Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
Loo Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07) Postovi: (D0)16
Spol:
|
Postano: 18:02 sri, 29. 10. 2014 Naslov: neki zadaci (2014./2015.) |
|
|
Kao što sam obećala na današnjim demonstraturama, evo rješenja prošlogodišnje prve školske zadaće (2013.):
Prvo zadaci s kardinalnostima iz obje grupe:
1. grupa
Treba odrediti kardinalnost skupa svih (ne nužno strogo) rastućih nizova prirodnih brojeva.
Neka je [tex]S=\{f\in {\mathbb{N}}^\mathbb{N}: f(n)\leq f(n+1), \forall n \in \mathbb{N} \}[/tex]
Očito je [tex]S \subseteq {\mathbb{N}}^\mathbb{N}[/tex], pa mora biti [tex]k(S) \leq k({\mathbb{N}}^\mathbb{N})=\aleph _{0} ^{\aleph _{0}}[/tex].
Vrijedi [tex]c=2 ^{\aleph _{0}}\leq \aleph _{0} ^{\aleph _{0}} \leq c^{\aleph _{0}}=(2 ^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2 ^{\aleph _{0} \cdot \aleph _{0}}=2 ^{\aleph _{0}}=c[/tex]
Dakle [tex]k(S) \leq k({\mathbb{N}}^\mathbb{N})=\aleph _{0} ^{\aleph _{0}}=c[/tex].
Pokažimo sada drugu nejednakost. Želimo konstruirati injekciju iz skupa kardinaliteta [tex]c[/tex] u skup [tex]S[/tex].
Odnosno, za taj skup ćemo uzeti baš cijeli [tex]{\mathbb{N}}^\mathbb{N}[/tex] i proizvoljan niz ćemo "injektivno pretvoriti" u neopadajući niz.
Definiramo:
[tex]G:{\mathbb{N}}^\mathbb{N} \to S[/tex]
[tex]G(a)(n)=\sum\limits_{i=0}^n a(i)[/tex]
Odnosno imamo:
[tex]a=(a_0, a_1, a_2, a_3,...) \mapsto (a_0, a_0+a_1, a_0 + a_1 + a_2, a_0 + a_1 + a_2+a_3, ...)=G(a)[/tex]
Očito je [tex]G(a) \in {\mathbb{N}}^\mathbb{N}, \forall a \in {\mathbb{N}}^\mathbb{N}[/tex].
Također budući da je [tex]a(n) \geq 0, \forall n \in \mathbb{N}[/tex], vrijedi [tex]G(a)(n)=\sum\limits_{i=0}^n a(i) \leq \sum\limits_{i=0}^{n+1} a(i)= G(a)(n+1), \forall n \in \mathbb{N}[/tex]. Dakle zaista je [tex]G({\mathbb{N}}^\mathbb{N}) \subseteq S[/tex], tj. [tex]G[/tex] je dobro definirana.
Pokažimo sada da je injekcija.
Neka su [tex]a,b \in {\mathbb{N}}^\mathbb{N}, a\neq b[/tex].
Tada postoji [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] t.d. [tex]a(n)\neq b(n)[/tex].
Neka je [tex]n_0[/tex] najmanji takav.
Tada je [tex]a(n)=b(n), \forall n<n_0[/tex].
Ako je [tex]n_0=0[/tex], tj. [tex]a(0)\neq b(0)[/tex], onda je i [tex]G(a)(0)\neq G(b)(0)[/tex], a onda [tex]G(a)\neq G(b)[/tex].
Ako je [tex]n_0\geq 1[/tex], onda imamo da je:
[tex]G(a)(n_0)=\sum\limits_{i=0}^{n_0} a(i)=\sum\limits_{i=0}^{n_0-1} a(i)+a_{n_0}[/tex]
[tex]G(b)(n_0)=\sum\limits_{i=0}^{n_0} b(i)=\sum\limits_{i=0}^{n_0-1} b(i)+b_{n_0}[/tex].
Budući da je [tex]a(n)=b(n), \forall n<n_0[/tex], onda je i [tex]\sum\limits_{i=0}^{n_0-1} a(i)= \sum\limits_{i=0}^{n_0-1} b(i)[/tex], a [tex]a_{n_0}\neq b_{n_0}[/tex].
Dakle [tex]G(a)(n_0)\neq G(b)(n_0)[/tex], a onda i [tex]G(a)\neq G(b)[/tex].
Slijedi da je [tex]G[/tex] injekcija pa vrijedi [tex]c=k({\mathbb{N}}^\mathbb{N}) \leq k(S)[/tex].
Slijedi (po CSB) [tex]k(S)=c[/tex].
2.grupa
Treba odrediti kardinalnost skupa svih simetričnih relacija na [tex]\mathbb{C}[/tex].
Definiramo [tex]S=\{ R\subseteq \mathbb{C} \times \mathbb{C}: R = R^{-1} \} = \{ R\in \mathcal{P}(\mathbb{C} \times \mathbb{C}): R = R^{-1} \} [/tex].
Budući da je [tex]S\subseteq P(\mathbb{C} \times \mathbb{C})[/tex], vrijedi [tex]k(S) \leq k(\mathcal{P}(\mathbb{C} \times \mathbb{C}))=2^c [/tex].
Da bi dokazali drugu nejednakost konstruiramo injekciju iz proizvoljnog skupa kardinaliteta [tex]2^c[/tex] u [tex]S[/tex].
Meni se ovako čini najzgodnije, ali ima još hrpa drugih mogućnosti:
[tex]f: \mathcal{P} (\mathbb{R}) \to S[/tex]
[tex]f(A)=\bigcup _{x\in A}\{(x,i), (i, x) \}[/tex]
Sada se dosta lako provjeri da ovako definirana funkcija ima tražena svojstva (javite ako zapnete).
Dakle [tex]k(S)=2^c[/tex].
Raspisat ću još ostale zadatke kad uhvatim vremena, a i odgovore na neka češća pitanja koja dobivam mailom ću staviti ovdje.
Kao što sam obećala na današnjim demonstraturama, evo rješenja prošlogodišnje prve školske zadaće (2013.):
Prvo zadaci s kardinalnostima iz obje grupe:
1. grupa
Treba odrediti kardinalnost skupa svih (ne nužno strogo) rastućih nizova prirodnih brojeva.
