Zadaci s demonstratura

[ivcceehh]

Bok

Na demonstraturama su neke stvari ostale nerazjašnjene, pa ću ih ovdje objasniti.

Ivan Čeh

Added after 9 minutes:

2. kolokvij - 27. svibnja 2013., 3. c) zadatak, drugo pitanje

Pretpostavimo da takav skalarni produkt postoji.
Za hermitske operatore vrijedi da je 〈Bx,y〉=〈x,By〉.
To u ovom slučaju znači da je 〈1,1〉=〈B(t^2/2),1〉=〈t^2/2,B(1)〉=〈t^2/2,0〉=0
No 0 je jedini element koji skalarno pomnožen sam sa sobom smije dati 0, pa dobivamo kontradikciju.

Zahvaljujem kolegi Bulju na jednostavnijem rješenju.

[ivcceehh]

2. zadatak b) iz istog kolokvija

Ovaj zadatak sam krivo riješio na demonstraturama jer sam koristio pretpostavku da je |z|^2=z^2 što vrijedi samo za realne, a ne općenito za kompleksne brojeve.

rješenje (jedno od mogućih):

Nađimo rješenje u R^4, rješenje će biti točno i za C^4 jer je R^4 njegov podskup.
Ako nađemo vektore a=(a1,a2,a3,a4) i b=(b1,b2,b3,b4) takve da je a+b=(2,3,0,4), 〈a,b〉=0 i ||b||=1, [{a}] će biti jedno rješenje jer će ||b|| biti udaljenost (2,3,0,4) od potprostora [{a}].
Sada dobivamo sustav jednadžbi:
a1+b1=2
a2+b2=3
a3+b3=0
a4+b4=4
a1*b1+a2*b2+a3*b3+a4*b4=0
b1^2+b2^2+b3^2+b4^2=1

Sustav ima mnoga rješenja, a mi tražimo samo jedno od njih pa uvedemo dodatne uvjete b1=b2=0 iz čega dobivamo a1=2, a2=3.

Znamo i da je a3=-b3 i a4=4-b4, pa nam ostaje sustav 2 jednadžbe s 2 nepoznanice:

-b3^2+(4-b4)b4=0
b3^2+b4^2=1

a jedno njegovo rješenje je b3=1/4 i b4=√15/4,
pa dobivamo da je a=(2,3,-√15/4,15/4),
pa je [{(2,3,-√15/4,15/4)}] jedno moguće rješenje.