|
[quote="M"][quote]
[u]Tm.[/u]
(i)
ako je niz parcijalnih suma reda suma(an) s pozitivnim clanovima ogranicen, onda taj red konvergira...
(ii)
ako red suma(an) s pozitivnim clanovima konvergira, onda njegova suma ne ovisi o poretku opcih clanova[/quote]
to je tm. 27. Kurepa: "Analiza II"
Nije mi jasno zasto su naglaseni [b]pozitivni [/b]clanovi [/quote]
Zato što inače teorem ne vrijedi. 8-)
Za (i) , dovoljno je promotriti sum_n(-1)^n . Niz parcijalnih sumâ mu je (-1,0,-1,0,-1,0,....) i očito je ograničen, pa ipak ne konvergira.
S druge strane, ako su članovi reda pozitivni, onda niz parcijalnih sumâ strogo raste, pa po nekom teoremu (koji nije BW, jel tako Vincent? ; ) konvergira ako je ograničen (odozgo).
Za (ii) , dovoljno je navesti jedan genijalan teorem, koji kaže da se uvjetno konvergentan red (dakle, onaj koji konvergira, ali ne apsolutno - npr. zato što nije samo s pozitivnim članovima: ) može učiniti konvergentnim _bilo kamo_, odgovarajućom promjenom redoslijeda članova.
Da, npr. onaj famozni 1-1/2+1/3-1/4+1/5-.... , koji inače tako kako je napisan konvergira prema ln2 , može konvergirati bilo kojem realnom broju, samo ako mu se članovi odgovarajuće porazmjeste. Dokaz je zanimljiv, mogu ti raspisati ako te zanima (imaš u Mardešiću, pod zadacima, hint).
[quote]Na predavanjima smo zapisali nesto ovako:
alternirajuci niz + - + - + - + - + - + - + - + - + -
i *niz + - - - + - - - + - - - + - - - + - - - + - - - +
suma alternirajuceg niza moze biti pozitivna, a *niza negativna
Zasto?[/quote]
Pa npr. zato što brojeva u redu ima beskonačno mnogo. :-) Ti ionako ni u kojem trenutku ne zbrajaš _sve_ njih, samo nekoliko njih na početku, i onda tražiš limes. Ako možeš permutirati članove, odnosno birati koji će biti na početku, možeš utjecati i na samu sumu reda. Npr. u gornjem primjeru 1-1/2+1/3-1/4+.... suma, čak i ako ne znaš koja je, očito je pozitivna - nakon svakog pozitivnog dolazi jedan negativni, manji od njega po apsolutnoj vrijednosti (dakle, ne može srušiti red u minus), pa nakon njega opet pozitivan. Budući da stvar počinje s 1 , što je pozitivno, zaključujemo da su sve parcijalne sume pozitivne, pa nema šanse da konvergiraju nečem negativnom.
S druge strane, ako ga zapišemo u donjem obliku (samo s 4 minusa nakon jednog plusa), dakle
1-1/2-1/4-1/6-1/8+1/3-1/10-1/12-1/14-1/16+1/5-.... ,
primjećujemo da je npr. peta parcijalna suma, 1-1/2-1/4-1/6-1/8=-1/24 , negativna. U ovom konkretnom slučaju, doduše, suma reda će biti nula, no da smo stavili 5 minuseva nakon jednog plusa, dobili bismo ln2-(ln5)/2 , što je negativno ( 2<sqrt5 ). Za dalje brojeve minuseva, dobili bismo još negativnije brojeve.
Naravno, moguće je namjestiti i da baš red gornjeg tipa (tri minusa nakon plusa) ima negativnu sumu, no to prepuštam tebi za domaću zadaću. Mardešić ima zanimljivih stvari... ;-)
| M (napisa): | | Citat: |
Tm.
(i)
ako je niz parcijalnih suma reda suma(an) s pozitivnim clanovima ogranicen, onda taj red konvergira...
(ii)
ako red suma(an) s pozitivnim clanovima konvergira, onda njegova suma ne ovisi o poretku opcih clanova |
to je tm. 27. Kurepa: "Analiza II"
Nije mi jasno zasto su naglaseni pozitivni clanovi |
Zato što inače teorem ne vrijedi. 
Za (i) , dovoljno je promotriti sum_n(-1)^n . Niz parcijalnih sumâ mu je (-1,0,-1,0,-1,0,....) i očito je ograničen, pa ipak ne konvergira.
S druge strane, ako su članovi reda pozitivni, onda niz parcijalnih sumâ strogo raste, pa po nekom teoremu (koji nije BW, jel tako Vincent? ; ) konvergira ako je ograničen (odozgo).
Za (ii) , dovoljno je navesti jedan genijalan teorem, koji kaže da se uvjetno konvergentan red (dakle, onaj koji konvergira, ali ne apsolutno - npr. zato što nije samo s pozitivnim članovima: ) može učiniti konvergentnim _bilo kamo_, odgovarajućom promjenom redoslijeda članova.
Da, npr. onaj famozni 1-1/2+1/3-1/4+1/5-.... , koji inače tako kako je napisan konvergira prema ln2 , može konvergirati bilo kojem realnom broju, samo ako mu se članovi odgovarajuće porazmjeste. Dokaz je zanimljiv, mogu ti raspisati ako te zanima (imaš u Mardešiću, pod zadacima, hint).
| Citat: | Na predavanjima smo zapisali nesto ovako:
alternirajuci niz + - + - + - + - + - + - + - + - + -
i *niz + - - - + - - - + - - - + - - - + - - - + - - - +
suma alternirajuceg niza moze biti pozitivna, a *niza negativna
Zasto? |
Pa npr. zato što brojeva u redu ima beskonačno mnogo.  Ti ionako ni u kojem trenutku ne zbrajaš _sve_ njih, samo nekoliko njih na početku, i onda tražiš limes. Ako možeš permutirati članove, odnosno birati koji će biti na početku, možeš utjecati i na samu sumu reda. Npr. u gornjem primjeru 1-1/2+1/3-1/4+.... suma, čak i ako ne znaš koja je, očito je pozitivna - nakon svakog pozitivnog dolazi jedan negativni, manji od njega po apsolutnoj vrijednosti (dakle, ne može srušiti red u minus), pa nakon njega opet pozitivan. Budući da stvar počinje s 1 , što je pozitivno, zaključujemo da su sve parcijalne sume pozitivne, pa nema šanse da konvergiraju nečem negativnom.
S druge strane, ako ga zapišemo u donjem obliku (samo s 4 minusa nakon jednog plusa), dakle
1-1/2-1/4-1/6-1/8+1/3-1/10-1/12-1/14-1/16+1/5-.... ,
primjećujemo da je npr. peta parcijalna suma, 1-1/2-1/4-1/6-1/8=-1/24 , negativna. U ovom konkretnom slučaju, doduše, suma reda će biti nula, no da smo stavili 5 minuseva nakon jednog plusa, dobili bismo ln2-(ln5)/2 , što je negativno ( 2<sqrt5 ). Za dalje brojeve minuseva, dobili bismo još negativnije brojeve.
Naravno, moguće je namjestiti i da baš red gornjeg tipa (tri minusa nakon plusa) ima negativnu sumu, no to prepuštam tebi za domaću zadaću. Mardešić ima zanimljivih stvari... 
|
