Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
nuclear Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 11. 2011. (17:40:12) Postovi: (74)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Nightrider Forumaš s poteškoćama u pisanju
Pridružen/a: 19. 03. 2013. (19:01:05) Postovi: (61)16
Spol:
|
Postano: 22:57 sub, 30. 3. 2013 Naslov: |
|
|
[quote="nuclear"]Kako računam granice za ovaj integral?
Volumen tijela omeđen paraboloidom... 3z=x^2+y^2 i kuglom ..x^2+y^2+z^2=4
(tj unutar kugle, van paraboloida)
Uzmem sferne koordinate:
x=r cos mi cos fi
y=r cos mi sin fi
z=r sin mi
za fi:[0,2pi]
e sad nemam pojma kak da gledam za r i mi?[/quote]
Ja uopce nebi isao na sferne koordinate za ovaj problem, kazes unutar kugle a izvan paraboloida, izracunas volumen kugle dvostrukim integralom na ocitom podrucju i ravninskim polarnim koordinatama za volumen ove kugle fi:[0,2pi], r:[0,2] i od tog volumena oduzmes volumen paraboloida , fi je ocito opet fi:[0,2pi] ali za r treba malo ali samo malo racunat, prvo pronadjes z-koordinatu u kojoj se sijeku kugla i paraboloid, to dobijes rjesavanjem jednadzbe x^2+y^2-3z=x^2+y^2+z^2-4, to je kvadratna jednadzba i odaberes pozitivno rjesenje za z, kad dobijes taj z onda imas pravokutni trokut sa stranicama: taj z, r koji tebi treba i q koji je udaljenost od ishodista do tocke u kojoj se sijeku kugla i paraboloid, i taj q je jednak 2(ocito). I sad imas pitagorin poucak koji kaze 2^2=(taj z koji si dobila)^2+(r koji tebi treba za odredit granicu racunanja volumena obuhvacenog paraboliodom)^2, otud dobijes r koji ti treba i granice za r za paraboloid su r:[0,r koji tebi treba]. Jednadzba sfere je na tom podrucju f(x,y)=korijen od (4-x^2-y^2) a paraboloida g(x,y)=(x^2+y^2)/3.
nuclear (napisa): | Kako računam granice za ovaj integral?
Volumen tijela omeđen paraboloidom... 3z=x^2+y^2 i kuglom ..x^2+y^2+z^2=4
(tj unutar kugle, van paraboloida)
Uzmem sferne koordinate:
x=r cos mi cos fi
y=r cos mi sin fi
z=r sin mi
za fi:[0,2pi]
e sad nemam pojma kak da gledam za r i mi? |
Ja uopce nebi isao na sferne koordinate za ovaj problem, kazes unutar kugle a izvan paraboloida, izracunas volumen kugle dvostrukim integralom na ocitom podrucju i ravninskim polarnim koordinatama za volumen ove kugle fi:[0,2pi], r:[0,2] i od tog volumena oduzmes volumen paraboloida , fi je ocito opet fi:[0,2pi] ali za r treba malo ali samo malo racunat, prvo pronadjes z-koordinatu u kojoj se sijeku kugla i paraboloid, to dobijes rjesavanjem jednadzbe x^2+y^2-3z=x^2+y^2+z^2-4, to je kvadratna jednadzba i odaberes pozitivno rjesenje za z, kad dobijes taj z onda imas pravokutni trokut sa stranicama: taj z, r koji tebi treba i q koji je udaljenost od ishodista do tocke u kojoj se sijeku kugla i paraboloid, i taj q je jednak 2(ocito). I sad imas pitagorin poucak koji kaze 2^2=(taj z koji si dobila)^2+(r koji tebi treba za odredit granicu racunanja volumena obuhvacenog paraboliodom)^2, otud dobijes r koji ti treba i granice za r za paraboloid su r:[0,r koji tebi treba]. Jednadzba sfere je na tom podrucju f(x,y)=korijen od (4-x^2-y^2) a paraboloida g(x,y)=(x^2+y^2)/3.
|
|
[Vrh] |
|
Ryssa Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 12. 2011. (00:10:28) Postovi: (57)16
|
|
[Vrh] |
|
fkirsek Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2012. (23:52:51) Postovi: (23)16
|
|
[Vrh] |
|
Ryssa Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 12. 2011. (00:10:28) Postovi: (57)16
|
|
[Vrh] |
|
sasha.f Forumaš(ica)
Pridružen/a: 25. 10. 2011. (20:04:19) Postovi: (3D)16
|
|
[Vrh] |
|
nuclear Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 11. 2011. (17:40:12) Postovi: (74)16
Spol:
|
Postano: 18:05 pon, 29. 4. 2013 Naslov: |
|
|
štekaju mi osnove, pa ću pitati osnovno :)
ako imamo npr:
x^2+y^2<=ax područje po kojemu računamo integral neke funkcije, je li sljedeće rješenje točno?
