|
[quote="Anonymous"]y = aeˆx +(1/4a)eˆ(-x)-b a>0, b>1
Dokazati da ova krivulja siječe x os u dvije točke te izraziti duljinu luka između te dvije točke kao funkciju od b[/quote]
Označimo s f(x):=ae^x+e^-x/4a .
Prvo, primijetimo da je f'(x)=ae^x-e^-x/4a , izjednačavanje čega s nulom daje jedinstvenu kritičnu točku x0=-ln2a (( ae^x=e^-x/4a => 4a^2=e^(-2x) => x=-1/2*ln(4a^2)=-ln2a jer je a>0 )).
Također, f''(x)=f(x) , pa je f''(x0)=f(x0)=a/2a+2a/4a=1/2+1/2=1>0 , iz čega zaključujemo da je jedini lokalni minimum funkcije f upravo f(-ln2a)=1 .
Drugo, zbog f''(x)=f(x)>0 (pozitivnost eksponencijalne funkcije i broja a ), f' je strogo rastuća funkcija. To odmah s gornjim daje da je prije x0 negativna, a nakon x0 pozitivna, odnosno f do x0 pada, a od x0 raste, dakle gornji minimum je globalni.
Treće, pogledajmo limes od f u beskonačnosti. Budući da za x->+oo eksponencijalna funkcija e^x teži u +oo , a e^-x teži k 0 ; a za x->-oo oni zamijene uloge; te su a i 1/4a pozitivni realni brojevi; zaključujemo da je limes (na oba kraja) u beskonačnosti funkcije f jednak +oo . To znači da za svaki realan broj M postoji neki realan broj r takav da od r nadalje (ili do r , ako idemo iz -oo ), su funkcijske vrijednosti veće od M .
(Četvrto,) specijalno, pogledajmo naš realan broj b . Za M:=b+1 , dobijemo iz gornjeg da postoji r takav da su od r nadalje svi f(x) veći od b+1 . Budući da je već b>1=f(x0) , očito r mora biti veći od x0 (jer da je manji, x0 bi bio među onim brojevima koji su veći od r , što ne može jer je u njemu funkcijska vrijednost 1<b+1 ).
Pa promotrimo segment [x0,r] i funkciju f restringiranu na njega. f je neprekidna na segmentu, i znamo da je u lijevom kraju f(x0)=1<b , a u desnom je f(r)>=b+1>b . Po BW teoremu, u [x0,r] postoji bar jedna točka x2 , takva da je f(x2)=b , odnosno u točki (x2,0) krivulja iz zadatka siječe os x .
Peto, primijetimo da zbog f(x0)=1(!=)b , x2 sigurno nije x0 .
Također primijetimo da je x2 jedinstvena točka nakon x0 u kojoj f poprima vrijednost b : jer f|_<x0,+oo> strogo raste ( f'>0& ), ona je injekcija, pa svaku vrijednost poprima najviše jednom.
Šesto, poprilično analogno (D.Z.!) se vidi da na intervalu <-oo,x0> također postoji još jedna točka u kojoj f poprima vrijednost b (ie, gore spomenuta krivulja u (x1,0) siječe os x), i ona je također jedinstvena tamo.
Sveukupno, dobivamo da postoje točno dvije točke u kojima je f(x)=b , čime je riješen prvi dio zadatka.
Za drugi dio, prvo se podsjetimo formule za duljinu luka krivulje zadane eksplicitno, između dvije točke x1 i x2 :
int{x1~x2}sqrt(1+y'^2)dx . Budući da se y i f(x) razlikuju samo za konstantu ( b ), y'=f'(x) , odnosno
sqrt(1+y'^2)=sqrt(1+(ae^x-e^-x/4a)^2)=sqrt(1+(ae^x)^2-2ae^x*e^-x/4a+(e^-x/4a)^2) .
Srednji član (dvostruki prvi puta drugi) se skrati u -1/2 , koja promijeni predznak kad joj se doda ovaj 1 s početka. Dakle cijela stvar umjesto kvadrata razlike postane kvadrat zbroja (a zbroj je točno f(x) ), odnosno pod integralom je sqrt((f(x))^2) , što je jednako f(x) zbog f(x)>0 .
