Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Rješenja zadataka s popravnog kolokvija 19.02.2014.
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 2. godine -> Linearna algebra 2 (smjer nastavnički)
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Juraj Siftar
Gost





PostPostano: 15:01 sri, 19. 2. 2014    Naslov: Rješenja zadataka s popravnog kolokvija 19.02.2014. Citirajte i odgovorite

1. Baza potprostora L je npr. {(1,0,0,-1), (0,1,-1,0)}, a iz samih
jednadžbi pročita se baza ortogonalnog komplementa:
{(1,0,0,1), (0,1,1,0)}.
Očito ova 4 vektora čine ortogonalnu bazu pa se lako normira.

Rastav općeg vektora u ortogonalnu projekciju i ortogonalnu
komponentu glasi:

(x1,x2,x3,x4) = ((x1-x4)/2, (x2-x3)/2, (x3-x2)/2, (x4-x1)/2) +
((x1+x4)/2, (x2+x3)/2,(x2+x3)/2, (x1+x4)/2).

Uvjet jednakih udaljenost znači da su norme ovih dvaju vektora
jednake. Izjednačavanjem kvadrata normi i sređivanjem
dobiva se jednadžba: x1x4+x2x3 = 0.



Dakle, tom jednadžbom zadan je skup S, a to očito nije potprostor.

2. Zadana dva zrcaljenja su zrcaljenja s obzirom na dvije međusobno
okomite ravnine čija presječnica je os Oz (tj. to su dva
2-dimenzionalna potprostora čiji presjek je [k]).
Kompozicija takvih zrcaljenja uvijek je rotacija za ispruženi kut
(180 stupnjeva) što se lako vidi iz odgovarajuće skice.
Ako gledamo samo djelovanje u ravnini Oxy tj u potprostoru
[i,j] vidimo rotaciju za 180 stupnjeva tj. centralnu simetriju.
To se potvrđuje i računom.
Ovdje ću navesti matrični oblik, pišući samo matricu reda 2
koja se odnosi na x i y, dok su treći stupac i redak stalno
0
0
1

odnosno 0 0 1.

Naravno, ne mora se pisati matrice nego može i linearne kombinacije.

Z1 ima matricu

-3/5 4/5

4/5 3/5

Z2 ima matricu

3/5 -4/5

-4/5 -3/5


Umnožak Z2 Z1 = -I, što smo i najavili.



3. U zadanoj bazi operator C ima matricu

1 0 0 1

0 -1 1 0

0 0 -1 0

1 0 0 1


Lako se izračunaju svojstvene vrijednosti 0, 2 (jednostruke)
i -1 (algebarske kratnosti 2).
Za 0 imamo svojstveni vektor a1-a4,
za 2 a1+a4,
za -1 samo a2 (tj [a2]) (geom. kratnost je 1).
Dakle, u linearno nezavisnom skupu mogu se nalaziti najviše
tri svojstvena vektora, a navedeni vektori već su očito
ortogonalni.
Traženi skup čine sqrt(2)/2 (a1-a4), sqrt(2)/2 (a1+a4) te a2.


4. Lako se provjeri da je F linearni operator. U standardnoj bazi
za matrice matrica od F glasi


0 -b b 0

-c a-d 0 b

c d-a 0 -b

0 c -c 0

Ta matrica očito nije ranga 4 ni za koji izbor a,b,c,d
(npr. proporcionalni prvi i četvrti stupac) tako da F ne može biti
izomorfizam. No, zato sigurno ima svojstvenu vrijednost 0
pa najlakše za nju nađemo neki svojstveni vektor, npr
(vidi se i napamet):

matrica

b 0

0 c

(Ovo nije nulmatrica jer je zadano da za traženje svojstvenog
vektora svi a,b.c,d budu različiti od 0; to je zadano samo
radi pojednostavljivanja računa, a i za ostale slučajeve lako
se nađu svojstveni vektori pridruženi svojstvenoj vrijednosti 0).
1. Baza potprostora L je npr. {(1,0,0,-1), (0,1,-1,0)}, a iz samih
jednadžbi pročita se baza ortogonalnog komplementa:
{(1,0,0,1), (0,1,1,0)}.
Očito ova 4 vektora čine ortogonalnu bazu pa se lako normira.

