| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Cass
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
shimija
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 01. 2007. (18:33:54)
Postovi: (138)16
Spol: 
Lokacija: Spljit
|
 Postano: 0:12 uto, 18. 2. 2014 Naslov: Re: Popravni kolokvij 2013. |
    |
|
|
[quote="Cass"]Moze li mi netko objasniti sljedeci zadatak: Ako je C iz L(V3(O)) koji ima trostruku svojstvenu vrijednost 1, kolika sve može biti geometrijska kratnost? Navedite primjere C za svaki mogući slučaj.?
Jasno mi je da ako je svojstvena vrijednost trostruka da je i algebarska kratnost 3, te da geometrijska može biti 1, 2 ili 3. Ne znam navesti primjere, pa bih oko toga molila pomoć.
:)[/quote]
Razmatranje o mogućim vrijednostima geometrijske kratnosti je dobro (pri tom je
zgodno još jednom istaknuti da geometrijska kratnost uistinu nikad ne može biti
nula što je posljedica definicije!).
Konstrukcija primjera nije jednostavna stvar pa zato treba pojednostaviti mogućnosti
koje ćemo uzimati u obzir jer inače u dva sata se ništa ne stigne.
Za početak uočimo da 0 nije svojstvena vrijednost pa je operator sigurno izomorfizam.
Time smo već poprilično suzili izbor.
Zatim je zgodno biti svjestan da je slučaj kad je geom. kratnost 3 trivijalan jer je jedan
jedini primjer jedinični operator, tj. operator identitete (razmislite što bi bio primjer za
ovaj slučaj da je umjesto svojstvene vrijednosti 1 bio npr. 5).
Daljne slučajeve možete pokušati iskonstruirati korištenjem geometrije i logičkog
razmišljanja.
Ako na trenutak zaboravimo geometriju, možemo probati "naštimati" naš operator
tako da uzmemo neku matricu 3x3 koja reprezentira matrični prikaz u npr. kanonskoj
bazi traženog operatora. Želimo da je karakteristični, odnosno svojstveni polinom
jednak [tex](1-\lambda)^3[/tex], a najjednostavniji oblik matrice s kojim ćemo to
omogućiti je trokutasta matrica (gornje ili donje, svejedno je) koja ima na dijagonali
jedinice. Sada imamo samo tri mjesta u matrici koja mijenjamo (da ponovim, na dijagonali
su jedinice, npr. u donjem trokutu su nule, a u gornjem trokutu imamo slobodu biranja).
Kad dođete do ove situacije, siguran sam da ćete u 15 min uspjeti sami pronaći
odgovarajuće matrične prikaze.
Možda nije viška istaknuti da karakteristični polinom operatora ne ovisi o izboru baze
u kojoj promatrao matrični prikaz pa mi je to jedan od razloga zašto mi nije bitno u
kojoj bazi promatram matrični prikaz našeg operatora.
Nadam se da će pomoći...
M.E.
| Cass (napisa): | Moze li mi netko objasniti sljedeci zadatak: Ako je C iz L(V3(O)) koji ima trostruku svojstvenu vrijednost 1, kolika sve može biti geometrijska kratnost? Navedite primjere C za svaki mogući slučaj.?
Jasno mi je da ako je svojstvena vrijednost trostruka da je i algebarska kratnost 3, te da geometrijska može biti 1, 2 ili 3. Ne znam navesti primjere, pa bih oko toga molila pomoć.
 |
Razmatranje o mogućim vrijednostima geometrijske kratnosti je dobro (pri tom je
zgodno još jednom istaknuti da geometrijska kratnost uistinu nikad ne može biti
nula što je posljedica definicije!).
Konstrukcija primjera nije jednostavna stvar pa zato treba pojednostaviti mogućnosti
koje ćemo uzimati u obzir jer inače u dva sata se ništa ne stigne.
Za početak uočimo da 0 nije svojstvena vrijednost pa je operator sigurno izomorfizam.
