Alternativno objasnjenje zasto 1/x (bez derivacija):
[spoiler]Pozabavimo se prvo s [tex]\lambda>0[/tex].
S obzirom da zelimo da [tex]x\mapsto f(x)+\lambda x[/tex] nije injekcija, zelimo da ona prvo raste pa pada ili obratno.
S obzirom da je [tex]\lambda x[/tex] strogo rastuca, to cemo najlakse postici ako za f odaberemo strogo padajucu funkciju takvu da [tex]f(x) + \lambda x[/tex] ima jednu vertikalnu i jednu rastucu kosu asimptotu. Neka je vertikalna asimptota u [tex]x_0[/tex] te neka je [tex]k(x)[/tex] kosa asimptota. Imamo dva uvjeta:
[dtex]\lim_{x\to+\infty}(f(x)+\lambda x-k(x))=0,\\
\lim_{x\to x_0^+}(f(x)+\lambda x)=+\infty.[/dtex]
Za k(x) mozemo uzeti [tex]k(x)=\lambda x[/tex] pa se prvi uvjet svodi na [tex]\lim_{x\to+\infty}f(x)=0[/tex]. Iz drugog uvjeta imamo
[dtex]\lim_{x\to x_0^+}(f(x)+\lambda x)=+\infty \iff \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty.[/dtex]
Tu sada mozemo stati i razmisliti koji [tex]x_0[/tex] bi trebalo odabrati za vertikalnu asimptotu. Za sada f ima smisla za [tex]\lambda > 0[/tex] i na [tex](x_0,+\infty)[/tex] ali sto s [tex]\lambda <0[/tex] i [tex](-\infty, x_0][/tex]? Ako odaberemo [tex]x_0\neq 0[/tex], onda ce biti dosta naporno prosirivati f tako da je kompatibilna sa [tex]\lambda <0[/tex] i jos uvijek injektivna. Ako odaberemo [tex]x_0=0[/tex], onda je f definirana na [tex](0,+\infty)[/tex], a prosiriti je do injekcije na [tex]\mathbb R[/tex] ce biti jednostavno - jednostavno prosirimo po simetricnosti s obzirom na pravac y=-x i dodefiniramo u nuli kao f(0)=0. Hoce li sve skupa biti kompatibilno sa [tex]\lambda <0[/tex] jos ne znamo, ali idemo prvo rijesiti ovo sto znamo.
Znaci, imamo dva uvjeta: 0 je vertikalna asimptota za f te f tezi u 0 kada x tezi u beskonacnost. Mozemo, na primjer, uzeti [tex]f(x)=\frac{g(x)}{x}[/tex] za neku funkciju g koja raste sporije od x. Na primjer, g(x)=1. Dakle, f(x)=1/x.
Neka je sada [tex]\lambda < 0[/tex]. Tada je [tex]\lambda x[/tex] padajuca kosa asimptota za [tex]f(x)+\lambda x[/tex]. Prema tome, [tex]f(x)+\lambda x[/tex] je strogo padajuca funkcija kao suma dvije padajuce funkcije. Ona ide iz [tex]+\infty[/tex] u [tex]-\infty[/tex] ako se nuli priblizava slijeva i iz [tex]-\infty[/tex] u [tex]+\infty[/tex] ako se nuli pribilzava zdesna, sto znaci da x-os sijece dva puta pa nije injekcija.
Ostaje jos f prosiriti do injekcije na [tex]\mathbb R[/tex]. Jedino gdje f nije definirana je u 0, a s obzirom da je 0 jedina vrijednost koju f ne pogadja, onda nema drugog izbora osim f(0)=0.
*********
Funkcija f se moze na puno nacina birati. Npr. mozemo uzeti dvije strogo padajuce funkcije p i q takve da p tezi u [tex]+\infty[/tex] kada x tezi u 0 zdesna, i q koja tezi u 0 kada x ide u beskonacnost. Onda definiramo f na [tex][0,+\infty)[/tex] kao f(0)=0, f(x)=p(x) za 0<x<c i f(x)=q(x) za [tex]x\geq c[/tex], gdje je c bilo koji pozitivan realan broj td. je [tex]p(c)\geq q(c)[/tex].
Na kraju, f dodefiniramo do injekcije na [tex]\mathbb R[/tex] po simetricnosti s obzirom na pravac y=-x.
Jedan izbor za f moze biti [tex]p(x)=\tan(-x+\pi/2)[/tex] i [tex]q(x)=e^{-x}[/tex] koje spojimo u npr. c=1/2.