Neka je [tex]S=\{f\in {\mathbb{N}}^\mathbb{N}: f(n)\leq f(n+1), \forall n \in \mathbb{N} \}[/tex]
Očito je [tex]S \subseteq {\mathbb{N}}^\mathbb{N}[/tex], pa mora biti [tex]k(S) \leq k({\mathbb{N}}^\mathbb{N})=\aleph _{0} ^{\aleph _{0}}[/tex].
Vrijedi [tex]c=2 ^{\aleph _{0}}\leq \aleph _{0} ^{\aleph _{0}} \leq c^{\aleph _{0}}=(2 ^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2 ^{\aleph _{0} \cdot \aleph _{0}}=2 ^{\aleph _{0}}=c[/tex]
Dakle [tex]k(S) \leq k({\mathbb{N}}^\mathbb{N})=\aleph _{0} ^{\aleph _{0}}=c[/tex].
Pokažimo sada drugu nejednakost. Želimo konstruirati injekciju iz skupa kardinaliteta [tex]c[/tex] u skup [tex]S[/tex].
Odnosno, za taj skup ćemo uzeti baš cijeli [tex]{\mathbb{N}}^\mathbb{N}[/tex] i proizvoljan niz ćemo "injektivno pretvoriti" u neopadajući niz.
Definiramo:
[tex]G:{\mathbb{N}}^\mathbb{N} \to S[/tex]
[tex]G(a)(n)=\sum\limits_{i=0}^n a(i)[/tex]
Odnosno imamo:
[tex]a=(a_0, a_1, a_2, a_3,...) \mapsto (a_0, a_0+a_1, a_0 + a_1 + a_2, a_0 + a_1 + a_2+a_3, ...)=G(a)[/tex]
Očito je [tex]G(a) \in {\mathbb{N}}^\mathbb{N}, \forall a \in {\mathbb{N}}^\mathbb{N}[/tex].
Također budući da je [tex]a(n) \geq 0, \forall n \in \mathbb{N}[/tex], vrijedi [tex]G(a)(n)=\sum\limits_{i=0}^n a(i) \leq \sum\limits_{i=0}^{n+1} a(i)= G(a)(n+1), \forall n \in \mathbb{N}[/tex]. Dakle zaista je [tex]G({\mathbb{N}}^\mathbb{N}) \subseteq S[/tex], tj. [tex]G[/tex] je dobro definirana.
Pokažimo sada da je injekcija.
Neka su [tex]a,b \in {\mathbb{N}}^\mathbb{N}, a\neq b[/tex].
Tada postoji [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] t.d. [tex]a(n)\neq b(n)[/tex].
Neka je [tex]n_0[/tex] najmanji takav.
Tada je [tex]a(n)=b(n), \forall n<n_0[/tex].
Ako je [tex]n_0=0[/tex], tj. [tex]a(0)\neq b(0)[/tex], onda je i [tex]G(a)(0)\neq G(b)(0)[/tex], a onda [tex]G(a)\neq G(b)[/tex].
Ako je [tex]n_0\geq 1[/tex], onda imamo da je:
[tex]G(a)(n_0)=\sum\limits_{i=0}^{n_0} a(i)=\sum\limits_{i=0}^{n_0-1} a(i)+a_{n_0}[/tex]
[tex]G(b)(n_0)=\sum\limits_{i=0}^{n_0} b(i)=\sum\limits_{i=0}^{n_0-1} b(i)+b_{n_0}[/tex].
Budući da je [tex]a(n)=b(n), \forall n<n_0[/tex], onda je i [tex]\sum\limits_{i=0}^{n_0-1} a(i)= \sum\limits_{i=0}^{n_0-1} b(i)[/tex], a [tex]a_{n_0}\neq b_{n_0}[/tex].
Dakle [tex]G(a)(n_0)\neq G(b)(n_0)[/tex], a onda i [tex]G(a)\neq G(b)[/tex].
Slijedi da je [tex]G[/tex] injekcija pa vrijedi [tex]c=k({\mathbb{N}}^\mathbb{N}) \leq k(S)[/tex].
Slijedi (po CSB) [tex]k(S)=c[/tex].
2.grupa
Treba odrediti kardinalnost skupa svih simetričnih relacija na [tex]\mathbb{C}[/tex].
Definiramo [tex]S=\{ R\subseteq \mathbb{C} \times \mathbb{C}: R = R^{-1} \} = \{ R\in \mathcal{P}(\mathbb{C} \times \mathbb{C}): R = R^{-1} \} [/tex].
Budući da je [tex]S\subseteq P(\mathbb{C} \times \mathbb{C})[/tex], vrijedi [tex]k(S) \leq k(\mathcal{P}(\mathbb{C} \times \mathbb{C}))=2^c [/tex].
Da bi dokazali drugu nejednakost konstruiramo injekciju iz proizvoljnog skupa kardinaliteta [tex]2^c[/tex] u [tex]S[/tex].
Meni se ovako čini najzgodnije, ali ima još hrpa drugih mogućnosti:
[tex]f: \mathcal{P} (\mathbb{R}) \to S[/tex]
[tex]f(A)=\bigcup _{x\in A}\{(x,i), (i, x) \}[/tex]
Sada se dosta lako provjeri da ovako definirana funkcija ima tražena svojstva (javite ako zapnete).
Dakle [tex]k(S)=2^c[/tex].
Raspisat ću još ostale zadatke kad uhvatim vremena, a i odgovore na neka češća pitanja koja dobivam mailom ću staviti ovdje.
|
|
[Vrh] |
|
Loo Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07) Postovi: (D0)16
Spol:
|
Postano: 21:58 sri, 29. 10. 2014 Naslov: |
|
|
Evo sada i zadataka s relacijama:
1.grupa
Pitanje je postoji li irefleksivna relacija na nepraznom skupu [tex]A[/tex] takva da je za svaki [tex]k \in \mathbb{Z} \setminus \{1, -1\}[/tex] relacija [tex]R^k[/tex] refleksivna.
Odgovor je da.
Prmjer takve relacije je [tex]R=\{(1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2)\}[/tex], pri čemu je [tex]A=\{1,2,3\}[/tex].
Sad trebamo provjeriti da zadovoljava tražena svojstva.
Očito je irefleksivna.
