|
Tablicom se zadaje [i]operacija[/i] na nekom [i]skupu[/i], a ne grupa. Taj skup, zajedno s tom operacijom, moze biti grupa, ali i ne mora.
Asocijativnost opcenito nije lagano provjeriti tablicom. Ako skup [tex]S[/tex] ima [tex]n[/tex] elemenata, potrebno je za svaki element [tex]j[/tex] napraviti dvije nove tablice (dakle, sve skupa [tex]2n[/tex] novih tablica) s obzirom na operacije [tex]\bullet[/tex] i [tex]\circ[/tex] pri cemu je
[dtex]x\bullet y = (x\cdot j)\cdot y,\text{ za svaki }x,y\in S, \\
x\circ y = x\cdot (j\cdot y),\text{ za svaki }x,y\in S.[/dtex]Ako se te dvije tablice podudaraju za svaki [tex]j[/tex], tada je operacija asocijativna. Naziv ove procedure je [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Light%27s_associativity_test]Lightov algoritam[/url].
Obicno je puno lakse provjeriti sva ostala svojstva. Neka su elementi skupa [tex]S[/tex] predstavljeni simbolima [tex]1,2,\dots,n[/tex]. Tada u uobicajno poredanoj [tex]n\times n[/tex] tablici
[list][*]u svakom retku i svakom stupcu moraju biti iskoristeni svi simboli [tex]1,2,\dots,n[/tex].
[*]Postojanje jedinstvene identitete ekvivalentno je postojanju tocno jednog retka i tocno jednog stupca oblika [tex]12\cdots n[/tex]. Ta dva stupca sijeku se u nekom simbolu [tex]e[/tex]. Taj simbol je identiteta operacije.
[*]Ako je [tex]e[/tex] identiteta operacije, onda se ili nalazi na poziciji [tex](i,i)[/tex] ili, ako se nalazi na poziciji [tex](i,j)[/tex], onda se nalazi i na poziciji [tex](j,i)[/tex], za svaki [tex]i,j\in\{1,2,\dots,n\}[/tex]. To svojstvo osigurava postojanje (lijevog i desnog) inverza.
[*]Ako pretpostavimo asocijativnost i ako tablica operacije zadovoljava gornja svojstva, onda skup [tex]S[/tex] zajedno s tom operacijom cini grupu.
[/list:u]Grupa [tex]S[/tex] biti ce abelova ako i samo ako je tablica simetricna, tj. elementi na pozicijama [tex](i,j)[/tex] i [tex](j,i)[/tex] moraju biti jednaki.
Tablicom se zadaje operacija na nekom skupu, a ne grupa. Taj skup, zajedno s tom operacijom, moze biti grupa, ali i ne mora.
Asocijativnost opcenito nije lagano provjeriti tablicom. Ako skup [tex]S[/tex] ima [tex]n[/tex] elemenata, potrebno je za svaki element [tex]j[/tex] napraviti dvije nove tablice (dakle, sve skupa [tex]2n[/tex] novih tablica) s obzirom na operacije [tex]\bullet[/tex] i [tex]\circ[/tex] pri cemu je
[dtex]x\bullet y = (x\cdot j)\cdot y,\text{ za svaki }x,y\in S, \\
x\circ y = x\cdot (j\cdot y),\text{ za svaki }x,y\in S.[/dtex]Ako se te dvije tablice podudaraju za svaki [tex]j[/tex], tada je operacija asocijativna. Naziv ove procedure je Lightov algoritam.
Obicno je puno lakse provjeriti sva ostala svojstva. Neka su elementi skupa [tex]S[/tex] predstavljeni simbolima [tex]1,2,\dots,n[/tex]. Tada u uobicajno poredanoj [tex]n\times n[/tex] tablici
- u svakom retku i svakom stupcu moraju biti iskoristeni svi simboli [tex]1,2,\dots,n[/tex].
- Postojanje jedinstvene identitete ekvivalentno je postojanju tocno jednog retka i tocno jednog stupca oblika [tex]12\cdots n[/tex]. Ta dva stupca sijeku se u nekom simbolu [tex]e[/tex]. Taj simbol je identiteta operacije.
- Ako je [tex]e[/tex] identiteta operacije, onda se ili nalazi na poziciji [tex](i,i)[/tex] ili, ako se nalazi na poziciji [tex](i,j)[/tex], onda se nalazi i na poziciji [tex](j,i)[/tex], za svaki [tex]i,j\in\{1,2,\dots,n\}[/tex]. To svojstvo osigurava postojanje (lijevog i desnog) inverza.
- Ako pretpostavimo asocijativnost i ako tablica operacije zadovoljava gornja svojstva, onda skup [tex]S[/tex] zajedno s tom operacijom cini grupu.
Grupa [tex]S[/tex] biti ce abelova ako i samo ako je tablica simetricna, tj. elementi na pozicijama [tex](i,j)[/tex] i [tex](j,i)[/tex] moraju biti jednaki.
_________________
The Dude Abides
|
