|
Kako sam već letimičnim pregledom radova s današnjeg kolokvija
uočio jako puno nesporazuma odnosno nerazumijevanja pri
pokušajima rješavanja 5. zadatka ("teorijskog"), smatram da bi
bilo korisno odmah objaviti neka pojašnjenja.
(a) zadatak u obje grupe - definicija jednog od osnovnih pojmova
iz LA1 - nije sad u pitanju.
(b) zadatak
Jedna grupa:
Neka je V vektorski prostor dimenzije 5 i neka je S={a1,a2,a3,a4,a5,a6}
sustav izvodnica tog prostora. Koliko je različitih baza prostora V
sadržano u skupu S ako S sadrži nulvektor, a koliko ako S ne sadrži
nulvektor?
Ovdje je česta zabuna u tome da se pojam "sadrži" miješa
s pojmom jednakosti skupova. Tvrdnja da S [i]sadrži[/i] bazu nikako
ne znači da je sam S baza. To bi moralo biti jasno jer se takva
situacija često javlja u definicijama, dokazima itd. Kad se kaže
da skup A sadrži skup B, to znači: B je podskup od A, a jednakost
je samo jedan poseban slučaj. U ovom zadatku očito ne može
biti jednakost, kad je dim V = 5, a S ima 6 elemenata. Sasvim je
jasno sam S ne može biti baza.
Rješenje: S je očito linearno zavisan. Može se reducirati do baze,
a svaka baza se sastoji od 5 vektora. U slučaju da S sadrži nulvektor,
redukcija se sastoji samo u uklanjanju nulvektora, jer preostalih
pet vektora i dalje je sustav izvodnica te je nužno i baza.
Dakle, u tom slučaju S sadrži jednu jedinu bazu.
(Ako ne razlikujemo uređaje istog skupa od 5 vektora).
Ako S ne sadrži nulvektor, S svakako sadrži barem jednu bazu
jer postoji vektor u S koji je linearna kombinacija ostalih
(ili, prethodnih ako uzmemo zadani poredak). Isključivanjem
takvog vektora ostaje baza.
No, moguće je
da S sadrži najviše 6 različitih baza, ako je ispunjeno da je
svaki od vektora linearna kombinacija ostalih pa se izbacivanjem
bilo kojeg vektora dobiva baza.
Npr. to vrijedi ako je {a1,a2,a3,a4,a5} linearno nezavisan
(pa time i baza), dok je a6 = a1+a2+a3+a4+a5.
Točnim se može smatrati odgovor da S sadrži barem jednu, a
najviše 6 različitih baza. Malo preciznije razmatranje pokazuje
da S sadrži barem dvije različite baze u ovom slučaju tako
da je stvarni raspon od 2 do 6 različitih baza.
Druga grupa:
Neka je V konačnodim. vektorski prostor dimenzije barem 2. Da li za
svaki vektor v iz V, različit od nulvektora, postoje x,y iz V takvi
da je v = x+y i da je {x,y} linearno nezavisan skup?
Ovo je samo mala varijacija na temu prikaza vektora u bazi.
Naravno da je odgovor potvrdan.
S obzirom da je dim V barem 2, postoji neki vektor w takav
da je {v,w} linearno nezavisan skup.
Sada je v = w + (v-w), a {w, v-w} je linearno nezavisan
(lako se provjeri po definiciji, a to izgleda kao "trokut" u V2).
Može se i drukčije prepričati, početi od bilo koje baze u kojoj
niti jedan vektor nije linearno zavisan s v, no i to se svede na
prethodno.
Kako sam već letimičnim pregledom radova s današnjeg kolokvija
uočio jako puno nesporazuma odnosno nerazumijevanja pri
pokušajima rješavanja 5. zadatka ("teorijskog"), smatram da bi
bilo korisno odmah objaviti neka pojašnjenja.
(a) zadatak u obje grupe - definicija jednog od osnovnih pojmova
iz LA1 - nije sad u pitanju.
(b) zadatak
Jedna grupa:
Neka je V vektorski prostor dimenzije 5 i neka je S={a1,a2,a3,a4,a5,a6}
sustav izvodnica tog prostora. Koliko je različitih baza prostora V
sadržano u skupu S ako S sadrži nulvektor, a koliko ako S ne sadrži
nulvektor?
Ovdje je česta zabuna u tome da se pojam "sadrži" miješa
s pojmom jednakosti skupova. Tvrdnja da S sadrži bazu nikako
ne znači da je sam S baza. To bi moralo biti jasno jer se takva
situacija često javlja u definicijama, dokazima itd. Kad se kaže
da skup A sadrži skup B, to znači: B je podskup od A, a jednakost
je samo jedan poseban slučaj. U ovom zadatku očito ne može
biti jednakost, kad je dim V = 5, a S ima 6 elemenata. Sasvim je
jasno sam S ne može biti baza.
Rješenje: S je očito linearno zavisan. Može se reducirati do baze,
a svaka baza se sastoji od 5 vektora. U slučaju da S sadrži nulvektor,
redukcija se sastoji samo u uklanjanju nulvektora, jer preostalih
pet vektora i dalje je sustav izvodnica te je nužno i baza.
Dakle, u tom slučaju S sadrži jednu jedinu bazu.
(Ako ne razlikujemo uređaje istog skupa od 5 vektora).
Ako S ne sadrži nulvektor, S svakako sadrži barem jednu bazu
jer postoji vektor u S koji je linearna kombinacija ostalih
(ili, prethodnih ako uzmemo zadani poredak). Isključivanjem
takvog vektora ostaje baza.
No, moguće je
da S sadrži najviše 6 različitih baza, ako je ispunjeno da je
svaki od vektora linearna kombinacija ostalih pa se izbacivanjem
bilo kojeg vektora dobiva baza.
Npr. to vrijedi ako je {a1,a2,a3,a4,a5} linearno nezavisan
(pa time i baza), dok je a6 = a1+a2+a3+a4+a5.
Točnim se može smatrati odgovor da S sadrži barem jednu, a
najviše 6 različitih baza. Malo preciznije razmatranje pokazuje
da S sadrži barem dvije različite baze u ovom slučaju tako
da je stvarni raspon od 2 do 6 različitih baza.
Druga grupa:
Neka je V konačnodim. vektorski prostor dimenzije barem 2. Da li za
svaki vektor v iz V, različit od nulvektora, postoje x,y iz V takvi
da je v = x+y i da je {x,y} linearno nezavisan skup?
Ovo je samo mala varijacija na temu prikaza vektora u bazi.
Naravno da je odgovor potvrdan.
S obzirom da je dim V barem 2, postoji neki vektor w takav
da je {v,w} linearno nezavisan skup.
Sada je v = w + (v-w), a {w, v-w} je linearno nezavisan
(lako se provjeri po definiciji, a to izgleda kao "trokut" u V2).
Može se i drukčije prepričati, početi od bilo koje baze u kojoj
niti jedan vektor nije linearno zavisan s v, no i to se svede na
prethodno.
|
