|
S obzirom da je sa strane studenata izraženo zanimanje
za moguće projektne zadatke, izložit ću ovdje ukratko dva
prijedloga. Oba se odnose na neke važne rezultate iz
projektivne geometrije, koji se inače spominju na predavanjima,
ali se tamo neće detaljno obraditi ili dokazivati u cjelini.
Projektni zadatak ili, popularno rečeno, seminar (seminarski
rad) dopušta dosta slobode da se iz predloženih opširnijih tekstova
izaberu pojedini dijelovi po vlastitom nahođenju i/ili dogovoru
sa mnom (primjerice, pojedini dokazi ili se skiciraju ili izvode
detaljno), ali tako da se istaknu bitne ideje, tehnika i rezultati.
Pritom, očekuje se javno izlaganje od oko 30 minuta,
u sklopu termina predavanja, kako bi to bilo dostupno i poučno
svim slušateljima kolegija. Forma izlaganja nije strogo zadana -
prezentacija s projiciranjem je moguća, ali nije obavezna.
Evo prijedloga s kratkim obrazloženjima i linkovima za
literaturu.
[b]1.[/b] [b]prijedlog[/b]
http://www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/ProjektiveGeometrieWS0607/chap5.pdf
[i]Calculating with points on lines[/i]
Osnovni cilj: pokazati kako se iz čisto projektivnih
postavki rekonstruira algebarska struktura polja na
realnom projektivnom pravcu.
Ključni teoremi:
- Svaka bijekcija realne projektivne ravnine na sebe
koja čuva incidenciju (kolinearnost) je projektivna
transformacija.
- Ako bijekcija realnog projektivnog pravca na sebe
čuva harmonitet (tj. svaku harmoničku četvorku
preslikava u harmoničku četvorku), onda je ta bijekcija
projektivitet na pravcu.
- Komutativnost "projektivno zadane" operacije množenja
na pravcu ekvivalentna je Pappusovom teoremu.
[b]2. prijedlog[/b]
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/beutel.pdf
(knjiga A. Beutelspacher - U. Rosenbaum)
3. poglavlje:
[i]The representation theorems, or good descriptions of
projective and affine spaces[/i]
Ovdje bi se obradio dio od 95.-117. stranice, u sažetom
obliku.
Ključni teoremi:
- Ako je P projektivni prostor dimenzije barem 2 u kojem
vrijedi Desarguesov teorem, onda postoji vektorski prostor
V nad (moguće nekomutativnim) tijelom F takav da je P
izomorfan klasičnom projektivnom prostoru na V.
(Ovaj teorem izvodi se iz odgovarajućeg za afini prostor;
algebarska struktura tijela ostvaruje se pomoću skupa
dilatacija sa zajedničkim centrom).
Napomena: Prilično očito, teme oba prijedloga su usko
povezane, no mogu se obraditi odvojeno i dva seminara
s tim temama ne bi "smetala" jedan drugome, naprotiv.
Po potrebi bit će još prijedloga tema za projektne zadatke.
Zasad bi nešto od ovog bilo korisno za kolegij.[i][/i]
S obzirom da je sa strane studenata izraženo zanimanje
za moguće projektne zadatke, izložit ću ovdje ukratko dva
prijedloga. Oba se odnose na neke važne rezultate iz
projektivne geometrije, koji se inače spominju na predavanjima,
ali se tamo neće detaljno obraditi ili dokazivati u cjelini.
Projektni zadatak ili, popularno rečeno, seminar (seminarski
rad) dopušta dosta slobode da se iz predloženih opširnijih tekstova
izaberu pojedini dijelovi po vlastitom nahođenju i/ili dogovoru
sa mnom (primjerice, pojedini dokazi ili se skiciraju ili izvode
detaljno), ali tako da se istaknu bitne ideje, tehnika i rezultati.
Pritom, očekuje se javno izlaganje od oko 30 minuta,
u sklopu termina predavanja, kako bi to bilo dostupno i poučno
svim slušateljima kolegija. Forma izlaganja nije strogo zadana -
prezentacija s projiciranjem je moguća, ali nije obavezna.
Evo prijedloga s kratkim obrazloženjima i linkovima za
literaturu.
1. prijedlog
http://www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/ProjektiveGeometrieWS0607/chap5.pdf
Calculating with points on lines
Osnovni cilj: pokazati kako se iz čisto projektivnih
postavki rekonstruira algebarska struktura polja na
realnom projektivnom pravcu.
Ključni teoremi:
- Svaka bijekcija realne projektivne ravnine na sebe
koja čuva incidenciju (kolinearnost) je projektivna
transformacija.
- Ako bijekcija realnog projektivnog pravca na sebe
čuva harmonitet (tj. svaku harmoničku četvorku
preslikava u harmoničku četvorku), onda je ta bijekcija
projektivitet na pravcu.
- Komutativnost "projektivno zadane" operacije množenja
na pravcu ekvivalentna je Pappusovom teoremu.
2. prijedlog
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/beutel.pdf
(knjiga A. Beutelspacher - U. Rosenbaum)
3. poglavlje:
The representation theorems, or good descriptions of
projective and affine spaces
Ovdje bi se obradio dio od 95.-117. stranice, u sažetom
obliku.
Ključni teoremi:
- Ako je P projektivni prostor dimenzije barem 2 u kojem
vrijedi Desarguesov teorem, onda postoji vektorski prostor
V nad (moguće nekomutativnim) tijelom F takav da je P
izomorfan klasičnom projektivnom prostoru na V.
(Ovaj teorem izvodi se iz odgovarajućeg za afini prostor;
algebarska struktura tijela ostvaruje se pomoću skupa
dilatacija sa zajedničkim centrom).
Napomena: Prilično očito, teme oba prijedloga su usko
povezane, no mogu se obraditi odvojeno i dva seminara
s tim temama ne bi "smetala" jedan drugome, naprotiv.
Po potrebi bit će još prijedloga tema za projektne zadatke.
Zasad bi nešto od ovog bilo korisno za kolegij.
|
