pitanje u vezi 2. kolokvija

[Gost]

pošto grupa asistenta Ercega nije na vježbama radila dijagonalizaciju, da li to ulazi u kolokvij? tipa 4. zad prošle godine ili samo ulazi prvi dio zadatka di treba odrediti svojstvene vrijednosti, svojstvene potprostore i algebarske i geometrijske kratnosti?

[Gost]

Ne samo povodom ovog pitanja, nego i općenito zato što je,
zbog ne baš povoljnog "kalendara", dio gradiva o spektru
odrađen u priličnom vremenskom škripcu, evo malo komentara.

Pogledajte domaću zadaću sa zadacima o spektru i dijagonalizaciji
i dobro pročitajte upute uz neke zadatke (pogotovo ako nešto
nije otprije jasno, naravno). U kolokviju općenito ne dolazi ništa
što bi zahtijevalo neko "izvannastavno" znanje, no ako vladate
ovim što je navedeno u pitanju kao prvi dio -
"...odrediti svojstvene vrijednosti, svojstvene potprostore i
algebarske i geometrijske kratnosti",
to je zapravo sve što treba za dijagonalizaciju
ili zaključak da ona nije moguća.

U načelu, radi se o tome (kao što znate) da se rješava jedan ili
više homogenih sustava linearnih jednadžbi, za svaku svojstvenu
vrijednost jedan sustav ( to je (A - lambda I) X = 0) pa se gleda
maksimalni linearno nezavisan skup sastavljen isključivo od
rješenja tih sustava; kraće rečeno, uzme se unija svih
baza tih svojstvenih potprostora pa ili je to baza cijelog prostora,
što je nužan i dovoljan uvjet za dijagonalizaciju ili nije.
Dakle, to je kao "unija" nekoliko zadataka rješavanja sustava,
a u kojima varira samo svojstvena vrijednost.

Dakako, korisno je znati da čim je neka geometrijska kratnost
manja od algebarske, za barem jednu svojstvenu vrijednost,
onda dijagonalizacija nije moguća jer očito je taj nužan i dovoljan
uvjet da zbroj dimenzija svih svojstvenih potprostora bude
jednak dimenziji cijelog prostora.

Ovo uzmite u obzir i u svemu tome nema zapravo nikakvih
"tajni", sve se svodi na dobro poznate postupke i zaključke,
nakon što se jednom izračuna spektar (najčešće kao skup
nultočaka karakterističnog polinoma, a katkad je spektar
dosta očigledan iz geometrijskih ili nekih drugih razloga).
Zaključno, (i) ovdje bitno dolazi do izražaja razumijevanje
rješavanja sustava linearnih jednadžbi, posebno strukture
skupa rješenja homogenog sustava. Šifra: LA1 (kakvu poznajemo
i volimo...a i položili smo je).

I vježbati, naravno.

Juraj Šiftar

[Juraj Siftar]

Jedan mali ispravak:

Dio rečenice treba glasiti

...uzme se unija baza
svih tih svojstvenih potprostora...

dakako, a ne
"uzme se unija svih
baza tih svojstvenih potprostora..."

Riječ "svih" bila je na pogrešnom mjestu,
jer treba uzeti po jednu bazu (bilo koju)
od svakog potprostora pa onda uniju
izabranih baza. To će sigurno biti linearno
nezavisan skup, sastavljen od svojstvenih
vektora i maksimalan takav.

[briscola4]

Kako bi trebalo riješiti 3.b i 3.c zadatke
iz prošlogodišnjeg kolokvija?
Uputa za ove zadatke nema u rješenjima.

[Juraj Siftar]

Zadatak 3c - standardno, najprije se nađe matrica u prikladnoj
bazi, a nju čine vektori a1, a2 i vektor okomit na oba, a onda se
poznatim načinom izračuna matrica u bazi (e').

Zadatak 3b - ako se vektori baze (e') mogu dobiti nekom
rotacijom prostora iz vektora baze (e), onda je matrica prijelaza
ujedno i matrica rotacije (u bazi (e)). Sad nemam vremena
računati to konkretno, no ako je neka matrica pridružena rotaciji
(u "nekoj" bazi, u kojoj to nije očito rotacija) onda ta matrica
mora imati determinantu 1,
mora imati jednu svojstvenu vrijednost 1 (vektor na osi rotacije),
trag joj mora biti između -1 i 3, a ravninu ortogonalnu na os
rotacije mora preslikavati samu u sebe (ta ravnina je ortogonalni
komplement osi rotacije). Ako matrica ne ispunjava sve ove
uvjete, sigurno nije pridružena rotaciji. Ako ih ispunjava, onda se
pređe u bazu koju čine svojstveni vektor za 1 i dva na njega
okomita vektora pa se u toj bazi vidi ima li tipični oblik rotacije.

[rex993]

Zanima me kako riješiti zadatak kao sto je 4.c u 11 zadaći?
Matrični prikaz operatora u kanonskoj bazi:
(c)Rotacija za 45 stupnjeva oko pravca zadanog vektorom smjera a=i-2k.[/code]

[Juraj Siftar]

U ovom i svim sličnim zadacima - a kao što se naglašavalo
i na vježbama i na predavanjima - najprije napišete matricu
u geometrijski prirodno odabranoj bazi, onoj u kojoj
unaprijed znate kako će izgledati matrica.

Matrica rotacije za kut x svakako ima oblik

1 0 0

0 cos x - sin x

0 sin x cos x


ako se za prvi vektor baze uzme vektor na
osi rotacije, a za daljnja dva vektora uzmu
se ortonormirani vektori u ravnini okomitoj
na osi. Dakle, ovdje je vektor osi zadan,
sljedeća dva izračunate, onda imate bazu
i matricu u toj bazi pa se standarnim prijelazom
dobije matrica i u kanonskoj bazi.

Savjet: shvatite ideju (vrlo jednostavnu, pritom)
na kojoj se zasnivaju svi slični primjeri, umjesto
da sve to gledate kao pojedinačne "ovako ide
ovaj zadatak..." primjere.

[rex993]

Hvala lijepo!