|
Slijedi nekoliko napomena/tumačenja na temu diferencijskih skupova
(u skriptama 6. poglavlje, prve 2-3 stranice) uz predavanje od 30. svibnja.
Dakle, kao što je naglašavano, u skriptama je notacija u grupi G
multiplikativna, što onda formalno-jezično odudara od pojma "diferencijskog
skupa" u grupi, gdje diferencija elemenata a i b podrazumijeva oznaku
a - b (= a + (-b)) u grupi (G,+). U skriptama izabrana je multiplikativna notacija
(napomena iza definicije 6.2) pa se uzima da je k-člani podskup D u grupi G reda v
(v, k, λ) - diferencijski skup ako se svaki element iz G, različit od 1, može
na točno λ načina prikazati u obliku x^(-1)y, pri čemu su x, y iz D.
Jasno, "prijevod" između dva tipa zapisa operacije (i redoslijeda elemenata
u "diferenciji") nije teško izvesti, no u daljnjem pišem sve aditivno, kao i
na predavanju. Uz to treba malo pripaziti i na činjenicu da G ne mora biti
abelova (komutativna) pa npr. -(a+b) = - b - a.
Ovdje ćemo o tome voditi računa.
Za konstrukciju simetričnog (v, k, λ) dizajna pomoću G i dif. skupa D
treba kao točke uzeti elemente grupe, a kao blokove "translate" skupa D,
dakle skupove oblika g +D, g iz G.
Važno je uočiti da su svi ti translati međusobno različiti podskupovi pa se
"razvoj od D" (dev D) sastoji od točno v različitih skupova i incidencijska
struktura (G, dev D) ima jednako mnogo točaka i blokova - po v.
(I uniformnost je očita, iz definicije).
To, naime, vrijedi uz razumnu pretpostavku da je k < v, a onda i λ < k.
Kako bi konstrukcija imala smisla, D mora biti pravi podskup od G, a
zbog uvjeta λ (v - 1) = k (k-1) koji proizlazi iz definicije dif. skupa
očito je onda i λ < k. Ovo smo uzeli "prešutno", ali lako se zaključi.
Sad, ako bi neki translati D + g i D + h (za različite g i h iz G) bili jednaki
skupovi, to bi značilo da za svaki d iz D postoji neki d' iz D takav da vrijedi
d + g = d' + h, odnosno d + g - h = d' i
d + g - h - d = d' - d.
Element d + g - h - d različit je od 0 jer u protivnom g = h pa bi za taj element
postojalo barem k parova iz D čija diferencija je jednaka d + g - h - d,
suprotno definiciji diferencijskog skupa i pretpostavci λ < k.
Ključnu ulogu sad ima Teorem 6.9. : (G, dev D) je simetrični dizajn, a
jedino što preostaje dokazati jest svojstvo balansiranosti ( svaki par točaka
leži u točno λ blokova).
Treba odrediti broj translata oblika D + g koji sadrže bilo koja dva različita
elementa a i b iz G. Pokazat će se najprije da takvih ima barem λ.
Element b - a (različit od 0) ima λ prikaza oblika y - x za x, y iz D
(to jest λ uređenih parova (y,x) takvih da b - a = y - x, da sad ne pišemo
indekse od 1 do λ uz x, y).
Dakle, b = y - x + a pa b pripada translatu D + (-x + a),
no a = x - x + a pa i a pripada istom translatu, budući da su x, y iz D.
Stoga a i b imaju barem λ "spojnica" među blokovima, a kako vrijedi
relacija λ (v-1) = k (k-1) i par različitih a, b izabran je po volji, očito niti
jedan takav par nije sadržan u više od λ blokova (dvostrukim prebrojavanjem
parova točaka i blokova koji ih sadrže).
Ovim je teorem 6.9. dokazan, a zapis je aditivni i bez pretpostavke
komutativnosti operacije +.
Slijedi nekoliko napomena/tumačenja na temu diferencijskih skupova
(u skriptama 6. poglavlje, prve 2-3 stranice) uz predavanje od 30. svibnja.
Dakle, kao što je naglašavano, u skriptama je notacija u grupi G
multiplikativna, što onda formalno-jezično odudara od pojma "diferencijskog
skupa" u grupi, gdje diferencija elemenata a i b podrazumijeva oznaku
a - b (= a + (-b)) u grupi (G,+). U skriptama izabrana je multiplikativna notacija
(napomena iza definicije 6.2) pa se uzima da je k-člani podskup D u grupi G reda v
(v, k, λ) - diferencijski skup ako se svaki element iz G, različit od 1, može
na točno λ načina prikazati u obliku x^(-1)y, pri čemu su x, y iz D.
Jasno, "prijevod" između dva tipa zapisa operacije (i redoslijeda elemenata
u "diferenciji") nije teško izvesti, no u daljnjem pišem sve aditivno, kao i
na predavanju. Uz to treba malo pripaziti i na činjenicu da G ne mora biti
abelova (komutativna) pa npr. -(a+b) = - b - a.
Ovdje ćemo o tome voditi računa.
Za konstrukciju simetričnog (v, k, λ) dizajna pomoću G i dif. skupa D
treba kao točke uzeti elemente grupe, a kao blokove "translate" skupa D,
dakle skupove oblika g +D, g iz G.
Važno je uočiti da su svi ti translati međusobno različiti podskupovi pa se
"razvoj od D" (dev D) sastoji od točno v različitih skupova i incidencijska
struktura (G, dev D) ima jednako mnogo točaka i blokova - po v.
(I uniformnost je očita, iz definicije).
To, naime, vrijedi uz razumnu pretpostavku da je k < v, a onda i λ < k.
Kako bi konstrukcija imala smisla, D mora biti pravi podskup od G, a
zbog uvjeta λ (v - 1) = k (k-1) koji proizlazi iz definicije dif. skupa
očito je onda i λ < k. Ovo smo uzeli "prešutno", ali lako se zaključi.
Sad, ako bi neki translati D + g i D + h (za različite g i h iz G) bili jednaki
skupovi, to bi značilo da za svaki d iz D postoji neki d' iz D takav da vrijedi
d + g = d' + h, odnosno d + g - h = d' i
d + g - h - d = d' - d.
Element d + g - h - d različit je od 0 jer u protivnom g = h pa bi za taj element
postojalo barem k parova iz D čija diferencija je jednaka d + g - h - d,
suprotno definiciji diferencijskog skupa i pretpostavci λ < k.
Ključnu ulogu sad ima Teorem 6.9. : (G, dev D) je simetrični dizajn, a
jedino što preostaje dokazati jest svojstvo balansiranosti ( svaki par točaka
leži u točno λ blokova).
Treba odrediti broj translata oblika D + g koji sadrže bilo koja dva različita
elementa a i b iz G. Pokazat će se najprije da takvih ima barem λ.
Element b - a (različit od 0) ima λ prikaza oblika y - x za x, y iz D
(to jest λ uređenih parova (y,x) takvih da b - a = y - x, da sad ne pišemo
indekse od 1 do λ uz x, y).
Dakle, b = y - x + a pa b pripada translatu D + (-x + a),
no a = x - x + a pa i a pripada istom translatu, budući da su x, y iz D.
Stoga a i b imaju barem λ "spojnica" među blokovima, a kako vrijedi
relacija λ (v-1) = k (k-1) i par različitih a, b izabran je po volji, očito niti
jedan takav par nije sadržan u više od λ blokova (dvostrukim prebrojavanjem
parova točaka i blokova koji ih sadrže).
Ovim je teorem 6.9. dokazan, a zapis je aditivni i bez pretpostavke
komutativnosti operacije +.
|