Dovoljno je provjeriti da je [tex]R^n[/tex] refleksivna [tex]\forall n\in \mathbb{N} \setminus \{0\}[/tex], jer je po definiciji [tex]R^{-n}=(R^n)^{-1}[/tex], a općenito ako je [tex]Q[/tex] refleksivna onda je i [tex]Q^{-1}[/tex] refleksivna.
Neka je [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
[tex]1)[/tex] [tex]n>0[/tex] paran
Imamo:
[tex]1R3R1R3...3R1 \Rightarrow (1,1)\in R^n[/tex]
[tex]2R1R2R1...1R2 \Rightarrow (2,2) \in R^n[/tex]
[tex]3R1R3R1...1R3 \Rightarrow (3,3) \in R^n[/tex]
([tex]R[/tex]-ova ima [tex]n[/tex])
Dakle [tex]R^n[/tex] je refleksivna.
[tex]2)[/tex] [tex]n[/tex] neparan
[tex]R^n=R^2 \circ R^{n-2}[/tex]
Imamo:
[tex]1R3R1R3...1R3 \Rightarrow (1,3)\in R^{n-2}[/tex]
[tex]2R1R2R1...2R1 \Rightarrow (2,1) \in R^{n-2}[/tex]
[tex]3R1R3R1...3R1 \Rightarrow (3,1) \in R^{n-2}[/tex]
([tex]R[/tex]-ova ima [tex]n-2[/tex], dakle neparno pa ćemo ovakvim nizanjem završiti s istim parom s kojim smo počeli)
Lako se provjeri da je [tex]R^2=A\times A[/tex],
dakle [tex](3,1), (1,2), (1,3) \in R^2[/tex], pa imamo [tex]1R^{n-2}3R^21, 2R^{n-2}1R^2 2, 3R^{n-2}1R^23[/tex], odnosno [tex](1,1),(2,2), (3,3) \in R^n[/tex].
Ponovno dobivamo da je [tex]R^n[/tex] refleksivna.
Mala napomena:
Ako se dobro sjećam, u zadatku se tražio i skup [tex]A[/tex] i relacija na tom skupu, odnosno asistent nam je kad smo to pisali rekao da zapravo zadatak glasi:
Postoji li skup [tex]A[/tex] i relacija s takvim svojstvima?
Onda je rješenje ovo što sam napisala.
No ako je neprazni skup [tex]A[/tex] zadan, i pitanje je postoji li takva relacija na njemu, onda je odgovor općenito ne.
Ako je [tex]A[/tex] jednočlan ili dvočlan, onda takva relacija ne postoji. (to možete lako provjeriti)
A za [tex]k(A)\geq 3[/tex] uvijek možete napraviti isto kao ovo gore, staviti u relaciju sve osim dijagonale skupa i dobit ćete da ima traženo svojstvo.
2.grupa
Ako su [tex]Q, R[/tex] relacije na [tex]A[/tex] za koje je [tex]R\subseteq Q \subseteq R^{T}[/tex], onda je [tex]R^{T}=Q^T[/tex].
Podsjetimo se da je za relaciju [tex]S[/tex], [tex]S^T[/tex] najmanja refleksivna i tranzitivna relacija koja sadrži [tex]S[/tex] (refleksivno i tranzitivno zatvorenje od [tex]S)[/tex].
To znači:
[tex]1)[/tex] [tex]S^T[/tex] je refleksivna i tranzitivna
[tex]2)[/tex] [tex]S\subseteq S^T[/tex]
[tex]3)[/tex] ako je [tex]S'[/tex] refleksivna i tranzitivna i [tex]S\subseteq S'[/tex], onda je [tex]S^T\subseteq S'[/tex].
Neka je [tex]R\subseteq Q \subseteq R^{T}[/tex].
Tvrdimo [tex]R^{T}=Q^T[/tex].
[tex]\subseteq[/tex]
Zbog [tex]R\subseteq Q[/tex] i [tex]Q\subseteq Q^T[/tex] (svojstvo 2) ) imamo [tex]R\subseteq Q^T[/tex].
Sada zbog zadnje inkluzije i činjenice da je [tex]Q^T[/tex] refleksivna i tranzitivna, po svojstvu 3) (za [tex]R^T[/tex]) imamo da mora biti [tex]R^T \subseteq Q^T[/tex].
[tex]\supseteq[/tex]
Imamo [tex]Q\subseteq R^T[/tex].
Pa sad, opet, budući da je [tex]R^T[/tex] refleksivna i tranzitivna i sadrži [tex]Q[/tex], mora biti [tex]Q^T\subseteq R^T[/tex].
Pokazali smo obje inkluzije, dakle [tex]R^{T}=Q^T[/tex].
Evo sada i zadataka s relacijama:
1.grupa
Pitanje je postoji li irefleksivna relacija na nepraznom skupu [tex]A[/tex] takva da je za svaki [tex]k \in \mathbb{Z} \setminus \{1, -1\}[/tex] relacija [tex]R^k[/tex] refleksivna.
Odgovor je da.
Prmjer takve relacije je [tex]R=\{(1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2)\}[/tex], pri čemu je [tex]A=\{1,2,3\}[/tex].
Sad trebamo provjeriti da zadovoljava tražena svojstva.
Očito je irefleksivna.
Dovoljno je provjeriti da je [tex]R^n[/tex] refleksivna [tex]\forall n\in \mathbb{N} \setminus \{0\}[/tex], jer je po definiciji [tex]R^{-n}=(R^n)^{-1}[/tex], a općenito ako je [tex]Q[/tex] refleksivna onda je i [tex]Q^{-1}[/tex] refleksivna.
Neka je [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
[tex]1)[/tex] [tex]n>0[/tex] paran
Imamo:
[tex]1R3R1R3...3R1 \Rightarrow (1,1)\in R^n[/tex]
[tex]2R1R2R1...1R2 \Rightarrow (2,2) \in R^n[/tex]
[tex]3R1R3R1...1R3 \Rightarrow (3,3) \in R^n[/tex]
([tex]R[/tex]-ova ima [tex]n[/tex])
Dakle [tex]R^n[/tex] je refleksivna.
