|
U prvom dijelu 5. zadatka tražile su se definicije
nekih od osnovnih pojmova. Tu se u odgovorima
i pokušajima odgovora vidi veliko "šarenilo" - mnogi
nemaju pojma što je to elementarna matrica ili što
su to ekvivalentni sustavi linearnih jednadžbi, ali
ne nedostaje "improvizacija" po tim pitanjima.
Ne, ekvivalentnost matrica nije isto što i jednakost
matrica. Ne, elementarna matrica nije isto što i
matrica koja na jednom mjestu ima 1, a na svima
ostalima 0. Ne, to čak nije ni (samo) jedinična matrica
(iako "ima neke veze" s jediničnom).
A što se ranga matrice tiče, koliko god puta da se
naglasi i objasni kako se ne može u definiciji
reći "...stupaca ili redaka", naravno da to nimalo ne
djeluje na desetke studenata koji se ipak drže
"sigurnije" varijante (sigurnije za osvajanje 0 bodova)
kako na svakom mjestu gdje se spominju stupci
obavezno valja spomenuti i retke.
U drugom dijelu 5. zadatka trebalo je nešto samostalno
povezati i zaključiti. Znatno više uspjeha bilo je u
varijanti zadatka gdje se pita: ako je umnožak
AB dviju kvadratnih matrica regularna matrica, jesu li
nužno i A i B regularne.
To je rješavano na više načina. Pomoću ranga:
budući da rang umnoška nije veći od ranga pojedinih
matrica, ni A ni B ne mogu biti manjeg ranga od
maksimalnog jer u protivnom umnožak AB ne bi imao
maksimalni rang.
Pomoću determinante: samo se iskoristi Binet-Cauchyjev
teorem pa budući da je det AB različita od 0, to i det A i
det B moraju biti različite od 0.
Ima još načina, ali ovi su najjasniji i najočitiji.
Usputna napomena nekima: ne, nije svaka kvadratna
matrica invertibilna.
Težim se pokazalo pitanje: ako neki nehomogeni sustav
linearnih jednadžbi ima 2-parametarsko rješenje,
koliko najviše rješenja može sačinjavati linearno nezavisan
skup?
Ovdje su neki, malobrojni, bili na dobrom tragu, ali nitko
to nije riješio sasvim točno.
Veći je problem što se opet "masovno" miješa pojam jedne
nepoznanice odnosno jedne (od n) vrijednosti skalara u
rješenju s pojmom cijelog rješenja (koje je n-torka).
Ima i puno drugih vrsta jako pogrešnog zaključivanja.
Točan odgovor je 3.
Neka je opće rješenje R + s H1 + t H2,
pri čemu je, dakako, R partikularno rješenje, a H1 i H2
čine bazu potprostora rješenja pridruženog homogenog sustava.
Npr. za skup {R, R+H1, R+H2} lako se vidi da je
linearno nezavisan, a očito se sastoji od 3 rješenja.
(H1 i H2 su lin. nezavisni, a R ne može biti njihova lin.
kombinacija jer R nije rješenje homogenog sustava).
Ne može biti više od 3 rješenja u lin. nezavisnom skupu
jer razlika svaka dva rješenje nehomogenog sustava jest
rješenje homogenog.
Ako uzmemo npr. R1, R2, R3 i R4, oni čine lin. nezavisan skup
samo ako i R1, R2-R1, R3-R1 i R4-R1 čine lin. nezavisan
skup, no ovaj skup je linearno zavisan budući da sadrži tri
rješenja homogenog sustava, a taj potprostor je 2-dimenzionalan.
U prvom dijelu 5. zadatka tražile su se definicije
nekih od osnovnih pojmova. Tu se u odgovorima
i pokušajima odgovora vidi veliko "šarenilo" - mnogi
nemaju pojma što je to elementarna matrica ili što
su to ekvivalentni sustavi linearnih jednadžbi, ali
ne nedostaje "improvizacija" po tim pitanjima.
Ne, ekvivalentnost matrica nije isto što i jednakost
matrica. Ne, elementarna matrica nije isto što i
matrica koja na jednom mjestu ima 1, a na svima
ostalima 0. Ne, to čak nije ni (samo) jedinična matrica
(iako "ima neke veze" s jediničnom).
A što se ranga matrice tiče, koliko god puta da se
naglasi i objasni kako se ne može u definiciji
reći "...stupaca ili redaka", naravno da to nimalo ne
djeluje na desetke studenata koji se ipak drže
"sigurnije" varijante (sigurnije za osvajanje 0 bodova)
kako na svakom mjestu gdje se spominju stupci
obavezno valja spomenuti i retke.
U drugom dijelu 5. zadatka trebalo je nešto samostalno
povezati i zaključiti. Znatno više uspjeha bilo je u
varijanti zadatka gdje se pita: ako je umnožak
AB dviju kvadratnih matrica regularna matrica, jesu li
nužno i A i B regularne.
To je rješavano na više načina. Pomoću ranga:
budući da rang umnoška nije veći od ranga pojedinih
matrica, ni A ni B ne mogu biti manjeg ranga od
maksimalnog jer u protivnom umnožak AB ne bi imao
maksimalni rang.
Pomoću determinante: samo se iskoristi Binet-Cauchyjev
teorem pa budući da je det AB različita od 0, to i det A i
det B moraju biti različite od 0.
Ima još načina, ali ovi su najjasniji i najočitiji.
Usputna napomena nekima: ne, nije svaka kvadratna
matrica invertibilna.
Težim se pokazalo pitanje: ako neki nehomogeni sustav
linearnih jednadžbi ima 2-parametarsko rješenje,
koliko najviše rješenja može sačinjavati linearno nezavisan
skup?
Ovdje su neki, malobrojni, bili na dobrom tragu, ali nitko
to nije riješio sasvim točno.
Veći je problem što se opet "masovno" miješa pojam jedne
nepoznanice odnosno jedne (od n) vrijednosti skalara u
rješenju s pojmom cijelog rješenja (koje je n-torka).
Ima i puno drugih vrsta jako pogrešnog zaključivanja.
Točan odgovor je 3.
Neka je opće rješenje R + s H1 + t H2,
pri čemu je, dakako, R partikularno rješenje, a H1 i H2
čine bazu potprostora rješenja pridruženog homogenog sustava.
Npr. za skup {R, R+H1, R+H2} lako se vidi da je
linearno nezavisan, a očito se sastoji od 3 rješenja.
(H1 i H2 su lin. nezavisni, a R ne može biti njihova lin.
kombinacija jer R nije rješenje homogenog sustava).
Ne može biti više od 3 rješenja u lin. nezavisnom skupu
jer razlika svaka dva rješenje nehomogenog sustava jest
rješenje homogenog.
Ako uzmemo npr. R1, R2, R3 i R4, oni čine lin. nezavisan skup
samo ako i R1, R2-R1, R3-R1 i R4-R1 čine lin. nezavisan
skup, no ovaj skup je linearno zavisan budući da sadrži tri
rješenja homogenog sustava, a taj potprostor je 2-dimenzionalan.
|