Time smo već poprilično suzili izbor.
Zatim je zgodno biti svjestan da je slučaj kad je geom. kratnost 3 trivijalan jer je jedan
jedini primjer jedinični operator, tj. operator identitete (razmislite što bi bio primjer za
ovaj slučaj da je umjesto svojstvene vrijednosti 1 bio npr. 5).
Daljne slučajeve možete pokušati iskonstruirati korištenjem geometrije i logičkog
razmišljanja.
Ako na trenutak zaboravimo geometriju, možemo probati "naštimati" naš operator
tako da uzmemo neku matricu 3x3 koja reprezentira matrični prikaz u npr. kanonskoj
bazi traženog operatora. Želimo da je karakteristični, odnosno svojstveni polinom
jednak [tex](1-\lambda)^3[/tex], a najjednostavniji oblik matrice s kojim ćemo to
omogućiti je trokutasta matrica (gornje ili donje, svejedno je) koja ima na dijagonali
jedinice. Sada imamo samo tri mjesta u matrici koja mijenjamo (da ponovim, na dijagonali
su jedinice, npr. u donjem trokutu su nule, a u gornjem trokutu imamo slobodu biranja).
Kad dođete do ove situacije, siguran sam da ćete u 15 min uspjeti sami pronaći
odgovarajuće matrične prikaze.
Možda nije viška istaknuti da karakteristični polinom operatora ne ovisi o izboru baze
u kojoj promatrao matrični prikaz pa mi je to jedan od razloga zašto mi nije bitno u
kojoj bazi promatram matrični prikaz našeg operatora.
Nadam se da će pomoći...
M.E.
|
|
| [Vrh] |
|
Juraj Siftar
Gost
|
| Postano: 6:02 uto, 18. 2. 2014 Naslov: |
|
|
|
Uz prethodno što je napisao kolega Erceg:
Za ove primjere, a i općenito za geometrijsku kratnost,
važno je imati u vidu da je geom. kratnost svojstvene
vrijednosti λ jednaka defektu operatora A - λI,
odnosno jednaka je
n - rang(A-λI).
U ovom primjeru je λ = 1 pa je taj operator A-I.
Zato je važan broj 3 - rang(A-I).
Znači, kad "oduzmete jedinicu po dijagonali", a ako
ste uzeli trokutastu matricu (s jedinicama po dijagonali, jasno)
želite da dobivena matrica bude ranga 1 da bi geometrijska
kratnost bila jednaka 2. Zato samo stavite neki skalar različit
od 0 (npr 1) iznad dijagonale, ostalo 0.
Ako želite geom. kratnost 1, onda rang (A-I) treba biti 2
pa stavite dva skalara različita od 0 (npr 1) iznad dijagonale,
ali tako da rang bude 2, znači bit će to na pozicijama
(1,2) i (2,3).
Ovo nije jedini način, ali je najlakši i najsigurniji.
U tome nema puno "pogađanja" nego, opet, bitna je
relacija
geom. kratnost λ = n - rang (A-λI).
(Nije rijetko pitanje na usmenom ispitu na kojeg odgovor
glasi upravo tako. Naravno, zatim može uslijediti i pitanje -
a zašto to vrijedi).
Uz prethodno što je napisao kolega Erceg:
Za ove primjere, a i općenito za geometrijsku kratnost,
važno je imati u vidu da je geom. kratnost svojstvene
vrijednosti λ jednaka defektu operatora A - λI,
odnosno jednaka je
n - rang(A-λI).
U ovom primjeru je λ = 1 pa je taj operator A-I.
Zato je važan broj 3 - rang(A-I).
Znači, kad "oduzmete jedinicu po dijagonali", a ako
ste uzeli trokutastu matricu (s jedinicama po dijagonali, jasno)
želite da dobivena matrica bude ranga 1 da bi geometrijska
kratnost bila jednaka 2. Zato samo stavite neki skalar različit
od 0 (npr 1) iznad dijagonale, ostalo 0.