[tex]2)[/tex] [tex]n[/tex] neparan
[tex]R^n=R^2 \circ R^{n-2}[/tex]
Imamo:
[tex]1R3R1R3...1R3 \Rightarrow (1,3)\in R^{n-2}[/tex]
[tex]2R1R2R1...2R1 \Rightarrow (2,1) \in R^{n-2}[/tex]
[tex]3R1R3R1...3R1 \Rightarrow (3,1) \in R^{n-2}[/tex]
([tex]R[/tex]-ova ima [tex]n-2[/tex], dakle neparno pa ćemo ovakvim nizanjem završiti s istim parom s kojim smo počeli)
Lako se provjeri da je [tex]R^2=A\times A[/tex],
dakle [tex](3,1), (1,2), (1,3) \in R^2[/tex], pa imamo [tex]1R^{n-2}3R^21, 2R^{n-2}1R^2 2, 3R^{n-2}1R^23[/tex], odnosno [tex](1,1),(2,2), (3,3) \in R^n[/tex].
Ponovno dobivamo da je [tex]R^n[/tex] refleksivna.
Mala napomena:
Ako se dobro sjećam, u zadatku se tražio i skup [tex]A[/tex] i relacija na tom skupu, odnosno asistent nam je kad smo to pisali rekao da zapravo zadatak glasi:
Postoji li skup [tex]A[/tex] i relacija s takvim svojstvima?
Onda je rješenje ovo što sam napisala.
No ako je neprazni skup [tex]A[/tex] zadan, i pitanje je postoji li takva relacija na njemu, onda je odgovor općenito ne.
Ako je [tex]A[/tex] jednočlan ili dvočlan, onda takva relacija ne postoji. (to možete lako provjeriti)
A za [tex]k(A)\geq 3[/tex] uvijek možete napraviti isto kao ovo gore, staviti u relaciju sve osim dijagonale skupa i dobit ćete da ima traženo svojstvo.
2.grupa
Ako su [tex]Q, R[/tex] relacije na [tex]A[/tex] za koje je [tex]R\subseteq Q \subseteq R^{T}[/tex], onda je [tex]R^{T}=Q^T[/tex].
Podsjetimo se da je za relaciju [tex]S[/tex], [tex]S^T[/tex] najmanja refleksivna i tranzitivna relacija koja sadrži [tex]S[/tex] (refleksivno i tranzitivno zatvorenje od [tex]S)[/tex].
To znači:
[tex]1)[/tex] [tex]S^T[/tex] je refleksivna i tranzitivna
[tex]2)[/tex] [tex]S\subseteq S^T[/tex]
[tex]3)[/tex] ako je [tex]S'[/tex] refleksivna i tranzitivna i [tex]S\subseteq S'[/tex], onda je [tex]S^T\subseteq S'[/tex].
Neka je [tex]R\subseteq Q \subseteq R^{T}[/tex].
Tvrdimo [tex]R^{T}=Q^T[/tex].
[tex]\subseteq[/tex]
Zbog [tex]R\subseteq Q[/tex] i [tex]Q\subseteq Q^T[/tex] (svojstvo 2) ) imamo [tex]R\subseteq Q^T[/tex].
Sada zbog zadnje inkluzije i činjenice da je [tex]Q^T[/tex] refleksivna i tranzitivna, po svojstvu 3) (za [tex]R^T[/tex]) imamo da mora biti [tex]R^T \subseteq Q^T[/tex].
[tex]\supseteq[/tex]
Imamo [tex]Q\subseteq R^T[/tex].
Pa sad, opet, budući da je [tex]R^T[/tex] refleksivna i tranzitivna i sadrži [tex]Q[/tex], mora biti [tex]Q^T\subseteq R^T[/tex].
Pokazali smo obje inkluzije, dakle [tex]R^{T}=Q^T[/tex].
|
|
[Vrh] |
|
Loo Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07) Postovi: (D0)16
Spol:
|
Postano: 8:24 pet, 31. 10. 2014 Naslov: |
|
|
Nekoliko ljudi me pitalo za sljedeći zadatak, pa stavljam rješenje ovdje.
Radi se o zadatku s prve školske zadaće iz 2012.
Treba napraviti bijekciju između [tex]\mathbb{R}^2[/tex] i [tex]\mathbb{R}^2 \setminus \{(x,2x+3): x\in \mathbb{R} \}[/tex].
Ideja je slična kao kad ste određivali bijekciju između [tex]\mathbb{R}[/tex] i [tex]\mathbb{R} \setminus \{0\}[/tex].
Ovdje za svaki [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] radimo bijekciju [tex]\{x\} \times \mathbb{R} \to \{x\} \times \mathbb{R} \setminus \{2x+3\}[/tex].
Tražena bijekcija je [tex]f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \setminus \{(x,2x+3): x\in \mathbb{R}\}[/tex]
[tex]f(x,y) = \left\{
\begin{array}{lr}
(x,-1), & x\geq -\frac{3}{2}, y=2x+3 \\
(x, -\frac {1}{n+1}), & x\geq -\frac{3}{2}, y=-\frac{1}{n}, n\in \mathbb{N}\setminus \{0\} \\
(x,1), & x< -\frac{3}{2}, y=2x+3 \\
(x, \frac {1}{n+1}), & x < -\frac{3}{2}, y=\frac{1}{n}, n\in \mathbb{N}\setminus \{0\} \\
(x,y), & inače
\end{array}
\right.
[/tex]
Ovdje razlikujem slučajeve za [tex]x\geq -\frac{3}{2}, x< -\frac{3}{2}[/tex] jer su to slučajevi kad je [tex]y[/tex] koordinata pravca veća, odnosno manja od nule. To radim zato što mi je važno da ovim "pomicanjem"
[tex](x, \pm \frac{1}{n}) \mapsto (x, \pm \frac{1}{n+1})[/tex] slučajno ne pogodim pravac.
Sva sreća, tražila se samo konstrukcija, bez provjere da ima tražena svojstva. :)
Nekoliko ljudi me pitalo za sljedeći zadatak, pa stavljam rješenje ovdje.
Radi se o zadatku s prve školske zadaće iz 2012.
Treba napraviti bijekciju između [tex]\mathbb{R}^2[/tex] i [tex]\mathbb{R}^2 \setminus \{(x,2x+3): x\in \mathbb{R} \}[/tex].
Ideja je slična kao kad ste određivali bijekciju između [tex]\mathbb{R}[/tex] i [tex]\mathbb{R} \setminus \{0\}[/tex].
