|
Evo i 2. domaće zadaće.
Napominjem da je "količina" zadanog prividno velika, no da je dobar dio ove
zadaće vrlo lagan, dok se podzadaci 1.(d) i "Pokušajte naći..." u 2. zadatku
mogu smatrati neobaveznima (ovisno o pojedinačnom zanimanju za materiju).
[b]Konačne geometrije - 2. domaća zadaća [/b]
17. travnja 2015.
1. Tema: nužni uvjeti postojanja simetričnog dizajna 2-(v, k, λ), reda n = k - λ.
(a) Za svaku konačnu projektivnu ravninu vrijedi da su joj bilo koja dva od parametara
v, k, λ (=1) i n relativno prosti. Takvo svojstvo imaju i neki Hadamardovi dizajni, npr.
za (11,5,2) i (19,9,4). Pronađite još neke četvorke parametara v, k, λ, n za koje su
ispunjeni poznati nužni uvjeti postojanja simetričnog dizajna, a svaka dva od njih su
relativno prosti (te ne pripadaju ni projektivnim ravninama ni Hadamardovim dizajnima).
(b) Odredite neke četvorke v, k, λ, n koje imaju zajednički djelitelj 3, odnosno zajednički
djelitelj 5, a ispunjavaju poznate nužne uvjete postojanja simetričnog dizajna.
(c) Ispitajte ispunjavaju li trojke (85, 28, 9), (103, 34, 11), (191, 20, 2), (211, 21, 2) i
(365, 169, 78 ) poznate nužne uvjete za postojanje simetričnog (v, k, λ) dizajna.
(d) Za sve pronađene ili zadane primjere parametara u (a), (b) i (c) pokušajte u literaturi
ustanoviti je li utvrđeno postojanje pripadnih simetričnih dizajna.
2. Koja je najmanja vrijednost v (broja točaka) Hadamardovog dizajna za koju ne bismo
znali konstruirati takav dizajn primjenom metoda naučenih na predavanjima?
Pokušajte naći (npr. u literaturi) konstrukciju takvog dizajna. (Moguća uputa: knjiga
[4] u popisu literature u skriptama, str. 270).
3. Neka je P projektivna ravnina, a φ bilo koja njezina kolineacija (automorfizam). Uočite
da ako φ ima barem dvije fiksne točke, onda je njihova spojnica fiksni pravac i dualno,
sjecište bilo koja dva fiksna pravca od φ je fiksna točka. Pretpostavimo da je φ
kolineacija koja fiksira četverovrh u projektivnoj ravnini, to jest takve 4 točke da po 3 od
njih nisu kolinearne (ne pripadaju jednom pravcu/bloku). Dokažite: (a) Ako je P reda 3,
takva kolineacija φ nužno je jedinični automorfizam (identiteta). (b) Ako je P reda 4,
φ ne mora biti identiteta. Pokušajte konstruirati ravninu P reda 4 na temelju postojanja
kolineacije φ s navedenim svojstvom, različite od identitete. Kakvu strukturu ima
skup svih fiksnih točaka i fiksnih pravaca kolineacije φ ?
Evo i 2. domaće zadaće.
Napominjem da je "količina" zadanog prividno velika, no da je dobar dio ove
zadaće vrlo lagan, dok se podzadaci 1.(d) i "Pokušajte naći..." u 2. zadatku
mogu smatrati neobaveznima (ovisno o pojedinačnom zanimanju za materiju).
Konačne geometrije - 2. domaća zadaća
17. travnja 2015.
1. Tema: nužni uvjeti postojanja simetričnog dizajna 2-(v, k, λ), reda n = k - λ.
(a) Za svaku konačnu projektivnu ravninu vrijedi da su joj bilo koja dva od parametara
v, k, λ (=1) i n relativno prosti. Takvo svojstvo imaju i neki Hadamardovi dizajni, npr.
za (11,5,2) i (19,9,4). Pronađite još neke četvorke parametara v, k, λ, n za koje su
ispunjeni poznati nužni uvjeti postojanja simetričnog dizajna, a svaka dva od njih su
relativno prosti (te ne pripadaju ni projektivnim ravninama ni Hadamardovim dizajnima).
(b) Odredite neke četvorke v, k, λ, n koje imaju zajednički djelitelj 3, odnosno zajednički
djelitelj 5, a ispunjavaju poznate nužne uvjete postojanja simetričnog dizajna.
(c) Ispitajte ispunjavaju li trojke (85, 28, 9), (103, 34, 11), (191, 20, 2), (211, 21, 2) i
(365, 169, 78 ) poznate nužne uvjete za postojanje simetričnog (v, k, λ) dizajna.
(d) Za sve pronađene ili zadane primjere parametara u (a), (b) i (c) pokušajte u literaturi
ustanoviti je li utvrđeno postojanje pripadnih simetričnih dizajna.
2. Koja je najmanja vrijednost v (broja točaka) Hadamardovog dizajna za koju ne bismo
znali konstruirati takav dizajn primjenom metoda naučenih na predavanjima?
Pokušajte naći (npr. u literaturi) konstrukciju takvog dizajna. (Moguća uputa: knjiga
[4] u popisu literature u skriptama, str. 270).
3. Neka je P projektivna ravnina, a φ bilo koja njezina kolineacija (automorfizam). Uočite
da ako φ ima barem dvije fiksne točke, onda je njihova spojnica fiksni pravac i dualno,
sjecište bilo koja dva fiksna pravca od φ je fiksna točka. Pretpostavimo da je φ
kolineacija koja fiksira četverovrh u projektivnoj ravnini, to jest takve 4 točke da po 3 od
njih nisu kolinearne (ne pripadaju jednom pravcu/bloku). Dokažite: (a) Ako je P reda 3,
takva kolineacija φ nužno je jedinični automorfizam (identiteta). (b) Ako je P reda 4,
φ ne mora biti identiteta. Pokušajte konstruirati ravninu P reda 4 na temelju postojanja
kolineacije φ s navedenim svojstvom, različite od identitete. Kakvu strukturu ima
skup svih fiksnih točaka i fiksnih pravaca kolineacije φ ?
|