I(od -pi/2 do pi/2) I (od 0 do 1/cos fi) f(r cos fi + a/2, r sin fi) r dr dfi
jer..u knjizi (jednoj) nisu stavili zamjenu x=rcos fi + a/2, nego x=r cos fi
pa me zanimalo koje je točno, i ako ovo moje nije, zašto nije? :oops:
[size=9][color=#999999]Added after 18 minutes:[/color][/size]
onda ovaj zadatak :oops: :
područje omeđeno kružnicama: x^2+y^2=4x i x^2+y^2=8x i pravcima,y=x, y=2x
nisu mi jasne granice: piše u knjizi da fi ide od pi/4 (njega kužim) i onda da ide do arc tg 2. ?
za r mi je jasno: od 4cos fi do 8 cos fi :(
štekaju mi osnove, pa ću pitati osnovno
ako imamo npr:
x^2+y^2⇐ax područje po kojemu računamo integral neke funkcije, je li sljedeće rješenje točno?
I(od -pi/2 do pi/2) I (od 0 do 1/cos fi) f(r cos fi + a/2, r sin fi) r dr dfi
jer..u knjizi (jednoj) nisu stavili zamjenu x=rcos fi + a/2, nego x=r cos fi
pa me zanimalo koje je točno, i ako ovo moje nije, zašto nije?
Added after 18 minutes:
onda ovaj zadatak :
područje omeđeno kružnicama: x^2+y^2=4x i x^2+y^2=8x i pravcima,y=x, y=2x
nisu mi jasne granice: piše u knjizi da fi ide od pi/4 (njega kužim) i onda da ide do arc tg 2. ?
za r mi je jasno: od 4cos fi do 8 cos fi
|
|
[Vrh] |
|
R2-D2 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 10. 2011. (20:32:10) Postovi: (2F)16
|
Postano: 21:27 pon, 29. 4. 2013 Naslov: |
|
|
jednadžba [tex]x^2 +y^2 = ax[/tex] je zapravo jednadžba kružnice sa središtem u [tex](a/2, 0)[/tex] i polumjerom [tex]a/2[/tex]. Ako uvedemo zamjenu varijabli [tex]x=rcos\varphi + a/2, y = rsin\varphi[/tex] to je kao da smo na neki način translatirali cijeli koordinatni sustav za a/2 udesno pa granice određujemo kao da imamo kružnicu u ishodištu. I zato integral izgleda ovako [dtex] \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{a/2} f(rcos\varphi + a/2, rsin\varphi)r \, dr \, d\varphi[/dtex]
Ako stavimo [tex]x=rcos\varphi, y = rsin\varphi [/tex], onda nam je kružnica samo u I. i IV. kvadrantu pa [tex]\varphi [/tex] ide od [tex]-\pi/2[/tex] do [tex]\pi/2[/tex]. Inače, to si možeš provjeriti izravno(jer ne moraju svaki put granice ići od -pi/2 do pi/2 samo zato što smo u I. i IV. kvadrantu) - ako u jednadžbu [tex]x^2 +y^2 = ax[/tex] uvrstimo navedenu zamjenu varijabli dobijemo [tex]r^2=arcos\varphi \Rightarrow cos\varphi \ge 0 \Rightarrow \varphi \in [-\pi/2, \pi/2] [/tex](sad sam malo neprecizna, imaš na 18. str predvanja lijepo objašnjeno kako, zašto i po čemu integriramo kod zamjene varijabli, ali za rješavanje zadataka je ovo dobro). Za neki fiksirani kut r ide od 0 do [tex]acos\varphi[/tex]. To vidimo ako točku s max r za fiksirani kut(točka na kružnici) spojimo sa središtem kružnice, dobijemo jednakokračan trokut kojem su krakovi duljine a/2 a baza je duljine max r. Sad iz malo trigonometrije dobiješ da r ide do [tex]acos\varphi[/tex]. Znači imamo [dtex] \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \int\limits_0^{acos\varphi} f(rcos\varphi, rsin\varphi)r \, dr \, d\varphi[/dtex].