Ovdje za svaki [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] radimo bijekciju [tex]\{x\} \times \mathbb{R} \to \{x\} \times \mathbb{R} \setminus \{2x+3\}[/tex].
Tražena bijekcija je [tex]f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \setminus \{(x,2x+3): x\in \mathbb{R}\}[/tex]
[tex]f(x,y) = \left\{
\begin{array}{lr}
(x,-1), & x\geq -\frac{3}{2}, y=2x+3 \\
(x, -\frac {1}{n+1}), & x\geq -\frac{3}{2}, y=-\frac{1}{n}, n\in \mathbb{N}\setminus \{0\} \\
(x,1), & x< -\frac{3}{2}, y=2x+3 \\
(x, \frac {1}{n+1}), & x < -\frac{3}{2}, y=\frac{1}{n}, n\in \mathbb{N}\setminus \{0\} \\
(x,y), & inače
\end{array}
\right.
[/tex]
Ovdje razlikujem slučajeve za [tex]x\geq -\frac{3}{2}, x< -\frac{3}{2}[/tex] jer su to slučajevi kad je [tex]y[/tex] koordinata pravca veća, odnosno manja od nule. To radim zato što mi je važno da ovim "pomicanjem"
[tex](x, \pm \frac{1}{n}) \mapsto (x, \pm \frac{1}{n+1})[/tex] slučajno ne pogodim pravac.
Sva sreća, tražila se samo konstrukcija, bez provjere da ima tražena svojstva.
|
|
[Vrh] |
|
Loo Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07) Postovi: (D0)16
Spol:
|
Postano: 12:18 ned, 2. 11. 2014 Naslov: |
|
|
Jedan kolega me pitao dosta zanimljivo pitanje:
Kako prebrojati injekcije [tex]\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex]?
Ideja rješenja mi se čini dosta korisna pa i to stavljam ovdje.
Ako označimo skup svih tih injekcija sa [tex]S[/tex], očito je [tex]k(S) \leq k(\mathbb{R}^{\mathbb{R}})=2^c[/tex].
Druga nejednakost je puno teža nego kod prebrojavanja npr. surjekcija i periodičkih funkcija jer ovdje ne možete uzeti proizvoljnu funkciju [tex]\mathbb{R}^{[a,b]}[/tex] i proširiti je do injekcije [tex]\mathbb{R}^{\mathbb{R}}[/tex].
Dakle kod konstrukcije injekcije iz nečeg kardinaliteta [tex]2^c[/tex] u [tex]S[/tex], skupovi oblika [tex]\mathbb{R}^{[a,b]}[/tex] nisu dobar izbor za domenu.
Ali možemo napraviti sljedeće:
Definiramo [tex]f: \mathcal{P}(\langle 0,1 \rangle ) \to S[/tex], [tex]A \mapsto f(A):\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex], pri čemu je:
[tex]f(A)(x)=\left\{
\begin{array}{lr}
x, & x\in A \\
-x, & x\in \langle 0,1 \rangle \setminus A \\
x+1, & x\geq 1 \\
x-1, & x\leq 0
\end{array}
\right.
[/tex]
Sad lako provjerite da je [tex]f[/tex] injekcija i da je [tex]f(A)[/tex] injekcija za svaki [tex]A\in \mathcal{P}(\langle 0,1 \rangle )[/tex].
Znači [tex]k(S) \geq k(\mathcal{P}(\langle 0,1 \rangle ))=2^c[/tex].
(moglo je ovo i s manje slučajeva, ali mislim da je ovako ideja jasnija, a najbitnije je da smo dobili traženo :) )
To je to zasad od mene, sretno na blicu! :)
Jedan kolega me pitao dosta zanimljivo pitanje:
Kako prebrojati injekcije [tex]\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex]?
Ideja rješenja mi se čini dosta korisna pa i to stavljam ovdje.
Ako označimo skup svih tih injekcija sa [tex]S[/tex], očito je [tex]k(S) \leq k(\mathbb{R}^{\mathbb{R}})=2^c[/tex].
Druga nejednakost je puno teža nego kod prebrojavanja npr. surjekcija i periodičkih funkcija jer ovdje ne možete uzeti proizvoljnu funkciju [tex]\mathbb{R}^{[a,b]}[/tex] i proširiti je do injekcije [tex]\mathbb{R}^{\mathbb{R}}[/tex].
Dakle kod konstrukcije injekcije iz nečeg kardinaliteta [tex]2^c[/tex] u [tex]S[/tex], skupovi oblika [tex]\mathbb{R}^{[a,b]}[/tex] nisu dobar izbor za domenu.
Ali možemo napraviti sljedeće:
Definiramo [tex]f: \mathcal{P}(\langle 0,1 \rangle ) \to S[/tex], [tex]A \mapsto f(A):\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex], pri čemu je:
[tex]f(A)(x)=\left\{
\begin{array}{lr}
x, & x\in A \\
-x, & x\in \langle 0,1 \rangle \setminus A \\
x+1, & x\geq 1 \\
x-1, & x\leq 0
\end{array}
\right.
[/tex]
Sad lako provjerite da je [tex]f[/tex] injekcija i da je [tex]f(A)[/tex] injekcija za svaki [tex]A\in \mathcal{P}(\langle 0,1 \rangle )[/tex].
Znači [tex]k(S) \geq k(\mathcal{P}(\langle 0,1 \rangle ))=2^c[/tex].
(moglo je ovo i s manje slučajeva, ali mislim da je ovako ideja jasnija, a najbitnije je da smo dobili traženo )
To je to zasad od mene, sretno na blicu!
|
|
[Vrh] |
|
Loo Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07) Postovi: (D0)16
Spol:
|
Postano: 12:27 sub, 20. 12. 2014 Naslov: |
|
|
Evo još dva zadatka. Rješavala sam ih na demonstraturama ali sam dobila dosta pitanja u vezi njih na mail pa stavljam rješenja ovdje.
