|
[b]Popravni kolokvij 19.02.2014.
Rješenja zadatka 1-4. naći će se u idućem postu.[/b]
1. Zadan je potprostor L unitarnog prostora R^4 sa standardnim
skalarnim produktom: L = {(x1,x2,x3,x4) : x1 + x4 = x2 + x3 = 0}.
Odredite skup S = { x iz V : d(x,L) = d(x, L┴)}. ( d(x,L) označava
udaljenost vektora od potprostora, u uobičajenom smislu). Je li S
potprostor od V? Obrazložite.
2. Neka je Z1 zrcaljenje prostora V3(O) s obzirom na potprostor
L zadan jednadžbom 2x-y = 0, a Z2 zrcaljenje s obzirom na
potprostor M zadan jednadžbom x+2y = 0 (pri čemu je xi+yj+zk
oznaka za opći vektor prostora u ortonormiranoj bazi (i,j,k)).
Odredite djelovanje kompozicije Z2 º Z1 i opišite
geometrijsko značenje tog operatora. (Savjet: malo geometrijskog uvida, to jest
"sličica", može znatno olakšati rješavanje odnosno poslužiti za
provjeru rezultata).
3. U 4-dim. realnom vektorskom prostoru V neka je (a1,a2,a3,a4) baza i
neka je skalarni produkt zadan na uobičajeni način pomoću te baze,
to jest, ako su x = ∑ xiai, y = ∑ yiai prikazi vektora u toj bazi,
skalarni produkt (x|y) = ∑ xiyi. Linearni operator C na V zadan je
djelovanjem na bazi: C(a1) = C(a4) = a1+a4, C(a2)=-a2, C(a3) = a2-a3.
Odredite ortonormirani podskup K unitarnog prostora V takav da se K
sastoji od što je moguće više svojstvenih vektora operatora C.
4. Neka je A matrica
a b
c d
i F: M2(R) → M2(R) preslikavanje F(X) = AX-XA^t.
Dokažite da je F linearni operator i napišite njegovu matricu u
nekoj bazi (tj. ista baza uzima se za domenu i kodomenu). Može
li se A odabrati tako da F bude izomorfizam? Obrazložite. Uz
pretpostavku da su a,b,c,d svi različiti od 0, odredite neku
svojstvenu vrijednost i neki pripadni svojstveni vektor od F.
5. (a) Izvedite nejednakost trokuta za normu uvedenu na standardni
način na unitarnom prostoru V ( a = √(a|a) ) (dakle,
dokažite da za tako definirano preslikavanje vrijedi
nejednakost trokuta).
(b) Definirajte pojmove: ortogonalni podskup unitarnog prostora,
rang linearnog operatora, izomorfnost vektorskih prostora,
karakteristični polinom linearnog operatora, dualni prostor
vektorskog prostora. (Napišite cjelovite i sažete definicije, po
potrebi uz odgovarajuće oznake, ne samo npr. "monomorfizam je
injekcija" kad bi se tražila definicija monomorfizma).
(c) Neka su (e) i (e') dvije baze n-dim. prostora V, T matrica
prijelaza iz (e) u (e') i A:V → V linearni operator. Napišite
i izvedite relaciju među matricama operatora A u parovima baza
(e,e’) i (e’,e).
(d) Dokažite da karakteristični polinom linearnog operatora na
konačnodimenzionalnom vektorskom prostoru ne ovisi o izboru
matričnog prikaza tog operatora pomoću kojeg se polinom
izračunava.
Popravni kolokvij 19.02.2014.
Rješenja zadatka 1-4. naći će se u idućem postu.
1. Zadan je potprostor L unitarnog prostora R^4 sa standardnim
skalarnim produktom: L = {(x1,x2,x3,x4) : x1 + x4 = x2 + x3 = 0}.
Odredite skup S = { x iz V : d(x,L) = d(x, L┴)}. ( d(x,L) označava
udaljenost vektora od potprostora, u uobičajenom smislu). Je li S
potprostor od V? Obrazložite.
2. Neka je Z1 zrcaljenje prostora V3(O) s obzirom na potprostor
L zadan jednadžbom 2x-y = 0, a Z2 zrcaljenje s obzirom na
potprostor M zadan jednadžbom x+2y = 0 (pri čemu je xi+yj+zk
oznaka za opći vektor prostora u ortonormiranoj bazi (i,j,k)).
Odredite djelovanje kompozicije Z2 º Z1 i opišite
geometrijsko značenje tog operatora. (Savjet: malo geometrijskog uvida, to jest
"sličica", može znatno olakšati rješavanje odnosno poslužiti za
provjeru rezultata).
3. U 4-dim. realnom vektorskom prostoru V neka je (a1,a2,a3,a4) baza i
neka je skalarni produkt zadan na uobičajeni način pomoću te baze,
to jest, ako su x = ∑ xiai, y = ∑ yiai prikazi vektora u toj bazi,
skalarni produkt (x|y) = ∑ xiyi. Linearni operator C na V zadan je
djelovanjem na bazi: C(a1) = C(a4) = a1+a4, C(a2)=-a2, C(a3) = a2-a3.
Odredite ortonormirani podskup K unitarnog prostora V takav da se K
sastoji od što je moguće više svojstvenih vektora operatora C.
4. Neka je A matrica
a b
c d
i F: M2(R) → M2(R) preslikavanje F(X) = AX-XA^t.
Dokažite da je F linearni operator i napišite njegovu matricu u
nekoj bazi (tj. ista baza uzima se za domenu i kodomenu). Može
li se A odabrati tako da F bude izomorfizam? Obrazložite. Uz
pretpostavku da su a,b,c,d svi različiti od 0, odredite neku
svojstvenu vrijednost i neki pripadni svojstveni vektor od F.
5. (a) Izvedite nejednakost trokuta za normu uvedenu na standardni
način na unitarnom prostoru V ( a = √(a|a) ) (dakle,
dokažite da za tako definirano preslikavanje vrijedi
nejednakost trokuta).
(b) Definirajte pojmove: ortogonalni podskup unitarnog prostora,
rang linearnog operatora, izomorfnost vektorskih prostora,
karakteristični polinom linearnog operatora, dualni prostor
vektorskog prostora. (Napišite cjelovite i sažete definicije, po
potrebi uz odgovarajuće oznake, ne samo npr. "monomorfizam je
injekcija" kad bi se tražila definicija monomorfizma).
(c) Neka su (e) i (e') dvije baze n-dim. prostora V, T matrica
prijelaza iz (e) u (e') i A:V → V linearni operator. Napišite
i izvedite relaciju među matricama operatora A u parovima baza
(e,e’) i (e’,e).
(d) Dokažite da karakteristični polinom linearnog operatora na
konačnodimenzionalnom vektorskom prostoru ne ovisi o izboru
matričnog prikaza tog operatora pomoću kojeg se polinom
izračunava.
|