Što se tiče drugog zadatka: na jednak način kako se određuje pi/4 dobijemo i arctg2. Za točke na pravcu y=x, slijedi da s koordinatnim osima zatvaraju kut arctg(y/x) = arctg1 = pi/4. A, za točke na pravcu y=2x imamo arctg(y/x) = arctg2. Kako je traženo područje između ta dva pravca dobivamo tražene granice.
jednadžba [tex]x^2 +y^2 = ax[/tex] je zapravo jednadžba kružnice sa središtem u [tex](a/2, 0)[/tex] i polumjerom [tex]a/2[/tex]. Ako uvedemo zamjenu varijabli [tex]x=rcos\varphi + a/2, y = rsin\varphi[/tex] to je kao da smo na neki način translatirali cijeli koordinatni sustav za a/2 udesno pa granice određujemo kao da imamo kružnicu u ishodištu. I zato integral izgleda ovako [dtex] \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{a/2} f(rcos\varphi + a/2, rsin\varphi)r \, dr \, d\varphi[/dtex]
Ako stavimo [tex]x=rcos\varphi, y = rsin\varphi [/tex], onda nam je kružnica samo u I. i IV. kvadrantu pa [tex]\varphi [/tex] ide od [tex]-\pi/2[/tex] do [tex]\pi/2[/tex]. Inače, to si možeš provjeriti izravno(jer ne moraju svaki put granice ići od -pi/2 do pi/2 samo zato što smo u I. i IV. kvadrantu) - ako u jednadžbu [tex]x^2 +y^2 = ax[/tex] uvrstimo navedenu zamjenu varijabli dobijemo [tex]r^2=arcos\varphi \Rightarrow cos\varphi \ge 0 \Rightarrow \varphi \in [-\pi/2, \pi/2] [/tex](sad sam malo neprecizna, imaš na 18. str predvanja lijepo objašnjeno kako, zašto i po čemu integriramo kod zamjene varijabli, ali za rješavanje zadataka je ovo dobro). Za neki fiksirani kut r ide od 0 do [tex]acos\varphi[/tex]. To vidimo ako točku s max r za fiksirani kut(točka na kružnici) spojimo sa središtem kružnice, dobijemo jednakokračan trokut kojem su krakovi duljine a/2 a baza je duljine max r. Sad iz malo trigonometrije dobiješ da r ide do [tex]acos\varphi[/tex]. Znači imamo [dtex] \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \int\limits_0^{acos\varphi} f(rcos\varphi, rsin\varphi)r \, dr \, d\varphi[/dtex].
Što se tiče drugog zadatka: na jednak način kako se određuje pi/4 dobijemo i arctg2. Za točke na pravcu y=x, slijedi da s koordinatnim osima zatvaraju kut arctg(y/x) = arctg1 = pi/4. A, za točke na pravcu y=2x imamo arctg(y/x) = arctg2. Kako je traženo područje između ta dva pravca dobivamo tražene granice.
|
|
[Vrh] |
|
student_92 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46) Postovi: (B9)16
|
Postano: 15:14 sri, 15. 5. 2013 Naslov: |
|
|
Evo jedan zadatak za koji trebam pomoć.
Izračunajte integral [tex]\displaystyle \int_C \frac {dx-dy}{x+y}[/tex], gdje je [tex]C[/tex] rub kvadrata [tex][-1, 1]×[-1, 1][/tex] koji se obilazi u smislu suprotnom gibanju kazaljke na satu.
Treba dobiti rješenje -4. Ako parametriziram rub po dijelovima, dobit ću u računu (između ostalog) integral [tex]\displaystyle \int_{-1} ^1 \frac {1}{t-1} dt[/tex], a to ne mogu izračunati, kao ni prelaskom na integral po cijelom kvadratu. Možda sam negdje pogriješio, ali nisam dosad uočio grešku. Kako da riješim ovo?
Evo jedan zadatak za koji trebam pomoć.
Izračunajte integral [tex]\displaystyle \int_C \frac {dx-dy}{x+y}[/tex], gdje je [tex]C[/tex] rub kvadrata [tex][-1, 1]×[-1, 1][/tex] koji se obilazi u smislu suprotnom gibanju kazaljke na satu.
