2. zadatak b) iz istog kolokvija
Ovaj zadatak sam krivo riješio na demonstraturama jer sam koristio pretpostavku da je |z|^2=z^2 što vrijedi samo za realne, a ne općenito za kompleksne brojeve.
rješenje (jedno od mogućih):
Nađimo rješenje u R^4, rješenje će biti točno i za C^4 jer je R^4 njegov podskup.
Ako nađemo vektore a=(a1,a2,a3,a4) i b=(b1,b2,b3,b4) takve da je a+b=(2,3,0,4), 〈a,b〉=0 i ||b||=1, [{a}] će biti jedno rješenje jer će ||b|| biti udaljenost (2,3,0,4) od potprostora [{a}].
Sada dobivamo sustav jednadžbi:
a1+b1=2
a2+b2=3
a3+b3=0
a4+b4=4
a1*b1+a2*b2+a3*b3+a4*b4=0
b1^2+b2^2+b3^2+b4^2=1
Sustav ima mnoga rješenja, a mi tražimo samo jedno od njih pa uvedemo dodatne uvjete b1=b2=0 iz čega dobivamo a1=2, a2=3.
Znamo i da je a3=-b3 i a4=4-b4, pa nam ostaje sustav 2 jednadžbe s 2 nepoznanice:
-b3^2+(4-b4)b4=0
b3^2+b4^2=1
a jedno njegovo rješenje je b3=1/4 i b4=√15/4,
pa dobivamo da je a=(2,3,-√15/4,15/4),
pa je [{(2,3,-√15/4,15/4)}] jedno moguće rješenje.
2. zadatak b) iz istog kolokvija
Ovaj zadatak sam krivo riješio na demonstraturama jer sam koristio pretpostavku da je |z|^2=z^2 što vrijedi samo za realne, a ne općenito za kompleksne brojeve.
rješenje (jedno od mogućih):
Nađimo rješenje u R^4, rješenje će biti točno i za C^4 jer je R^4 njegov podskup.
Ako nađemo vektore a=(a1,a2,a3,a4) i b=(b1,b2,b3,b4) takve da je a+b=(2,3,0,4), 〈a,b〉=0 i ||b||=1, [{a}] će biti jedno rješenje jer će ||b|| biti udaljenost (2,3,0,4) od potprostora [{a}].
Sada dobivamo sustav jednadžbi:
a1+b1=2
a2+b2=3
a3+b3=0
a4+b4=4
a1*b1+a2*b2+a3*b3+a4*b4=0
b1^2+b2^2+b3^2+b4^2=1
Sustav ima mnoga rješenja, a mi tražimo samo jedno od njih pa uvedemo dodatne uvjete b1=b2=0 iz čega dobivamo a1=2, a2=3.
Znamo i da je a3=-b3 i a4=4-b4, pa nam ostaje sustav 2 jednadžbe s 2 nepoznanice:
-b3^2+(4-b4)b4=0
b3^2+b4^2=1
a jedno njegovo rješenje je b3=1/4 i b4=√15/4,
pa dobivamo da je a=(2,3,-√15/4,15/4),
pa je [{(2,3,-√15/4,15/4)}] jedno moguće rješenje.
|