Parcijalni razlomci (zadatak)

[krilo]

Pozdrav ljudi
Imam problema sa sustavom jednadžbi
[tex]x^3 + y^3 + z^3 = 10\\
x + y +z = 4\\
xy + yz + xz = 2xyz + 1[/tex]
iz lanjskog kolokvija. Kad uzmem polinom [tex]p(t) = (t-x)(t-y)(t-z)[/tex], kojemu su [tex]x, y, z[/tex] nultočke, pa ga raspišem, dobijem [tex]p(t) = t^3 -4t^2 + (2xyz + 1)t - xyz[/tex] i tu stanem. Ne znam što da radim s ovim potencijama na treću i kako da ih iskoristim. Ako netko ima ideju što s tim, slušam. Unaprijed hvala

[krilo]

Zadatak je riješen Za one koje zanima:
Treba kubirati izraz [tex](x+y+z)[/tex], pa se dobije

[tex]64 = 10 + 16xyz + xz(x+z) + xy(x+y) + yz(y+z) + 8[/tex]

što se primjenom druge jednadžbe (npr. x+y=4-z) pretvara u

[tex]64 = 18 + 16xyz + xz(4-y) + xy(4-z) + yz(4-x) + 8[/tex]

iz čega se daljnjim računanjem dođe do [tex]xyz=2.[/tex]

Polinom ispadne [tex]p(t) = t^3 - 4t^2 + 5t -2[/tex], s nultočkama 1, 1, 2. Nek se nađe prije kolokvija

[krilo]

Zna li mi netko objasniti rastav na parcijalne razlomke? Znala bih za neke jednostavne razlomke, ali konkretno za ovaj ne: [dtex]q(x) = \frac{1}{(x − 1)^3(x^2 + 1)^2(x + 3)^2}[/dtex]
U zadatku piše da treba napisati oblik rastava na parcijalne razlomke realne racionalne funkcije, i da koeficijente ne treba računati. Što to znači?

[goranm]

To znaci da se samo trazi da napises nesto poput
[dtex]q(x)=\frac{A(x)}{(x-1)^3}+\frac{B(x)}{(x^2+1)^2}+\frac{C(x)}{(x+3)^2},[/dtex]
gdje su A, B i C polinomi (koji mogu biti konstante). Ovo sto sam gore napisao nije niti priblizno tocno, vidjeti ces zasto kad procitas ostatak.

Poanta tog zadatka je da se provjeri znas li pravila za rastavljanje u parcijalne razlomke kada se u razlomku pojavljuje faktor koji je ireducibilan i stupnja veceg od 1.

Tako npr. razlomak [tex]\frac{1}{(x^2+1)(x+1)}[/tex] ima ireducibilan faktor stupnja 2, sto znaci da rastav moramo pisati kao
[dtex]\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}.[/dtex]
Dalje, ako imamo ireducibilan faktor stupnja 1 koji je dignut na neku potenciju, npr. [tex]\frac{1}{(x+3)^2(x+1)}[/tex] onda rastav moramo pisati kao
[dtex]\frac{A_1}{x+3}+\frac{A_2}{(x+3)^2}+\frac{B}{x+1}.[/dtex]
I, na kraju, ako imamo ireducibilan faktor stupnja 2 ili vise, a koji je dignut na neku potenciju, npr. [tex]\frac{1}{(x+3)(x^2+1)^3}[/tex], onda imamo kombinaciju prethodne dvije situacije:
[dtex]\frac{A}{x+3}+\frac{B_1 x + B_2}{x^2+1}+\frac{B_3 x + B_4}{(x^2+1)^2}.[/dtex]

Ostaje jedino pitanje sto ako se u nazivniku pojavi polinom stupnja veceg od 2. U tom slucaju taj polinom mozes rastaviti na ireducibilne faktore, a oni mogu biti samo stupnja 1 ili 2.

_________________
The Dude Abides

[krilo]

A oblik izraza u brojniku ([tex]A[/tex], ili [tex]Ax+B[/tex]) pretpostavljam da ovisi o realnosti/kompleksnosti nultočaka polinoma koji je u nazivniku. Onda bi rastav trebao biti ovako, ili ga se može još rastaviti? [dtex]q(x)= \frac{1}{(x-1)^3(x^2+1)^2(x+3)^2}= \frac{A}{(x-1)^3}+\frac{Bx+C}{(x^2+1)^2}+\frac{D}{(x+3)^2}[/dtex]

I da, velika zahvala i lapohva

[goranm]

Pogledaj jos jednom kako se rastavlja razlomak kada imas faktor dignut na neku potenciju. Npr. u rastavu za q nije dovoljno imati samo A/(x-1)^3 vec moras imati
[dtex]\frac{A_1}{x-1}+\frac{A_2}{(x-1)^2}+\frac{A_3}{(x-1)^3}.[/dtex]
Slicno moras napraviti s preostala dva sumanda.

_________________
The Dude Abides

[krilo]

Onda to nije točno raspisano ili nije do kraja raspisano (čisto da znam je li to legitiman međukorak)? Ako svaki još raspišem:
[dtex]q(x)= \frac{A_1}{x-1}+\frac{A_2}{(x-1)^2}+\frac{A_3}{(x-1)^3}+ \frac{B_1 x+C_1}{x^2+1}+\frac{B_2 x+C_2}{(x^2+1)^2}+\frac{D_1}{x+3}+\frac{D_2}{(x+3)^2}[/dtex]

[goranm]

[krilo]

Eeeeee super, puno hvala na pomoći... Nismo to bog-zna-što prošli na vježbama, pa mi ovo puno toga pojašnjava

Još jedan, "za svaki slučaj":[dtex]q(x)=\frac{3}{(x-3)(x^2-x-6)(x^2+3x+4)^2}=3*\frac{1}{(x-3)(x+3)(x-4)(x^2+3x+4)^2}=[/dtex][dtex]=3*(

\frac{A}{(x-3)}+\frac{B}{(x+3)}+\frac{C}{(x-4)}+\frac{Dx+E}{(x^2+3x+4)^2}+\frac{Fx+G}{(x^2+3x+4)})=

\frac{3A}{(x-3)}+\frac{3B}{(x+3)}+\frac{3C}{(x-4)}+\frac{3Dx+3E}{(x^2+3x+4)^2}+\frac{3Fx+3G}{(x^2+3x+4)}[/dtex]

[goranm]

Da, to je dobro. S time da rastav mozes napisati i kao
[dtex]\frac{A}{(x-3)}+\frac{B}{(x+3)}+\frac{C}{(x-4)}+\frac{Dx+E}{(x^2+3x+4)^2}+\frac{Fx+G}{(x^2+3x+4)}.[/dtex]
Obrazlozenje je to da u nekom alternativnom svemiru ti si umjesto A pisala [tex]\tilde A[/tex], i isto tako za B, C, D itd. Onda su tvoji brojnici bili [tex]3\tilde A[/tex], [tex]3\tilde D x+3\tilde E[/tex] itd. pa si odlucila uvesti nove konstante A, B, C itd. takve da je [tex]A=3\tilde A[/tex], [tex]B=3\tilde B[/tex] itd.

Razlike izmedju te dvije situacije nema, jer u tom alternativnom svemiru "mnozenje s 3" je ukljuceno u "nove" varijable sustava, dok u ovom svemiru prvo rijesis sustav pa onda naknadno sa 3 mnozis rjesenja A, B, C itd.

_________________
The Dude Abides

[krilo]

E super Hvala još jednom!