So, duljina luka je jednaka razlici vrijednosti primitivne funkcije od f , u x2 i u x1 . Jer je f=f'' , jedna od primitivnih funkcijâ od f je upravo f' . Dakle naša duljina luka je jednaka l=f'(x2)-f'(x1) .
Znamo da je f(x1) ( i analogno f(x2) ) jednako b , pa imamo ae^x1+e^-x1/4a=b , odnosno e^-x1/4a=b-ae^x1 . To znači da je
f'(x1)=ae^x1-e^-x1/4a=ae^x1-(b-ae^x1)=2ae^x1-b .
Kao što rekoh, potpuno analogno je i f'(x2)=2ae^x2-b , odnosno
l=(2ae^x2-b)-(2ae^x1-b)=2a(e^x2-e^x1) .
Dakle, trebamo vidjeti koliko iznose e^x1 i e^x2 , odnosno njihovu razliku. U tu svrhu, primijetimo da i x1 i x2 zadovoljavaju jednadžbu
ae^x+e^-x/4a=b po x , odnosno e^x1 i e^x2 zadovoljavaju jednadžbu at+1/4at=b po t=e^x . Nama treba razlika rješenjâ te jednadžbe, koja je u osnovi kvadratna, jer se lako svede množenjem s 4at ( a nije 0 po uvjetima zadatka, a t=e^x nikad nije 0 ) na 4a^2t^2-4abt+1=0 .
Štoviše, prvi član izgleda kao kvadrat od 2at . Pogledajmo gore... nama zapravo i treba razlika brojeva 2ae^x za x=x2 i x=x1 , samo što smo 2a izlučili. Uvedimo novu varijablu u=2at , i sad je jasno da je l upravo razlika u-ova.
u-ovi zadovoljavaju (normiranu kvadratnu) jednadžbu u^2-2bu+1=0 , dakle rješenja su oblika b+-sqrt(b^2-1) . Razlika rješenja sada je, jasno, 2sqrt(b^2-1) , i to je rješenje postavljenog zadatka.
Hjuh. :-)
| Anonymous (napisa): | y = aeˆx +(1/4a)eˆ(-x)-b a>0, b>1
Dokazati da ova krivulja siječe x os u dvije točke te izraziti duljinu luka između te dvije točke kao funkciju od b |
Označimo s f(x):=ae^x+e^-x/4a .
Prvo, primijetimo da je f'(x)=ae^x-e^-x/4a , izjednačavanje čega s nulom daje jedinstvenu kritičnu točku x0=-ln2a (( ae^x=e^-x/4a ⇒ 4a^2=e^(-2x) ⇒ x=-1/2*ln(4a^2)=-ln2a jer je a>0 )).
Također, f''(x)=f(x) , pa je f''(x0)=f(x0)=a/2a+2a/4a=1/2+1/2=1>0 , iz čega zaključujemo da je jedini lokalni minimum funkcije f upravo f(-ln2a)=1 .
Drugo, zbog f''(x)=f(x)>0 (pozitivnost eksponencijalne funkcije i broja a ), f' je strogo rastuća funkcija. To odmah s gornjim daje da je prije x0 negativna, a nakon x0 pozitivna, odnosno f do x0 pada, a od x0 raste, dakle gornji minimum je globalni.
Treće, pogledajmo limes od f u beskonačnosti. Budući da za x→+oo eksponencijalna funkcija e^x teži u +oo , a e^-x teži k 0 ; a za x→-oo oni zamijene uloge; te su a i 1/4a pozitivni realni brojevi; zaključujemo da je limes (na oba kraja) u beskonačnosti funkcije f jednak +oo . To znači da za svaki realan broj M postoji neki realan broj r takav da od r nadalje (ili do r , ako idemo iz -oo ), su funkcijske vrijednosti veće od M .
(Četvrto,) specijalno, pogledajmo naš realan broj b . Za M:=b+1 , dobijemo iz gornjeg da postoji r takav da su od r nadalje svi f(x) veći od b+1 . Budući da je već b>1=f(x0) , očito r mora biti veći od x0 (jer da je manji, x0 bi bio među onim brojevima koji su veći od r , što ne može jer je u njemu funkcijska vrijednost 1<b+1 ).