Treba dobiti rješenje -4. Ako parametriziram rub po dijelovima, dobit ću u računu (između ostalog) integral [tex]\displaystyle \int_{-1} ^1 \frac {1}{t-1} dt[/tex], a to ne mogu izračunati, kao ni prelaskom na integral po cijelom kvadratu. Možda sam negdje pogriješio, ali nisam dosad uočio grešku. Kako da riješim ovo?
|
|
[Vrh] |
|
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
|
[Vrh] |
|
Ryssa Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 12. 2011. (00:10:28) Postovi: (57)16
|
|
[Vrh] |
|
Loo Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07) Postovi: (D0)16
Spol:
|
Postano: 7:06 čet, 16. 5. 2013 Naslov: |
|
|
evo, mislim da sam uspjela:
[tex]z=\pm \sqrt{a^2-x^2-y^2}[/tex]
a iz druge jednadžbe se dobije:
[tex]y^2=-x^2+ax[/tex]
[tex]z=\pm \sqrt{a^2-ax}[/tex]
sad za [tex]x,y[/tex] uzmemo pomaknute polarne koordinate
[tex]x=\frac {a}{2}\cos(t) + \frac{a}{2}[/tex]
[tex]y=\frac {a}{2} \sin(t)[/tex]
kad se to uvrsti u [tex]z[/tex]:
[tex]z=\pm \sqrt{\frac {a^2(1-\cos (t))}{2}} = \pm a \sqrt{\frac {1- \cos (t)}{2}} = a \sin (\frac {t}{2})[/tex]
dakle parametrizacija glasi:
[tex]\gamma (t)=(\frac {a}{2} \cos (t) + \frac {a}{2}, \frac {a}{2} \sin (t), a\sin (\frac {t}{2})), t \in [0, 2\pi ][/tex]
evo, mislim da sam uspjela:
[tex]z=\pm \sqrt{a^2-x^2-y^2}[/tex]
a iz druge jednadžbe se dobije:
[tex]y^2=-x^2+ax[/tex]
[tex]z=\pm \sqrt{a^2-ax}[/tex]
sad za [tex]x,y[/tex] uzmemo pomaknute polarne koordinate
[tex]x=\frac {a}{2}\cos(t) + \frac{a}{2}[/tex]
[tex]y=\frac {a}{2} \sin(t)[/tex]
kad se to uvrsti u [tex]z[/tex]:
[tex]z=\pm \sqrt{\frac {a^2(1-\cos (t))}{2}} = \pm a \sqrt{\frac {1- \cos (t)}{2}} = a \sin (\frac {t}{2})[/tex]
dakle parametrizacija glasi:
[tex]\gamma (t)=(\frac {a}{2} \cos (t) + \frac {a}{2}, \frac {a}{2} \sin (t), a\sin (\frac {t}{2})), t \in [0, 2\pi ][/tex]
|
|
[Vrh] |
|
angelika Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 02. 2011. (17:26:51) Postovi: (5F)16
|
Postano: 9:55 sub, 12. 4. 2014 Naslov: |
|
|
Pozdrav. Na vježbama smo radili sljedeći zadatak: Zadana je f-ja
f(x,y)= x^2+sin(1/y) kada je y!=0
x^2 kada je y=0
Što možete reći o integrabilnosti f-je f na krugu radijusa 1 sa središtem u ishodištu?
Ideja je pronaći skup prekida te funkcije i pokazati da je taj skup mjere 0. I to mi je jasno. U bilježnici smo zapisali da je skup prekida od f sadržan u [-1,1]x{0} U S(0,1). Jasno mi je zašto je skup prekida [-1,1]x{0}, ali ne razumijem zašto smo uključili i rub kruga?
[size=9](ispričavam se na ružnom zapisu, ne znam to drugačije zapisati.)[/size]
Pozdrav. Na vježbama smo radili sljedeći zadatak: Zadana je f-ja
f(x,y)= x^2+sin(1/y) kada je y!=0
x^2 kada je y=0
Što možete reći o integrabilnosti f-je f na krugu radijusa 1 sa središtem u ishodištu?
Ideja je pronaći skup prekida te funkcije i pokazati da je taj skup mjere 0. I to mi je jasno. U bilježnici smo zapisali da je skup prekida od f sadržan u [-1,1]x{0} U S(0,1). Jasno mi je zašto je skup prekida [-1,1]x{0}, ali ne razumijem zašto smo uključili i rub kruga?
(ispričavam se na ružnom zapisu, ne znam to drugačije zapisati.)
|
|
[Vrh] |
|
mew_17 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 07. 2011. (16:38:05) Postovi: (29)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
|