepr. u toj tocki..po 1...hm, sigurno,
po 3...jedini niz cija je slika u (P) /*ovo je skup koji sadrzi samo tocku P iz domene fje*/
je konstantan niz...moglo bi se reci i po 3 , da je ta fja nepr.
2 se medjutim ne odnosi u uopce na taj slucaj, jer fja nema limes u P
dakle, fja je nepr. u P, a nema limes.
hm...sad idem razmislit sto si ti sve rekao... :?
da, htjedoh rec "topologija otv. kugala u euklidskom prostoru" ...
mi smo u stvari samo malo spomenuli topoloske prostore, kad se neko svojstvo moglo bez puno predznanja poopciti, uglavnom smo zivjeli u IR_n kao metr. prostoru.
"mi" smo u IR_n:
1 definirali neprekidnost onako "preko otv. kugala/skupova",
2 onda smo def. pojam limesa funkcije u gomilistu domene,
pa pokazali ako fja f ima limes u nekoj tocki P iz domene, i taj limes je jednak f(P),
onda je f nepr. u P,
3 pa pokazali jos da vrijedi Heineova karakterizacija neprekidnosti funkcije u tocki iz domene.
(koja koristi limes niza u IR_n)
hm...te tri stvari jesu ekvivalentne, ako domena ima izoliranu tocku, onda bi se moglo reci da
ona nema limes u toj tocci, ali da je je ona nepr. u toj tocki..po 1...hm, sigurno,
po 3...jedini niz cija je slika u (P) /*ovo je skup koji sadrzi samo tocku P iz domene fje*/
je konstantan niz...moglo bi se reci i po 3 , da je ta fja nepr.
2 se medjutim ne odnosi u uopce na taj slucaj, jer fja nema limes u P
dakle, fja je nepr. u P, a nema limes.
hm...sad idem razmislit sto si ti sve rekao...
_________________
`To begin with, a dog's not mad. You grant that? 'Well, then,' the Cat went on, `you see, a dog growls when it's angry, and wags its tail when it's pleased. Now I growl when I'm pleased, and wag my tail when I'm angry. Therefore I'm mad.'
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
|
)