Zadatci za vježbu (uz 2. provjeru za diplomske studije)

[Kento]

Neki od vas su me danas na demonstraturama pitali za primjere zadataka vezanih uz gradivo koje će studenti 1. godine diplomskog pisati ovaj petak. U prilogu vam stavljam neke moguće primjere takvih zadataka (neke smo i rješavali danas na demonstraturama).
Posebno napominjem da sama provjera ne mora ovako izgledati te da zadatci u provjeri mogu biti lakši od ovdje postavljenih. Primarna namjena ovih zadataka jest da posluže vama kao vježba i da vam demonstriraju na koje se sve načine mogu primjenjivati definicije i propozicije koje ste obradili na predavanjima u konkretnim primjerima. Naravno, iako je ovo primarno namijenjeno studentima diplomskih studija, može poslužiti i studentima na preddiplomskom studiju kao koirsna vježba.
Ukoliko imate bilo kakvih pitanja u vezi rješenja ovih zadataka, slobodno me kontaktirajte mailom. Naravno, za sve greške u rješenjima sam ja odgovorna osoba.

Svima želim puno sreće na provjeri u petak i kolokvijima koji nam slijede!

Kristijan

[bzvz123]

Hvala ti puno

[delilah01.]

Hej, jel bi mogao netko objasniti 2.d.? Hvala unaprijed:)

[Loo]

U prilogu su zadaci s prve prošlogodišnje provjere. Ispod vam pišu rješenja, a kako na današnjim demonstraturama nisam stigla riješiti zadatke od 5. nadalje, u prilogu su i obrazloženja njihovih rješenja.
Vičite ako nađete grešku ili nešto ne razumijete.

1. DA NE DA NE
2. NE DA NE NE
3. DA NE DA DA
4. DA NE NE NE
5. DA NE DA DA
6. DA NE DA DA
7. NE DA DA DA
8. DA NE NE DA
9. DA NE NE NE
10. NE NE DA DA

EDIT: U obrazloženju 10.b) zadatka imam tipfeler, treba pisati "to je puno jače svojstvo od neHausdorffovosti". Malo sam šlampavo to napisala, ali mislim da se kuži što sam htjela reći.

Lucija

[Gost]

Možeš li možda staviti rješenja i prvih 5 zadataka koji su riješeni na demonstraturama?
Hvala unaprijed

[nixxx]

Bok

Imam par pitanja pa mislim da bi bilo lakse da ih postavim tu pa da demosi odgovore kad stignu do utorka (jer je popravni u srijedu), nego na demonstraturama da oduzimam vrijeme. Bila bi zahvalna bilo kome tko mi moze tocno odgovoriti na njih

1.) Imamo topoloski prostor (R*R, pisano R) koja je zadana kao produkt od (R, T) i (R,S), T={svi podskupovi od R koji sadrze 1}, S={prazan skup, N, R), E je euklidska toplogija na R*R. Zasto topologija R nije jednaka E?

2.) T je zadano kao gore. Pitanje je je li skup {{1,x} | x iz R} U {N} baza. Buduci da je odgovor DA, zanima me kako bismo jednoclani skup {1} iz T prikazali pomocu unije dvoclanih?

3.) E je euklidska toplogija na R, Z= topologija Zariskog, T={prazan skup, partitivni skup od R}, f(x)={1 za x iz Q, 0 za x iz R\Q, g(x)=5x-7

a) Je li f neprekidna s obzirom na E i T?

Ja sam dobila da je praslika od partitivnog od R po f jednaka {R} pa me zanima je li to dobro...

b) Isto pitanje, ali s obzirom na T i Z?

Zanima me zasto je tocno jer sam dobila da je praslika od R\{0} jednaka Q koji nije iz T, ali je vjerojatno krivo

4.) (R*R, T)=(R, {prazan skup, {1}, R) * (R, P(R))

a) Zasto {(x,1) | x iz R, x>0} nije iz T?
b) Zasto {(2,x) | x iz <0,1>} takoder nije iz T?