Rastav općeg vektora u ortogonalnu projekciju i ortogonalnu
komponentu glasi:

(x1,x2,x3,x4) = ((x1-x4)/2, (x2-x3)/2, (x3-x2)/2, (x4-x1)/2) +
((x1+x4)/2, (x2+x3)/2,(x2+x3)/2, (x1+x4)/2).

Uvjet jednakih udaljenost znači da su norme ovih dvaju vektora
jednake. Izjednačavanjem kvadrata normi i sređivanjem
dobiva se jednadžba: x1x4+x2x3 = 0.



Dakle, tom jednadžbom zadan je skup S, a to očito nije potprostor.

2. Zadana dva zrcaljenja su zrcaljenja s obzirom na dvije međusobno
okomite ravnine čija presječnica je os Oz (tj. to su dva
2-dimenzionalna potprostora čiji presjek je [k]).
Kompozicija takvih zrcaljenja uvijek je rotacija za ispruženi kut
(180 stupnjeva) što se lako vidi iz odgovarajuće skice.
Ako gledamo samo djelovanje u ravnini Oxy tj u potprostoru
[i,j] vidimo rotaciju za 180 stupnjeva tj. centralnu simetriju.
To se potvrđuje i računom.
Ovdje ću navesti matrični oblik, pišući samo matricu reda 2
koja se odnosi na x i y, dok su treći stupac i redak stalno
0
0
1

odnosno 0 0 1.

Naravno, ne mora se pisati matrice nego može i linearne kombinacije.

Z1 ima matricu

-3/5 4/5

4/5 3/5

Z2 ima matricu

3/5 -4/5

-4/5 -3/5


Umnožak Z2 Z1 = -I, što smo i najavili.



3. U zadanoj bazi operator C ima matricu

1 0 0 1

0 -1 1 0

0 0 -1 0

1 0 0 1


Lako se izračunaju svojstvene vrijednosti 0, 2 (jednostruke)
i -1 (algebarske kratnosti 2).
Za 0 imamo svojstveni vektor a1-a4,
za 2 a1+a4,
za -1 samo a2 (tj [a2]) (geom. kratnost je 1).
Dakle, u linearno nezavisnom skupu mogu se nalaziti najviše
tri svojstvena vektora, a navedeni vektori već su očito
ortogonalni.
Traženi skup čine sqrt(2)/2 (a1-a4), sqrt(2)/2 (a1+a4) te a2.


4. Lako se provjeri da je F linearni operator. U standardnoj bazi
za matrice matrica od F glasi


0 -b b 0

-c a-d 0 b

c d-a 0 -b

0 c -c 0

Ta matrica očito nije ranga 4 ni za koji izbor a,b,c,d
(npr. proporcionalni prvi i četvrti stupac) tako da F ne može biti
izomorfizam. No, zato sigurno ima svojstvenu vrijednost 0
pa najlakše za nju nađemo neki svojstveni vektor, npr
(vidi se i napamet):

matrica

b 0

0 c

(Ovo nije nulmatrica jer je zadano da za traženje svojstvenog
vektora svi a,b.c,d budu različiti od 0; to je zadano samo
radi pojednostavljivanja računa, a i za ostale slučajeve lako
se nađu svojstveni vektori pridruženi svojstvenoj vrijednosti 0).


[Vrh]
Juraj Siftar
Gost





PostPostano: 11:57 čet, 20. 2. 2014    Naslov: jedan ispravak Citirajte i odgovorite

U ispisivanju matrice operatora F u
rješenju 4. zadatka načinjen je lapsus -

treći redak treba glasiti

c 0 d-a -b

(bili su međusobno zamijenjeni
drugi i treći koeficijent).
U ispisivanju matrice operatora F u
rješenju 4. zadatka načinjen je lapsus -

treći redak treba glasiti

c 0 d-a -b

(bili su međusobno zamijenjeni
drugi i treći koeficijent).


[Vrh]
Gost






PostPostano: 13:50 ned, 23. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Kada možemo očekivati rezultate danas?
Kada možemo očekivati rezultate danas?


[Vrh]
Juraj Siftar
Gost





PostPostano: 16:35 ned, 23. 2. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Radim, radim ( a i što bih drugo kad je nedjelja).
Najkasnije u 23h večeras.
Radim, radim ( a i što bih drugo kad je nedjelja).
Najkasnije u 23h večeras.


[Vrh]
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 2. godine -> Linearna algebra 2 (smjer nastavnički) Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You cannot attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan