|
Sto se tice prvog zadatka 9, hint je: procitaj i raspisi definicije. Kod (i) moras dokazati
[dtex]\alpha_1v_1^*+\cdots+\alpha_nv_n^*=\textbf 0 \Rightarrow \alpha_1=\cdots=\alpha_n=0,[/dtex]
za skalare [tex]\alpha_j[/tex] koji nisu svi istovremeno 0. Imaj na umu da je ovo lijevo je suma funkcionala, sto znaci da je [tex]\textbf 0[/tex] na desnoj strani te jednakosti nul-funkcional, tj. [tex]\textbf 0(v)=0[/tex], za sve v iz V.
Odaberimo v iz V i zapisimo ga u zadanoj bazi, tj. [tex]v=\beta_1v_1+\cdots+\beta_n v_n[/tex]. To znaci da je
[dtex](\alpha_1v_1^*+\cdots+\alpha_nv_n^*)(v)=\alpha_1v_1^*(v)+\cdots+\alpha_nv_n^*(v)=\alpha_1\beta_1+\cdots+\alpha_n\beta_n,[/dtex]
jer je [tex]\alpha_jv_j^*(v)=\alpha_jv_j^*(\beta_1v_1+\cdots+\beta_n v_n)=\alpha_j\beta_j[/tex].
S obzirom da je [tex](\alpha_1v_1^*+\cdots+\alpha_nv_n^*)(v)=0[/tex] za svaki v iz V, onda ta jednakost vrijedi posebno za [tex]v=1\cdot v_1+0\cdot v_2+\cdots +0\cdot v_n[/tex]. Iz toga sljedi da je [tex]\alpha_1=0[/tex]. Slicno se zakljucuje da je [tex]\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0[/tex].
Kako bi u (ii) odredio [tex]f^*(v_i^*)[/tex], moras ispitati kako djeluje na bazu od V (ne V*, nego V, jer [tex]f^*(v_i^*)[/tex] je linearni funkcional [tex]V\to\mathbb F[/tex]). Po definiciji
[dtex]f^*(v_i^*)(v_k)=(v_i^*\circ f)(v_k)=v_i^*(\sum_{j=1}^n a_{jk}v_j)=a_{ik}.[/dtex]
To znaci da za v iz V takav da [tex]v=\beta_1v_1+\cdots+\beta_n v_n[/tex] imamo
[dtex]f^*(v_i^*)(v)=v_i^*\circ f (v) = \sum_{k=1}^n \beta_k a_{ik},[/dtex]
a kako je [tex]\beta_k=v_k^*(v)[/tex], trazena jednakost sljedi. Korake koje sam izostavio su jednostavne posljedice linearnosti funkcionala, takoda detalje moras nadopisti sam(a).
Sto se tice (iii), pogledaj i raspisi definicije. Tragovi se podudaraju jer dijagonalni koeficijenti za f i f* se podudaraju, a determinante su jednake jer je det(f*) transponirana determinanta od det(f).
[size=9][color=#999999]Added after 32 minutes:[/color][/size]
Za drugi zadatak 9, hint: odaberi bazu za V i raspisi a i x u toj bazi. Nakon raspisivanja dolazis do sistema jednadzbi koji, ako ima rjesenje, pokazuje da a sa trazenim svojstvima postoji. Jedinstvenost sljedi zbog gotovo pa identicnog argumenta.
Mi trazimo [tex]a=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n[/tex], gdje je [tex]\{v_1,\dots,v_n\}[/tex] neka baza za V, td. je [tex]f(x)=\Phi(a,x)[/tex].
Neka je [tex]x=\beta_1v_1+\cdots+\beta_nv_n[/tex]. Tada se [tex]f(x)=\Phi(a,x)[/tex] moze zapisati kao
[dtex]\beta_1f(v_1)+\cdots+\beta_n f(v_n)=\beta_1\Phi(a,v_1)+\cdots+\beta_n\Phi(a,v_n).[/dtex]
Kako bi nasli a, moramo rijesiti n jednadzbi
[dtex]f(v_j)=\Phi(a,v_j)=\alpha_1\Phi(v_1,v_j)+\cdots+\alpha_n\Phi(v_n,v_j),\quad j=1,\dots,n[/dtex]
s n nepoznanica [tex]\alpha_1,\dots,\alpha_n[/tex]. Taj sustav ce imati jedinstveno rjesenje ako i samo ako je determinanta sustava ne-singularna, sto vrijedi ako i samo ako je bilinearna forma nedegenerirana.