To su 4. zadaci iz obje grupe iz kolokvija https://1c9dd60f-a-62cb3a1a-s-sites.googlegroups.com/site/mathnastava/home/teorija-skupova/starikolokvijiidrugaskolskazadaca/TS-kolokvij2-11.pdf?attachauth=ANoY7cplXd5iEGr4_yjfHoSBgAWahkwIG8ZzqC7fhWC0z_UHLK9hpxA2avF2vs05lj65nD5FGTg8fFWlUtUDRl5BTvPSt8tOC_WNWI7GvUCO0vh8YK0fb1j_gcI3zXm01rnaWhPTlPPLhlR62uyrZwO5C0sWqLXeThNLPT5YzIWQb6MtMaAKsKIPjsaFyTRYK9RcncDOw1AuOsoIJDeI4fkeKQSzf_gQU1aJmzTKG56YAXzD4-8EKtRcQGddI_MbGvgn1W_qMyVC_Q_U5AF-EK1Uq1j_4N51nGqrkLRBlD39FSh-xyA58_8%3D&attredirects=0
[u]Prva grupa:[/u]
Odgovor je da [tex]([0,1] \times [0,1], <_{AL})[/tex] i [tex]([0,1], <)[/tex] nisu slični jer je separabilnost invarijanta sličnosti a [tex]([0,1], <)[/tex] je separabilan, dok [tex]([0,1] \times [0,1], <_{AL})[/tex] nije.
Pokažimo da [tex]([0,1] \times [0,1], <_{AL})[/tex] nije separabilan.
Pretpostavimo suprotno, da postoji prebrojiv [tex]A \subseteq [0,1] \times [0,1][/tex] koji je gust u [tex][0,1] \times [0,1][/tex].
Sada uočimo da je za svaki [tex]x \in [0,1][/tex], [tex](0,x) <_{AL} (1,x)[/tex] i naravno [tex](0,x), (1,x) \in [0,1] \times [0,1][/tex].
Sada označimo:
[tex]I_x = \langle (0,x), (1,x) \rangle = \{(y_1, y_2) \in [0,1] \times [0,1] : (0,x) <_{AL} (y_1, y_2) <_{AL} (1,x)\} = \{(y,x): y\in \langle 0,1 \rangle\}[/tex], za [tex]x\in [0,1][/tex]-
Zadnja jednakost se lako pokaže iz definicije antileksikografskog uređaja, i isto tako i da je
[tex]I_x \cap I_y = \emptyset[/tex] za [tex]x\neq y[/tex].
Zadatak je puno lakše shvatiti ako si nacrtate sličicu, ovi [tex]I_x[/tex] su zapravo ove horizontalne linije na slici [tex][0,1] \times [0,1][/tex] s isključenim rubovima.
I sad separabilnost povlači da na svakoj toj liniji (ili na svakom "katu" ) postoji neka točka iz [tex]A[/tex] jer je [tex](0,x) <_{AL} (1,x)[/tex].
I sad smo skoro gotovi jer imamo sljedeće:
[tex](A\cap I_x : x\in [0,1])[/tex] je familija nepraznih u parovima disjunktnih skupova i svi su podskupovi od [tex]A[/tex].
Onda imamo da je [tex]\bigcup _{x\in [0,1]} (A \cap I_x) \subseteq A[/tex].
Ova unija je neprebrojiv skup (koristeći aksiom izbora možete lako napraviti injekciju iz [tex][0,1][/tex] u uniju, tj. u [tex]A[/tex]) pa je ovo kontradikcija s pretpostavkom da je [tex]A[/tex] prebrojiv.
Dakle [tex]([0,1] \times [0,1], <_{AL})[/tex] nije separabilan.
Još preostaje pokazati da je [tex]([0,1], <)[/tex] separabilan.
Ali to zaista nije problem jer zbog gustoće [tex]\mathbb{Q}[/tex] u [tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]\mathbb{Q} \cap [0,1][/tex] je gust u [tex][0,1][/tex] i prebrojiv je.
[u]Druga grupa:[/u]
Ponovno je odgovor da [tex](\{0,1\} ^{\mathbb{N}}, <_{L})[/tex] i [tex]([0,1], <)[/tex] nisu slični.
To je zbog toga što je gustoća invarijanta sličnosti - [tex]([0,1], <)[/tex] je gust a [tex](\{0,1\} ^{\mathbb{N}}, <_{L})[/tex] nije.
Leksikografski uređaj na skupu nizova nula i jedinica definiramo ovako:
Za [tex]x=(x_n)[/tex] i [tex]y=(y_n)[/tex] je [tex]x<_{L} y[/tex] ako je [tex]x\neq y[/tex] i [tex]x_{n_0}< y_{n_0}[/tex], tj. [tex]x_{n_0}=0[/tex], a [tex]y_{n_0}=1[/tex] za [tex]n_0=\min \{n \in \mathbb{N}: x_n \neq y_n\}[/tex].
I sad vidimo da ako uzmemo nizove
[tex]x=(0,1,1,1,1,...)[/tex]
[tex]y=(1,0,0,0,0,...)[/tex]
imamo da je [tex]x<_{L} y[/tex] ali ne postoji [tex]z \in \{0,1\} ^{\mathbb{N}}[/tex] t.d. je [tex]x<_{L} z <_{L} y[/tex].
Pretpostavimo suprotno, da postoji takav [tex]z[/tex].
Zbog [tex]x<_{L} z[/tex] imamo da mora biti [tex]x_{n_0}=0[/tex] i [tex]z_{n_0}=1[/tex] gdje je [tex]n_0=\min \{n \in \mathbb{N}: x_n \neq z_n\}[/tex].
No vidimo da je [tex]x_{n_0}=0[/tex] moguće samo za [tex]n_0=0[/tex].
Znači zasad znamo da je [tex]z_0=1[/tex].
Zbog [tex]z<_{L} y[/tex] imamo da je [tex]z_{n_1}=0[/tex] i [tex]y_{n_1}=1[/tex] za [tex]n_1=\min \{n \in \mathbb{N}: z_n \neq y_n\}[/tex].
Sada imamo da je [tex]y_{n_1}=1[/tex] moguće samo ako je [tex]n_1 =0[/tex], a onda [tex]z_0=0[/tex]. No ovo je kontradikcija s prethodnim zaključkom da je [tex]z_0=1[/tex].
Znači ne postoji takav [tex]z[/tex].
Činjenica da je [tex]([0,1], <)[/tex] gust se nasljeđuje iz gustoće od [tex](\mathbb{R}, <)[/tex].
Napomena:
Ovdje se moglo dokazivati i da [tex](\{0,1\} ^{\mathbb{N}}, <_{L})[/tex] nije separabilan, skroz bi isti argument bio.