Ako želite geom. kratnost 1, onda rang (A-I) treba biti 2
pa stavite dva skalara različita od 0 (npr 1) iznad dijagonale,
ali tako da rang bude 2, znači bit će to na pozicijama
(1,2) i (2,3).
Ovo nije jedini način, ali je najlakši i najsigurniji.
U tome nema puno "pogađanja" nego, opet, bitna je
relacija
geom. kratnost λ = n - rang (A-λI).
(Nije rijetko pitanje na usmenom ispitu na kojeg odgovor
glasi upravo tako. Naravno, zatim može uslijediti i pitanje -
a zašto to vrijedi).
|
|
| [Vrh] |
|
house
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 07. 2012. (12:18:41)
Postovi: (D)16
|
| Postano: 10:42 uto, 18. 2. 2014 Naslov: |
|
|
|
1. Samo da potvrdim, da ne bude nesigurnosti oko ovih vaznih pitanja, iz toga da se u spektru operatora nalazi nula mozemo zakljuciti samo da operator nije izomorfizam i da mu ne mozemo naci (tj. ne postoji) inverz odnosno matrica opratora nije regularna , ali iz toga ne slijedi da se operator ne moze dijagonalizira ? Postoji li neka veza izomorfnosti operatora i njegove dijagonalizabilnosti?
2.I imaju li s obzirom da su slicne matrice, matrica nekog operatora A i dijagonalna matrica tog operatora u drugoj bazi ( "pogodnoj" ) istu geometrijsku kratnost, svojstvene vrijednosti su im iste pa onda i algebarske kratnosti pretpostavljam da su i geometrijske kratnosti slicnih matrica iste?? (moze podvrda ovog zakljucka ako netko zna ??) pa to mogu iskoristiti u zadatcima gdje me ne traže svojstvene potprostore (jer su oni razliciti) nego samo alg. i geom. kratnosti a imam operator kojemu znam dijagonalnu matricu u pogodnoj bazi (npr. ortogonalna projekcija na potprostor je jedinicna matrica s 0 i1 na dijagonali pa je lako izracunati kratnosti odatle ako se zapise det(D-lamdaI)=0 odnosno (D-lambda)x=0 )pa ako netko zna je li to u redu nacin zakljucivanja?
1. Samo da potvrdim, da ne bude nesigurnosti oko ovih vaznih pitanja, iz toga da se u spektru operatora nalazi nula mozemo zakljuciti samo da operator nije izomorfizam i da mu ne mozemo naci (tj. ne postoji) inverz odnosno matrica opratora nije regularna , ali iz toga ne slijedi da se operator ne moze dijagonalizira ? Postoji li neka veza izomorfnosti operatora i njegove dijagonalizabilnosti?
2.I imaju li s obzirom da su slicne matrice, matrica nekog operatora A i dijagonalna matrica tog operatora u drugoj bazi ( "pogodnoj" ) istu geometrijsku kratnost, svojstvene vrijednosti su im iste pa onda i algebarske kratnosti pretpostavljam da su i geometrijske kratnosti slicnih matrica iste?? (moze podvrda ovog zakljucka ako netko zna ??) pa to mogu iskoristiti u zadatcima gdje me ne traže svojstvene potprostore (jer su oni razliciti) nego samo alg. i geom. kratnosti a imam operator kojemu znam dijagonalnu matricu u pogodnoj bazi (npr. ortogonalna projekcija na potprostor je jedinicna matrica s 0 i1 na dijagonali pa je lako izracunati kratnosti odatle ako se zapise det(D-lamdaI)=0 odnosno (D-lambda)x=0 )pa ako netko zna je li to u redu nacin zakljucivanja?
|
|
| [Vrh] |
|
Cass
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Juraj Siftar
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
house
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 07. 2012. (12:18:41)
Postovi: (D)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