Pa promotrimo segment [x0,r] i funkciju f restringiranu na njega. f je neprekidna na segmentu, i znamo da je u lijevom kraju f(x0)=1<b , a u desnom je f(r)>=b+1>b . Po BW teoremu, u [x0,r] postoji bar jedna točka x2 , takva da je f(x2)=b , odnosno u točki (x2,0) krivulja iz zadatka siječe os x .
Peto, primijetimo da zbog f(x0)=1(!=)b , x2 sigurno nije x0 .
Također primijetimo da je x2 jedinstvena točka nakon x0 u kojoj f poprima vrijednost b : jer f|_<x0,+oo> strogo raste ( f'>0& ), ona je injekcija, pa svaku vrijednost poprima najviše jednom.
Šesto, poprilično analogno (D.Z.!) se vidi da na intervalu ←oo,x0> također postoji još jedna točka u kojoj f poprima vrijednost b (ie, gore spomenuta krivulja u (x1,0) siječe os x), i ona je također jedinstvena tamo.
Sveukupno, dobivamo da postoje točno dvije točke u kojima je f(x)=b , čime je riješen prvi dio zadatka.
Za drugi dio, prvo se podsjetimo formule za duljinu luka krivulje zadane eksplicitno, između dvije točke x1 i x2 :
int{x1~x2}sqrt(1+y'^2)dx . Budući da se y i f(x) razlikuju samo za konstantu ( b ), y'=f'(x) , odnosno
sqrt(1+y'^2)=sqrt(1+(ae^x-e^-x/4a)^2)=sqrt(1+(ae^x)^2-2ae^x*e^-x/4a+(e^-x/4a)^2) .
Srednji član (dvostruki prvi puta drugi) se skrati u -1/2 , koja promijeni predznak kad joj se doda ovaj 1 s početka. Dakle cijela stvar umjesto kvadrata razlike postane kvadrat zbroja (a zbroj je točno f(x) ), odnosno pod integralom je sqrt((f(x))^2) , što je jednako f(x) zbog f(x)>0 .
So, duljina luka je jednaka razlici vrijednosti primitivne funkcije od f , u x2 i u x1 . Jer je f=f'' , jedna od primitivnih funkcijâ od f je upravo f' . Dakle naša duljina luka je jednaka l=f'(x2)-f'(x1) .
Znamo da je f(x1) ( i analogno f(x2) ) jednako b , pa imamo ae^x1+e^-x1/4a=b , odnosno e^-x1/4a=b-ae^x1 . To znači da je
f'(x1)=ae^x1-e^-x1/4a=ae^x1-(b-ae^x1)=2ae^x1-b .
Kao što rekoh, potpuno analogno je i f'(x2)=2ae^x2-b , odnosno
l=(2ae^x2-b)-(2ae^x1-b)=2a(e^x2-e^x1) .
Dakle, trebamo vidjeti koliko iznose e^x1 i e^x2 , odnosno njihovu razliku. U tu svrhu, primijetimo da i x1 i x2 zadovoljavaju jednadžbu
ae^x+e^-x/4a=b po x , odnosno e^x1 i e^x2 zadovoljavaju jednadžbu at+1/4at=b po t=e^x . Nama treba razlika rješenjâ te jednadžbe, koja je u osnovi kvadratna, jer se lako svede množenjem s 4at ( a nije 0 po uvjetima zadatka, a t=e^x nikad nije 0 ) na 4a^2t^2-4abt+1=0 .
Štoviše, prvi član izgleda kao kvadrat od 2at . Pogledajmo gore... nama zapravo i treba razlika brojeva 2ae^x za x=x2 i x=x1 , samo što smo 2a izlučili. Uvedimo novu varijablu u=2at , i sad je jasno da je l upravo razlika u-ova.
u-ovi zadovoljavaju (normiranu kvadratnu) jednadžbu u^2-2bu+1=0 , dakle rješenja su oblika b+-sqrt(b^2-1) . Razlika rješenja sada je, jasno, 2sqrt(b^2-1) , i to je rješenje postavljenog zadatka.
Hjuh. 
|