Zapravo imamo da separabilnost povlači gustoću skupa, odnosno po obratu po kontrapoziciji, ako skup nije gust, onda nije ni separabilan.
Obratno ne vrijedi, npr [tex]([0,1] \times [0,1], <_{AL})[/tex] je gust (između svake dvije točke možete naći neku treću), ali kao što smo pokazali, nije separabilan.
Evo još dva zadatka. Rješavala sam ih na demonstraturama ali sam dobila dosta pitanja u vezi njih na mail pa stavljam rješenja ovdje.
To su 4. zadaci iz obje grupe iz kolokvija https://1c9dd60f-a-62cb3a1a-s-sites.googlegroups.com/site/mathnastava/home/teorija-skupova/starikolokvijiidrugaskolskazadaca/TS-kolokvij2-11.pdf?attachauth=ANoY7cplXd5iEGr4_yjfHoSBgAWahkwIG8ZzqC7fhWC0z_UHLK9hpxA2avF2vs05lj65nD5FGTg8fFWlUtUDRl5BTvPSt8tOC_WNWI7GvUCO0vh8YK0fb1j_gcI3zXm01rnaWhPTlPPLhlR62uyrZwO5C0sWqLXeThNLPT5YzIWQb6MtMaAKsKIPjsaFyTRYK9RcncDOw1AuOsoIJDeI4fkeKQSzf_gQU1aJmzTKG56YAXzD4-8EKtRcQGddI_MbGvgn1W_qMyVC_Q_U5AF-EK1Uq1j_4N51nGqrkLRBlD39FSh-xyA58_8%3D&attredirects=0
Prva grupa:
Odgovor je da [tex]([0,1] \times [0,1], <_{AL})[/tex] i [tex]([0,1], <)[/tex] nisu slični jer je separabilnost invarijanta sličnosti a [tex]([0,1], <)[/tex] je separabilan, dok [tex]([0,1] \times [0,1], <_{AL})[/tex] nije.
Pokažimo da [tex]([0,1] \times [0,1], <_{AL})[/tex] nije separabilan.
Pretpostavimo suprotno, da postoji prebrojiv [tex]A \subseteq [0,1] \times [0,1][/tex] koji je gust u [tex][0,1] \times [0,1][/tex].
Sada uočimo da je za svaki [tex]x \in [0,1][/tex], [tex](0,x) <_{AL} (1,x)[/tex] i naravno [tex](0,x), (1,x) \in [0,1] \times [0,1][/tex].
Sada označimo:
[tex]I_x = \langle (0,x), (1,x) \rangle = \{(y_1, y_2) \in [0,1] \times [0,1] : (0,x) <_{AL} (y_1, y_2) <_{AL} (1,x)\} = \{(y,x): y\in \langle 0,1 \rangle\}[/tex], za [tex]x\in [0,1][/tex]-
Zadnja jednakost se lako pokaže iz definicije antileksikografskog uređaja, i isto tako i da je
[tex]I_x \cap I_y = \emptyset[/tex] za [tex]x\neq y[/tex].
Zadatak je puno lakše shvatiti ako si nacrtate sličicu, ovi [tex]I_x[/tex] su zapravo ove horizontalne linije na slici [tex][0,1] \times [0,1][/tex] s isključenim rubovima.
I sad separabilnost povlači da na svakoj toj liniji (ili na svakom "katu" ) postoji neka točka iz [tex]A[/tex] jer je [tex](0,x) <_{AL} (1,x)[/tex].
I sad smo skoro gotovi jer imamo sljedeće:
[tex](A\cap I_x : x\in [0,1])[/tex] je familija nepraznih u parovima disjunktnih skupova i svi su podskupovi od [tex]A[/tex].
Onda imamo da je [tex]\bigcup _{x\in [0,1]} (A \cap I_x) \subseteq A[/tex].
Ova unija je neprebrojiv skup (koristeći aksiom izbora možete lako napraviti injekciju iz [tex][0,1][/tex] u uniju, tj. u [tex]A[/tex]) pa je ovo kontradikcija s pretpostavkom da je [tex]A[/tex] prebrojiv.
Dakle [tex]([0,1] \times [0,1], <_{AL})[/tex] nije separabilan.
Još preostaje pokazati da je [tex]([0,1], <)[/tex] separabilan.
Ali to zaista nije problem jer zbog gustoće [tex]\mathbb{Q}[/tex] u [tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]\mathbb{Q} \cap [0,1][/tex] je gust u [tex][0,1][/tex] i prebrojiv je.
Druga grupa:
Ponovno je odgovor da [tex](\{0,1\} ^{\mathbb{N}}, <_{L})[/tex] i [tex]([0,1], <)[/tex] nisu slični.
To je zbog toga što je gustoća invarijanta sličnosti - [tex]([0,1], <)[/tex] je gust a [tex](\{0,1\} ^{\mathbb{N}}, <_{L})[/tex] nije.
Leksikografski uređaj na skupu nizova nula i jedinica definiramo ovako:
Za [tex]x=(x_n)[/tex] i [tex]y=(y_n)[/tex] je [tex]x<_{L} y[/tex] ako je [tex]x\neq y[/tex] i [tex]x_{n_0}< y_{n_0}[/tex], tj. [tex]x_{n_0}=0[/tex], a [tex]y_{n_0}=1[/tex] za [tex]n_0=\min \{n \in \mathbb{N}: x_n \neq y_n\}[/tex].
I sad vidimo da ako uzmemo nizove
[tex]x=(0,1,1,1,1,...)[/tex]
[tex]y=(1,0,0,0,0,...)[/tex]
imamo da je [tex]x<_{L} y[/tex] ali ne postoji [tex]z \in \{0,1\} ^{\mathbb{N}}[/tex] t.d. je [tex]x<_{L} z <_{L} y[/tex].
Pretpostavimo suprotno, da postoji takav [tex]z[/tex].
Zbog [tex]x<_{L} z[/tex] imamo da mora biti [tex]x_{n_0}=0[/tex] i [tex]z_{n_0}=1[/tex] gdje je [tex]n_0=\min \{n \in \mathbb{N}: x_n \neq z_n\}[/tex].
No vidimo da je [tex]x_{n_0}=0[/tex] moguće samo za [tex]n_0=0[/tex].
Znači zasad znamo da je [tex]z_0=1[/tex].
