|
[quote="357951"]Neznam kako se ovaj tip zadataka rješava, pa ako može mi neko objasniti, bilo bi super. To je zadatak od 9.2.2004.
Neka je L potprostor unitarnog prostora P3, polinoma stupnja <=3 razapet vektorima p1(t) = 1−t i p2(t) = t^2−t. Odredite neku bazu za
ortogonalni komplement od L.[/quote]
Ortogonalni komplement nekog skupa S je skup svih vektora okomitih na S ("okomit na S " znači "okomit na svaki vektor iz S "). Dimenzija mu je jednaka dimenziji cijelog prostora minus dimenzija linearne ljuske od S .
Konkretno u ovom slučaju, p1 i p2 su očito nezavisni (imaju različite stupnjeve), pa je dimL=2 . Znamo da je dimP3=4 , pa je dimL^ortog=4-2=2 .
Dakle, trebaju nam 2 vektora za bazu od L^ortog. Postupak je vrlo sličan traženju jezgre linearnog operatora (inFact, na reflektiranim prostorima to zaista i jest jedno te isto): da bi v bio okomit na L=[S] , nužno je i dovoljno da bude okomit na S - u ovom slučaju, na p1 i p2 .
Pa uzmi tipični vektor od P3 (oblika v(x)=ax^3+bx^2+cx+d ), i postavi dvije linearne (homogene) jednadžbe: (v|p1)=(v|p2)=0 (koristeći donju formulu za skalarni produkt i svoje znanje o integriranju polinomâ). Taj homogeni sustav 2x4 ranga 2 ima neko dvoparametarsko rješenje, koje kad se zapiše u vektorskom obliku, direktno daje vektore baze ortogonalnog komplementa L^ortog. Probaj. ;-)
[quote] Nadalje, prikažite p(t) = 1−2t+5t^3 u
obliku q(t) + r(t), gdje je q€L, a r€L(L još ima gore naopačke T)?.
(Standardni skalarni produkt u P3 je (p| q) = 0s1p(t)q(t)dt.)[/quote]
To "naopačke T" je upravo oznaka za ortogonalni komplement. Za ovaj tip zadatka postoji jedna efikasna metoda, no za objasniti strogo zašto ona radi treba nešto vremena... uglavnom, relaciju p=q+r pomnožimo skalarno prvo s p1 , a onda s p2 . Provedimo stvar za p1 , za p2 je potpuno analogno.
p=q+r /(|p1)
(p|p1)=(q|p1)+(r|p1) .
r je iz L^ortog , dakle okomit je na sve vektore iz L , specijalno na p1 , pa je drugi član u sumi jednak 0 . So, (p|p1)=(q|p1) .
q je iz L=[S] , pa se može prikazati kao linearna kombinacija vektora iz S={p1,p2} , odnosno q=alfap1+betap2 . Uvrstimo to u desnu stranu gore.
(p|p1)=(alfap1+betap2|p1)=alfa(p1|p1)+beta(p2|p1) .
Sve skalarne produkte u toj jednadžbi znamo izračunati, i dobili smo jednadžbu s 2 nepoznanice, alfa i beta. Drugu dobijemo već spomenutim množenjem s p2 .
Ukupno dobijemo sustav čija proširena matrica izgleda ovako:
[code:1][(p1|p1) (p1|p2)|(p1|p)]
[(p2|p1) (p2|p2)|(p2|p)][/code:1]
(mislim da nije teško pogoditi kako bi išlo općenito, i u višim dimenzijama - BTW, osnovna matrica takvog sustava zove se Gramova matrica vektorâ p1..n .)
Kad riješiš taj sustav, alfa i beta ubaciš u formulu za q , i imaš q .
r tada dobiješ kao p-q (i za kontrolu možeš provjeriti je li okomit na q ).
HTH,
| 357951 (napisa): | Neznam kako se ovaj tip zadataka rješava, pa ako može mi neko objasniti, bilo bi super. To je zadatak od 9.2.2004.
Neka je L potprostor unitarnog prostora P3, polinoma stupnja ⇐3 razapet vektorima p1(t) = 1−t i p2(t) = t^2−t. Odredite neku bazu za
ortogonalni komplement od L. |
Ortogonalni komplement nekog skupa S je skup svih vektora okomitih na S ("okomit na S " znači "okomit na svaki vektor iz S "). Dimenzija mu je jednaka dimenziji cijelog prostora minus dimenzija linearne ljuske od S .
Konkretno u ovom slučaju, p1 i p2 su očito nezavisni (imaju različite stupnjeve), pa je dimL=2 . Znamo da je dimP3=4 , pa je dimL^ortog=4-2=2 .
Dakle, trebaju nam 2 vektora za bazu od L^ortog. Postupak je vrlo sličan traženju jezgre linearnog operatora (inFact, na reflektiranim prostorima to zaista i jest jedno te isto): da bi v bio okomit na L=[S] , nužno je i dovoljno da bude okomit na S - u ovom slučaju, na p1 i p2 .
Pa uzmi tipični vektor od P3 (oblika v(x)=ax^3+bx^2+cx+d ), i postavi dvije linearne (homogene) jednadžbe: (v|p1)=(v|p2)=0 (koristeći donju formulu za skalarni produkt i svoje znanje o integriranju polinomâ). Taj homogeni sustav 2x4 ranga 2 ima neko dvoparametarsko rješenje, koje kad se zapiše u vektorskom obliku, direktno daje vektore baze ortogonalnog komplementa L^ortog. Probaj. 
| Citat: | Nadalje, prikažite p(t) = 1−2t+5t^3 u
obliku q(t) + r(t), gdje je q€L, a r€L(L još ima gore naopačke T)?.
(Standardni skalarni produkt u P3 je (p| q) = 0s1p(t)q(t)dt.) |
To "naopačke T" je upravo oznaka za ortogonalni komplement. Za ovaj tip zadatka postoji jedna efikasna metoda, no za objasniti strogo zašto ona radi treba nešto vremena... uglavnom, relaciju p=q+r pomnožimo skalarno prvo s p1 , a onda s p2 . Provedimo stvar za p1 , za p2 je potpuno analogno.
p=q+r /(|p1)
(p|p1)=(q|p1)+(r|p1) .
r je iz L^ortog , dakle okomit je na sve vektore iz L , specijalno na p1 , pa je drugi član u sumi jednak 0 . So, (p|p1)=(q|p1) .
q je iz L=[S] , pa se može prikazati kao linearna kombinacija vektora iz S={p1,p2} , odnosno q=alfap1+betap2 . Uvrstimo to u desnu stranu gore.
(p|p1)=(alfap1+betap2|p1)=alfa(p1|p1)+beta(p2|p1) .
Sve skalarne produkte u toj jednadžbi znamo izračunati, i dobili smo jednadžbu s 2 nepoznanice, alfa i beta. Drugu dobijemo već spomenutim množenjem s p2 .
Ukupno dobijemo sustav čija proširena matrica izgleda ovako:
| Kod: | [(p1|p1) (p1|p2)|(p1|p)]
[(p2|p1) (p2|p2)|(p2|p)] |
(mislim da nije teško pogoditi kako bi išlo općenito, i u višim dimenzijama - BTW, osnovna matrica takvog sustava zove se Gramova matrica vektorâ p1..n .)
Kad riješiš taj sustav, alfa i beta ubaciš u formulu za q , i imaš q .
r tada dobiješ kao p-q (i za kontrolu možeš provjeriti je li okomit na q ).
HTH,
|
