|
pa, vektorska funkcija vektorske varijable je neprekidna akoisamoako su joj sve koordinatne fje nepr.
a koordinatne funkcije s kojima se barata u zadacima su najcesce produkti/kvocijenti/linearne kombinacije nekakvih nama vec poznatih realnih funkcija realne var - dakle lako se vidi da su neprekidne, svuda gdje su definirane.
obicno se zeli provjeriti mogu li se u "problematicnim tockama" dodefinirati do neprekidnosti.
znamo da ako je funkcija def. sa f(P)=x u tocki P, ona je u toj tocci nepr. akoisamoako ima u toj P limes i on je jednak f(P).
ako fja vektorske var ima limes x u tocki P, onda je limes te fje restringirane na bilo koji podskup domene, takodjer x.
pa sto mozes napraviti, je pogledati limese fje po koordinatnim osima, ili nekakvom drugom pravcu iz domene, ili krivulji, ako se radi o IR_2 - sto ti je lako za vidjeti, i onda provjeriti je li to zbilja limes te funkcije u toj toci, po definiciji (tu ima malo epsilon-delta nastimavanja).
ponekad se odmah vidi da limes funkcije restringirane na jedan podskup i na drugi podskup nisu jednaki - u tom slucaju fja nema limes (jer je on, ako postoji, u IR_n jedinstven), i ne moze se definirati do nepr. tu fju.
sto se diferencijabilnosti tice, def. se zna.... fja je diferencijabilna u tocki ako postoji lin operator....nuzan uvjet za dif. u tocci je, naravno, neprekidnost.
e pa ako takav postoji, on je ( u dualnoj bazi s obzirom na kanonsku...) reprezentiran matricom, gdje je a_i,j derivacija i-te koordinatne projekcije po j-toj varijabli.
ako se, dakle, zeli provjeriti je li fja diferencijabilna u nekoj tocki iz svoje domene, lijepo izracunas sve te parc. derivacije u danoj tocki, sto znas,i dobijes matricu A kojom je reprezentiran eventualno postojeci diferencijal u toj tocki,i onda provjeris je li
lim (f(P+H)-f(P)-A(H))/ II H II, kada H tezi k nuli, 0. po definiciji. ako je - super, A je diferencijal. ako nije - fja nije dif. u toj tocki, jer da je, vrijedilo bi ovo spomenuto s diferencijalom i parc. derivacijama. (imas sve lijepo objasnjeno u knjizi prof. ungara, str. 67 - 83, i rijesene zadatke - ako zelis, posudim ti svoju.)
pa, vektorska funkcija vektorske varijable je neprekidna akoisamoako su joj sve koordinatne fje nepr.
a koordinatne funkcije s kojima se barata u zadacima su najcesce produkti/kvocijenti/linearne kombinacije nekakvih nama vec poznatih realnih funkcija realne var - dakle lako se vidi da su neprekidne, svuda gdje su definirane.
obicno se zeli provjeriti mogu li se u "problematicnim tockama" dodefinirati do neprekidnosti.
znamo da ako je funkcija def. sa f(P)=x u tocki P, ona je u toj tocci nepr. akoisamoako ima u toj P limes i on je jednak f(P).
ako fja vektorske var ima limes x u tocki P, onda je limes te fje restringirane na bilo koji podskup domene, takodjer x.
pa sto mozes napraviti, je pogledati limese fje po koordinatnim osima, ili nekakvom drugom pravcu iz domene, ili krivulji, ako se radi o IR_2 - sto ti je lako za vidjeti, i onda provjeriti je li to zbilja limes te funkcije u toj toci, po definiciji (tu ima malo epsilon-delta nastimavanja).
ponekad se odmah vidi da limes funkcije restringirane na jedan podskup i na drugi podskup nisu jednaki - u tom slucaju fja nema limes (jer je on, ako postoji, u IR_n jedinstven), i ne moze se definirati do nepr. tu fju.
sto se diferencijabilnosti tice, def. se zna.... fja je diferencijabilna u tocki ako postoji lin operator....nuzan uvjet za dif. u tocci je, naravno, neprekidnost.
e pa ako takav postoji, on je ( u dualnoj bazi s obzirom na kanonsku...) reprezentiran matricom, gdje je a_i,j derivacija i-te koordinatne projekcije po j-toj varijabli.
ako se, dakle, zeli provjeriti je li fja diferencijabilna u nekoj tocki iz svoje domene, lijepo izracunas sve te parc. derivacije u danoj tocki, sto znas,i dobijes matricu A kojom je reprezentiran eventualno postojeci diferencijal u toj tocki,i onda provjeris je li
lim (f(P+H)-f(P)-A(H))/ II H II, kada H tezi k nuli, 0. po definiciji. ako je - super, A je diferencijal. ako nije - fja nije dif. u toj tocki, jer da je, vrijedilo bi ovo spomenuto s diferencijalom i parc. derivacijama. (imas sve lijepo objasnjeno u knjizi prof. ungara, str. 67 - 83, i rijesene zadatke - ako zelis, posudim ti svoju.)
_________________
`To begin with, a dog's not mad. You grant that? 'Well, then,' the Cat went on, `you see, a dog growls when it's angry, and wags its tail when it's pleased. Now I growl when I'm pleased, and wag my tail when I'm angry. Therefore I'm mad.'
|
(iz iskustva govoreci)