Sto se tice prvog zadatka 9, hint je: procitaj i raspisi definicije. Kod (i) moras dokazati
[dtex]\alpha_1v_1^*+\cdots+\alpha_nv_n^*=\textbf 0 \Rightarrow \alpha_1=\cdots=\alpha_n=0,[/dtex]
za skalare [tex]\alpha_j[/tex] koji nisu svi istovremeno 0. Imaj na umu da je ovo lijevo je suma funkcionala, sto znaci da je [tex]\textbf 0[/tex] na desnoj strani te jednakosti nul-funkcional, tj. [tex]\textbf 0(v)=0[/tex], za sve v iz V.
Odaberimo v iz V i zapisimo ga u zadanoj bazi, tj. [tex]v=\beta_1v_1+\cdots+\beta_n v_n[/tex]. To znaci da je
[dtex](\alpha_1v_1^*+\cdots+\alpha_nv_n^*)(v)=\alpha_1v_1^*(v)+\cdots+\alpha_nv_n^*(v)=\alpha_1\beta_1+\cdots+\alpha_n\beta_n,[/dtex]
jer je [tex]\alpha_jv_j^*(v)=\alpha_jv_j^*(\beta_1v_1+\cdots+\beta_n v_n)=\alpha_j\beta_j[/tex].
S obzirom da je [tex](\alpha_1v_1^*+\cdots+\alpha_nv_n^*)(v)=0[/tex] za svaki v iz V, onda ta jednakost vrijedi posebno za [tex]v=1\cdot v_1+0\cdot v_2+\cdots +0\cdot v_n[/tex]. Iz toga sljedi da je [tex]\alpha_1=0[/tex]. Slicno se zakljucuje da je [tex]\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0[/tex].
Kako bi u (ii) odredio [tex]f^*(v_i^*)[/tex], moras ispitati kako djeluje na bazu od V (ne V*, nego V, jer [tex]f^*(v_i^*)[/tex] je linearni funkcional [tex]V\to\mathbb F[/tex]). Po definiciji
[dtex]f^*(v_i^*)(v_k)=(v_i^*\circ f)(v_k)=v_i^*(\sum_{j=1}^n a_{jk}v_j)=a_{ik}.[/dtex]
To znaci da za v iz V takav da [tex]v=\beta_1v_1+\cdots+\beta_n v_n[/tex] imamo
[dtex]f^*(v_i^*)(v)=v_i^*\circ f (v) = \sum_{k=1}^n \beta_k a_{ik},[/dtex]
a kako je [tex]\beta_k=v_k^*(v)[/tex], trazena jednakost sljedi. Korake koje sam izostavio su jednostavne posljedice linearnosti funkcionala, takoda detalje moras nadopisti sam(a).
Sto se tice (iii), pogledaj i raspisi definicije. Tragovi se podudaraju jer dijagonalni koeficijenti za f i f* se podudaraju, a determinante su jednake jer je det(f*) transponirana determinanta od det(f).
Added after 32 minutes:
Za drugi zadatak 9, hint: odaberi bazu za V i raspisi a i x u toj bazi. Nakon raspisivanja dolazis do sistema jednadzbi koji, ako ima rjesenje, pokazuje da a sa trazenim svojstvima postoji. Jedinstvenost sljedi zbog gotovo pa identicnog argumenta.
Mi trazimo [tex]a=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n[/tex], gdje je [tex]\{v_1,\dots,v_n\}[/tex] neka baza za V, td. je [tex]f(x)=\Phi(a,x)[/tex].
Neka je [tex]x=\beta_1v_1+\cdots+\beta_nv_n[/tex]. Tada se [tex]f(x)=\Phi(a,x)[/tex] moze zapisati kao
[dtex]\beta_1f(v_1)+\cdots+\beta_n f(v_n)=\beta_1\Phi(a,v_1)+\cdots+\beta_n\Phi(a,v_n).[/dtex]
Kako bi nasli a, moramo rijesiti n jednadzbi
[dtex]f(v_j)=\Phi(a,v_j)=\alpha_1\Phi(v_1,v_j)+\cdots+\alpha_n\Phi(v_n,v_j),\quad j=1,\dots,n[/dtex]
s n nepoznanica [tex]\alpha_1,\dots,\alpha_n[/tex]. Taj sustav ce imati jedinstveno rjesenje ako i samo ako je determinanta sustava ne-singularna, sto vrijedi ako i samo ako je bilinearna forma nedegenerirana.
_________________
The Dude Abides
|