[/spoiler]
Alternativno objasnjenje zasto 1/x (bez derivacija):
Spoiler [hidden; click to show]: | Pozabavimo se prvo s [tex]\lambda>0[/tex].
S obzirom da zelimo da [tex]x\mapsto f(x)+\lambda x[/tex] nije injekcija, zelimo da ona prvo raste pa pada ili obratno.
S obzirom da je [tex]\lambda x[/tex] strogo rastuca, to cemo najlakse postici ako za f odaberemo strogo padajucu funkciju takvu da [tex]f(x) + \lambda x[/tex] ima jednu vertikalnu i jednu rastucu kosu asimptotu. Neka je vertikalna asimptota u [tex]x_0[/tex] te neka je [tex]k(x)[/tex] kosa asimptota. Imamo dva uvjeta:
[dtex]\lim_{x\to+\infty}(f(x)+\lambda x-k(x))=0,\\
\lim_{x\to x_0^+}(f(x)+\lambda x)=+\infty.[/dtex]
Za k(x) mozemo uzeti [tex]k(x)=\lambda x[/tex] pa se prvi uvjet svodi na [tex]\lim_{x\to+\infty}f(x)=0[/tex]. Iz drugog uvjeta imamo
[dtex]\lim_{x\to x_0^+}(f(x)+\lambda x)=+\infty \iff \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty.[/dtex]
Tu sada mozemo stati i razmisliti koji [tex]x_0[/tex] bi trebalo odabrati za vertikalnu asimptotu. Za sada f ima smisla za [tex]\lambda > 0[/tex] i na [tex](x_0,+\infty)[/tex] ali sto s [tex]\lambda <0[/tex] i [tex](-\infty, x_0][/tex]? Ako odaberemo [tex]x_0\neq 0[/tex], onda ce biti dosta naporno prosirivati f tako da je kompatibilna sa [tex]\lambda <0[/tex] i jos uvijek injektivna. Ako odaberemo [tex]x_0=0[/tex], onda je f definirana na [tex](0,+\infty)[/tex], a prosiriti je do injekcije na [tex]\mathbb R[/tex] ce biti jednostavno - jednostavno prosirimo po simetricnosti s obzirom na pravac y=-x i dodefiniramo u nuli kao f(0)=0. Hoce li sve skupa biti kompatibilno sa [tex]\lambda <0[/tex] jos ne znamo, ali idemo prvo rijesiti ovo sto znamo.
Znaci, imamo dva uvjeta: 0 je vertikalna asimptota za f te f tezi u 0 kada x tezi u beskonacnost. Mozemo, na primjer, uzeti [tex]f(x)=\frac{g(x)}{x}[/tex] za neku funkciju g koja raste sporije od x. Na primjer, g(x)=1. Dakle, f(x)=1/x.
Neka je sada [tex]\lambda < 0[/tex]. Tada je [tex]\lambda x[/tex] padajuca kosa asimptota za [tex]f(x)+\lambda x[/tex]. Prema tome, [tex]f(x)+\lambda x[/tex] je strogo padajuca funkcija kao suma dvije padajuce funkcije. Ona ide iz [tex]+\infty[/tex] u [tex]-\infty[/tex] ako se nuli priblizava slijeva i iz [tex]-\infty[/tex] u [tex]+\infty[/tex] ako se nuli pribilzava zdesna, sto znaci da x-os sijece dva puta pa nije injekcija.
Ostaje jos f prosiriti do injekcije na [tex]\mathbb R[/tex]. Jedino gdje f nije definirana je u 0, a s obzirom da je 0 jedina vrijednost koju f ne pogadja, onda nema drugog izbora osim f(0)=0.
*********
Funkcija f se moze na puno nacina birati. Npr. mozemo uzeti dvije strogo padajuce funkcije p i q takve da p tezi u [tex]+\infty[/tex] kada x tezi u 0 zdesna, i q koja tezi u 0 kada x ide u beskonacnost. Onda definiramo f na [tex][0,+\infty)[/tex] kao f(0)=0, f(x)=p(x) za 0<x<c i f(x)=q(x) za [tex]x\geq c[/tex], gdje je c bilo koji pozitivan realan broj td. je [tex]p(c)\geq q(c)[/tex].
Na kraju, f dodefiniramo do injekcije na [tex]\mathbb R[/tex] po simetricnosti s obzirom na pravac y=-x.
Jedan izbor za f moze biti [tex]p(x)=\tan(-x+\pi/2)[/tex] i [tex]q(x)=e^{-x}[/tex] koje spojimo u npr. c=1/2.
|
_________________ The Dude Abides
|