Zbog [tex]z<_{L} y[/tex] imamo da je [tex]z_{n_1}=0[/tex] i [tex]y_{n_1}=1[/tex] za [tex]n_1=\min \{n \in \mathbb{N}: z_n \neq y_n\}[/tex].
Sada imamo da je [tex]y_{n_1}=1[/tex] moguće samo ako je [tex]n_1 =0[/tex], a onda [tex]z_0=0[/tex]. No ovo je kontradikcija s prethodnim zaključkom da je [tex]z_0=1[/tex].
Znači ne postoji takav [tex]z[/tex].
Činjenica da je [tex]([0,1], <)[/tex] gust se nasljeđuje iz gustoće od [tex](\mathbb{R}, <)[/tex].
Napomena:
Ovdje se moglo dokazivati i da [tex](\{0,1\} ^{\mathbb{N}}, <_{L})[/tex] nije separabilan, skroz bi isti argument bio.
Zapravo imamo da separabilnost povlači gustoću skupa, odnosno po obratu po kontrapoziciji, ako skup nije gust, onda nije ni separabilan.
Obratno ne vrijedi, npr [tex]([0,1] \times [0,1], <_{AL})[/tex] je gust (između svake dvije točke možete naći neku treću), ali kao što smo pokazali, nije separabilan.
|
|
[Vrh] |
|
frutabella Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36) Postovi: (24E)16
|
|
[Vrh] |
|
4017 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 03. 2012. (20:55:09) Postovi: (17)16
|
|
[Vrh] |
|
gljividus Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 11. 2012. (22:18:49) Postovi: (D)16
|
|
[Vrh] |
|
iciganov1 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 11. 2009. (18:28:55) Postovi: (7A)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Llama Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2012. (09:50:53) Postovi: (14)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
hendrix Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 09. 2012. (15:59:06) Postovi: (92)16
|
|
[Vrh] |
|
jema Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 09. 2011. (15:56:35) Postovi: (52)16
|
Postano: 11:27 uto, 10. 2. 2015 Naslov: |
|
|
Imam pitanje u vezi dokaza da je 2^alef0=c, tj da je {0,1} na N ekvipotentan s R (predavanja, pr. 1.55, str. 39).
Kada ide injekcija iz {0,1} na N u R, uzmemo niz (x(n)) i preslikamo ga u 0, x(0)x(1)x(2)... obratno, posto je <0,1> ekvipotentan s R, uzmimo elemen iz tog intervala, 0,x(0)x(1)x(2)... i preslikamo da u niz (x(n)) iz {0,1} na N.
sve elemenete iz <0,1> promatramo u dec. prikazu s besk. mnogo decimala različitih od nule.
nije mi jasno npr. broj 0,5784999999... je u tom intervalu, i kako je onda niz 5,7,8,4,9,9,9,9,... u skupu {0,1} na N, kada su u tom skupu samo nizovi sa prebrojivo elemenata 0 ili 1?
Pa molim ako mi netko moze to pojasniti )
Zahvaljujem!
Imam pitanje u vezi dokaza da je 2^alef0=c, tj da je {0,1} na N ekvipotentan s R (predavanja, pr. 1.55, str. 39).
Kada ide injekcija iz {0,1} na N u R, uzmemo niz (x(n)) i preslikamo ga u 0, x(0)x(1)x(2)... obratno, posto je <0,1> ekvipotentan s R, uzmimo elemen iz tog intervala, 0,x(0)x(1)x(2)... i preslikamo da u niz (x(n)) iz {0,1} na N.
sve elemenete iz <0,1> promatramo u dec. prikazu s besk. mnogo decimala različitih od nule.
nije mi jasno npr. broj 0,5784999999... je u tom intervalu, i kako je onda niz 5,7,8,4,9,9,9,9,... u skupu {0,1} na N, kada su u tom skupu samo nizovi sa prebrojivo elemenata 0 ili 1?
Pa molim ako mi netko moze to pojasniti
Zahvaljujem!
|
|
[Vrh] |
|
mdoko Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12) Postovi: (71A)16
Spol:
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
|
Postano: 17:46 uto, 10. 2. 2015 Naslov: |
|
|
[quote="jema"]Imam pitanje u vezi dokaza da je 2^alef0=c, tj da je {0,1} na N ekvipotentan s R (predavanja, pr. 1.55, str. 39).
Kada ide injekcija iz {0,1} na N u R, uzmemo niz (x(n)) i preslikamo ga u 0, x(0)x(1)x(2)... obratno, posto je <0,1> ekvipotentan s R, uzmimo elemen iz tog intervala, 0,x(0)x(1)x(2)... i preslikamo da u niz (x(n)) iz {0,1} na N.
sve elemenete iz <0,1> promatramo u dec. prikazu s besk. mnogo decimala različitih od nule.
nije mi jasno npr. broj 0,5784999999... je u tom intervalu, i kako je onda niz 5,7,8,4,9,9,9,9,... u skupu {0,1} na N, kada su u tom skupu samo nizovi sa prebrojivo elemenata 0 ili 1?
Pa molim ako mi netko moze to pojasniti :)[/quote]
Treba gledati binarni, a ne decimalni zapis.
jema (napisa): | Imam pitanje u vezi dokaza da je 2^alef0=c, tj da je {0,1} na N ekvipotentan s R (predavanja, pr. 1.55, str. 39).
Kada ide injekcija iz {0,1} na N u R, uzmemo niz (x(n)) i preslikamo ga u 0, x(0)x(1)x(2)... obratno, posto je <0,1> ekvipotentan s R, uzmimo elemen iz tog intervala, 0,x(0)x(1)x(2)... i preslikamo da u niz (x(n)) iz {0,1} na N.
sve elemenete iz <0,1> promatramo u dec. prikazu s besk. mnogo decimala različitih od nule.
nije mi jasno npr. broj 0,5784999999... je u tom intervalu, i kako je onda niz 5,7,8,4,9,9,9,9,... u skupu {0,1} na N, kada su u tom skupu samo nizovi sa prebrojivo elemenata 0 ili 1?
Pa molim ako mi netko moze to pojasniti |
Treba gledati binarni, a ne decimalni zapis.
_________________ Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
|
|
[Vrh] |
|
jema Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 09. 2011. (15:56:35) Postovi: (52)16
|
|
[Vrh] |
|
|