Hvala unaprijed tko god zna

[Loo]

1. Jer je [tex]\{1\}\times \mathbb{R}\in \mathcal{R}[/tex] (element je baze od [tex]\mathcal{R}[/tex]), ali [tex]\{1\}\times \mathbb{R} \notin \mathcal{E}[/tex]. Ovo drugo vrijedi jer oko niti jedne točke ne možeš opisati euklidsku kuglu (=otvoren krug) koja će čitava biti u [tex]\{1\}\times \mathbb{R}[/tex].

2. Nigdje ne piše da su skupovi [tex]\{1,x\}[/tex] dvočlani, tj. može biti [tex]x=1[/tex], pa je [tex]\{1,x\}=\{1\}[/tex].

3. Mislila si [tex]\mathcal{T}=\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex]?
Jer ovo što si napisala nema baš smisla.
Ako je tako, onda je (a) netočno jer imaš da je [tex]\{1\}\in \mathcal{T}[/tex],
ali [tex]f^{\leftarrow}(\{1\})=\mathbb{Q}\notin \mathcal{E}[/tex].
(b) je točno. Kada u domeni gledaš topologiju [tex]\mathcal{T}=\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex], onda je svaka funkcija neprekidna, bez obzira na topološki prostor u kodomeni. Konkretno, za [tex]Z\in \mathcal{Z}[/tex], imaš da je [tex]f^{\leftarrow}(Z)\in \mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex]. (jer je očito [tex]f^{\leftarrow}(Z)\subseteq \mathbb{R}[/tex])

4. Baza od [tex]\mathcal{T}[/tex] je:
[tex]\mathcal{B}=\left\{U\times V\mid U \in \{\emptyset, \{1\}, \mathbb{R}\}, \; V\in \mathcal{P}(\mathbb{R})\right\}=\{\emptyset\} \cup\left\{ \{1\}\times V \mid V\subseteq \mathbb{R}\right\} \cup \left\{ \mathbb{R}\times V \mid V\subseteq \mathbb{R} \right\}[/tex]

Sada je skup iz [tex]\mathcal{T}[/tex] ako i samo ako se može napisati kao unija nekih skupova iz [tex]\mathcal{B}[/tex].
[tex]\{(x,1) \mid x>0\}=\langle 0, +\infty \rangle \times \{1\}[/tex],
[tex]\{(x,2) \mid x \in \langle 0,1 \rangle \}=\langle 0,1 \rangle \times \{2\}[/tex].
Očito niti jedan od ovih skupova ne možemo napisati kao uniju skupova iz [tex]\mathcal{B}[/tex], tj. skupova koji se sastoje od točaka koji na prvoj koordinati imaju [tex]1[/tex] i/ili skupova koji se sastoje od točaka koje na prvoj koordinati mogu imati bilošto iz [tex]\mathbb{R}[/tex].

[nixxx]

Super! Hvala ti

U trecem sam mislila na diskretnu topologiju na R, ali posto ne postam cesto na forumima nisam se potrudila skuzit kako pisat simbole pa sam po seljacki

[nixxx]

Ali, zar ne bi trebalo vrijediti u ovom trećem da je praslika praznog skupa prazan skup (koji je otvoren u eukl. top.) i praslika partivinog skupa od R je R (što je također otvoreno u E) pa imamo da je a) točno?

Dakle, T je u tom zadatku diskretna topologija na R.

A za 3.) b) opet imam pitanje. Ako gledamo recimo prasliku od R/{0}, dobijemo da je to Q koji nije otvoren u T pa je b) netočan?[/code]

Added after 1 minutes:

partitivnog*
R\{0}*

[Loo]

Ne razumijem baš pitanje. Partitivni skup od [tex]\mathbb{R}[/tex] je skup svih podskupova od [tex]\mathbb{R}[/tex] i označavamo ga [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex]. Diskretna topologija na [tex]\mathbb{R}[/tex] je [tex]\mathcal{P}(\mathbb{R})[/tex].
Jesi li možda mislila na INDISKRETNU topologiju na [tex]\mathbb{R}[/tex], tj. [tex]\mathcal{T}=\{\emptyset, \mathbb{R}\}[/tex]?