|
Radi sažetosti, pozvat ću se na oznaku svakog teorema kakva je u skriptama,
bez pisanja samog teorema.
Rješenja
1. (a) Projektivna ravnina reda 7 je simetrični (57,8,1)-dizajn.
Cikličku grupu
automorfizama koja na njoj djeluje regularno (strogo tranzitivno) ima
po Singerovom teoremu (T.6.14., uzimajući u obzir da je ravnina reda 7
edinstvena do izomorfizma).
Po T.6.11. to je
ekvivalentno postojanju (57,8,1) diferencijskog skupa
u cikličkoj grupi reda 57.
Za taj dif. skup postoji numerički multiplikator 7 po T.6.22. odnosno
Korolaru 6.23.
Uobičajeno, pokušava se konstruirati dif. skup koji je invarijantan
pod djelovanjem
multiplikatora (takav postoji po 6.18. ili 6.19.).
Problem nastaje u tome što su ciklusi
"maleni", naime (0), (19), (38 ) i dalje svi duljine 3, (1,7,49) itd
tako da treba pronaći dvije "trojke" i dva jednočlana čija će unija dati
diferencijski skup. To nije ni trebalo raditi, no jasno je da postoje.
(b) Imamo dosta izbora za parametre traženih Hadamardovih dif. skupova.
Npr za prim broj v uzmemo 11 ili 19 pa takav skup čine kvadrati
u polju dotičnogeda, različiti od 0 (Paley, T. 6.12).
Za v koji je za 1 manji od potencije broja 2
najlakše je zatim uzeti 31 (jer je prim pa opet kvadrati), dok 15,
koji također
dolazi u obzir za prethodno, radije uzmemo kao umnožak
susjednih prim brojeva 3 i 5.
Tu ne dolazi u obzir Paleyeva konstrukcija, ali za (15,7,3) lako prolazi
multiplikator 2 ili 4 u grupi reda 15 (koja je nužno ciklička).
2. Svi su znali da treba konstruirati dva ortogonalna latinska kvadrata reda 7 i da se to
može postići Cayleyevim tablicama dviju kvazigrupa, dobivenima npr. u GF(7)
operacijama x + y i ax + y. Po T.9.36 četvorke (i, j, i+j, 2i + j) (svi su uzeli a=2)
čine MDS kod od 49 riječi minimalne udaljenosti 3. Kod, dakle, može ispraviti jednu
pogrešku pa će je tehničari moći otkriti, ako postoji ( a ako znaju računati modulo 7
i znaju pravilo, neće im ni trebati cijela sedmodnevna shema da to ustanove).
Radi sažetosti, pozvat ću se na oznaku svakog teorema kakva je u skriptama,
bez pisanja samog teorema.
Rješenja
1. (a) Projektivna ravnina reda 7 je simetrični (57,8,1)-dizajn.
Cikličku grupu
automorfizama koja na njoj djeluje regularno (strogo tranzitivno) ima
po Singerovom teoremu (T.6.14., uzimajući u obzir da je ravnina reda 7
edinstvena do izomorfizma).
Po T.6.11. to je
ekvivalentno postojanju (57,8,1) diferencijskog skupa
u cikličkoj grupi reda 57.
Za taj dif. skup postoji numerički multiplikator 7 po T.6.22. odnosno
Korolaru 6.23.
Uobičajeno, pokušava se konstruirati dif. skup koji je invarijantan
pod djelovanjem
multiplikatora (takav postoji po 6.18. ili 6.19.).
Problem nastaje u tome što su ciklusi
"maleni", naime (0), (19), (38 ) i dalje svi duljine 3, (1,7,49) itd
tako da treba pronaći dvije "trojke" i dva jednočlana čija će unija dati
diferencijski skup. To nije ni trebalo raditi, no jasno je da postoje.
(b) Imamo dosta izbora za parametre traženih Hadamardovih dif. skupova.
Npr za prim broj v uzmemo 11 ili 19 pa takav skup čine kvadrati
u polju dotičnogeda, različiti od 0 (Paley, T. 6.12).
Za v koji je za 1 manji od potencije broja 2
najlakše je zatim uzeti 31 (jer je prim pa opet kvadrati), dok 15,
koji također
dolazi u obzir za prethodno, radije uzmemo kao umnožak
susjednih prim brojeva 3 i 5.
Tu ne dolazi u obzir Paleyeva konstrukcija, ali za (15,7,3) lako prolazi
multiplikator 2 ili 4 u grupi reda 15 (koja je nužno ciklička).
2. Svi su znali da treba konstruirati dva ortogonalna latinska kvadrata reda 7 i da se to
može postići Cayleyevim tablicama dviju kvazigrupa, dobivenima npr. u GF(7)
operacijama x + y i ax + y. Po T.9.36 četvorke (i, j, i+j, 2i + j) (svi su uzeli a=2)
čine MDS kod od 49 riječi minimalne udaljenosti 3. Kod, dakle, može ispraviti jednu
pogrešku pa će je tehničari moći otkriti, ako postoji ( a ako znaju računati modulo 7
i znaju pravilo, neće im ni trebati cijela sedmodnevna shema da to ustanove).
|
