Zadatak, kolokvij 2011. (zadatak)

[arc]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2010-11/kolokvij1.pdf

3. zadatak

Nikako ne mogu pokazati da je skup kompaktan, točnije da je ograničen. I onda ne mogu bit sigurna jesu li mi točke koje dobijem minimum i maksimum ove funkcije. Mogu jedino probati naći neke točke, pa kad ih uvrstim da postižu manju odnosno veću vrijednost od tih točki, pa pokazat da nisu minimum i maksimum, ali u ovom slučaju mi to nije uspjelo. Pa može li mi netko objasniti što da radim sad?

[Loo]

Ni ne možeš pokazati da je ograničen, kad nije ograničen
Kad se izraz malo sredi dobiješ:
[tex](x-1)(y-1)=3[/tex]
[tex]y=\frac{3}{x-1}+1[/tex]
To znaš nacrtati i onda je sa slike očito da skup nije ograničen (ima asimptote).
Budući da nije ograničen, funkcija [tex]F(x,y)=x^2+y^2[/tex] (mjeri kvadrat udaljenosti od ishodišta)
ne postiže globalni maksimum na tom skupu.
To možeš dokazati tako da uzmeš npr da je [tex]x[/tex] jako blizu [tex]1[/tex] (sa slike se vidi da onda [tex]y\to \pm \infty[/tex])
Konkretno, uzmemo [tex]x=1+\varepsilon, \; \varepsilon>0[/tex].
Onda je [tex]y=\frac{3}{\varepsilon}+1[/tex] i imamo [tex]F(x,y)=(1+\varepsilon) ^2+(\frac{3}{\varepsilon}+1)^2[/tex],
što teži u [tex]+\infty[/tex] kad [tex]\varepsilon \to 0[/tex], dakle maksimum ne postoji.

[marička]

znam da je malo offtopic al nitko mi nece odgovoriti pa cu probati ovdje

može li mi netko reći(odnosno pokazati) kako se racuna ostatak kod Taylorovog razvoja ?
konkretno moze za zadatak s vjezbi
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/vjezbe9.pdf

1.16.(na zadnjoj stranici)

[Serenity]

[marička]

hvala, mislim to mi je jasno iz ovog zadatka

al inace jel mozda ide R(x,y)=f(x,y)-T(x,y) gdje T(x,y) taylorov polinom?

Added after 2 minutes:

jer se ostatak po def racuna kao diferencijal u tocki c koja je iz sehmenta[v,v0]

a v0 je tocka oko koje razvijamo polinom a v tocka u njenoj okolini
dakle, neznamo koja konkretno tocka je c, ti si ovdje uzela da je c=(0,0) a to je zapravo v0 pa me zanima mozemo li tak uzeti da je c=v0, ili ipak ne?

[Serenity]

da, vidiš... zanemarila sam da pise u tocki c

hm, onda bi nam gore trebalo ostat samo sin(c)*x^4 kao ostatak?

[marička]

ee to neznam... bilo bi lijepo kad bi nam netko tko zna malo to pojasnio

[Loo]

[marička]

hvala puno