| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
krilo
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol: 
|
 Postano: 0:49 sub, 4. 2. 2017 Naslov: Zadaci za popravni |
    |
|
|
Pozdrav :)
Imam problema sa 2. zadatkom iz popravnog 2015.:
Dan je skup [tex]M=\{ (x^2+1)p(x), p \in P_2 \}[/tex] i treba dokazati da je [tex]M[/tex] potprostor od [tex]P_5[/tex], te odrediti bazu. Dokaz da je potprostor i nije problem, ali ne znam kako tražiti bazu kad su polinomi u pitanju (ili općenito neki skup koji u svom "opisu" nema jednadžbu pa da se neki konkretan oblik (matrica, polinom) može izračunati). Ako znam da je [tex]p \in P_2[/tex], znam da ga mogu raspisati kao neki [tex]ax^2+bx+c[/tex], a što s tim, neam pojma :-k Unaprijed hvala na odgovoru.
Pozdrav 
Imam problema sa 2. zadatkom iz popravnog 2015.:
Dan je skup [tex]M=\{ (x^2+1)p(x), p \in P_2 \}[/tex] i treba dokazati da je [tex]M[/tex] potprostor od [tex]P_5[/tex], te odrediti bazu. Dokaz da je potprostor i nije problem, ali ne znam kako tražiti bazu kad su polinomi u pitanju (ili općenito neki skup koji u svom "opisu" nema jednadžbu pa da se neki konkretan oblik (matrica, polinom) može izračunati). Ako znam da je [tex]p \in P_2[/tex], znam da ga mogu raspisati kao neki [tex]ax^2+bx+c[/tex], a što s tim, neam pojma  Unaprijed hvala na odgovoru.
|
|
| [Vrh] |
|
mdoko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: 
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
|
| Postano: 11:07 sub, 4. 2. 2017 Naslov: |
|
|
|
Kao što si i sama primjetila, očito je svaki element iz [tex]M[/tex] oblika [tex](x^2+1)(ax^2+bx+c)[/tex], za neke [tex]a,b,c\in\mathbb{R}[/tex]. Drugim riječima, svaki element prostora [tex]M[/tex] može se prikazati kao [tex]a(x^4+x^2)+b(x^3+x)+c(x^2+1)[/tex], iz čega je očito da je skup [tex]S := \{x^4+x^2,x^3+x^2,x^2+1\}[/tex] sustav izvodnica za prostor [tex]M[/tex]. Nadalje, [tex]S[/tex] je očito linearno nezavisan skup, budući da se radi o skupu polinoma u parovima različitith stupnjeva. Konačno, vidimo da je [tex]S[/tex] baza prostora [tex]M[/tex], jer se radi o linearno nezavisnom sustavu izvodnica za [tex]M[/tex].
Kao što si i sama primjetila, očito je svaki element iz [tex]M[/tex] oblika [tex](x^2+1)(ax^2+bx+c)[/tex], za neke [tex]a,b,c\in\mathbb{R}[/tex]. Drugim riječima, svaki element prostora [tex]M[/tex] može se prikazati kao [tex]a(x^4+x^2)+b(x^3+x)+c(x^2+1)[/tex], iz čega je očito da je skup [tex]S := \{x^4+x^2,x^3+x^2,x^2+1\}[/tex] sustav izvodnica za prostor [tex]M[/tex]. Nadalje, [tex]S[/tex] je očito linearno nezavisan skup, budući da se radi o skupu polinoma u parovima različitith stupnjeva. Konačno, vidimo da je [tex]S[/tex] baza prostora [tex]M[/tex], jer se radi o linearno nezavisnom sustavu izvodnica za [tex]M[/tex].
_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
|
|
| [Vrh] |
|
krilo
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol:
|
| Postano: 12:02 sub, 4. 2. 2017 Naslov: |
|
|
|
I to je to? Zbunjujuće jednostavno... #-o U zadatku se također traži da odredim neku bazu nekog direktnog komplementa potprostora [tex]M \cap P_3[/tex] u v.p. [tex]P_5[/tex]. Ako uzmem da je baza [tex]M \cap P_3[/tex] skup [tex]S:=\{ x^3+x, x^2+1\}[/tex], znači li to da mogu S nadopuniti do baze za [tex]P_5[/tex] samo tako da dodam neke polinome nultog, 1. i 4. stupnja, npr. samo [tex]x, x^4, 1[/tex] u taj skup? Bi li to bila baza za "neki" direktni komplement s obzirom da kombinirajući elemente [tex]x^4, x^3+x, x^2+1, x, 1[/tex] možemo dobiti polinom bilo kojeg stupnja manjeg ili jednakog 5?
I to je to? Zbunjujuće jednostavno...  U zadatku se također traži da odredim neku bazu nekog direktnog komplementa potprostora [tex]M \cap P_3[/tex] u v.p. [tex]P_5[/tex]. Ako uzmem da je baza [tex]M \cap P_3[/tex] skup [tex]S:=\{ x^3+x, x^2+1\}[/tex], znači li to da mogu S nadopuniti do baze za [tex]P_5[/tex] samo tako da dodam neke polinome nultog, 1. i 4. stupnja, npr. samo [tex]x, x^4, 1[/tex] u taj skup? Bi li to bila baza za "neki" direktni komplement s obzirom da kombinirajući elemente [tex]x^4, x^3+x, x^2+1, x, 1[/tex] možemo dobiti polinom bilo kojeg stupnja manjeg ili jednakog 5?
|
|
| [Vrh] |
|
mdoko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol:
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
|
| Postano: 13:56 sub, 4. 2. 2017 Naslov: |
|
|
|
[quote="krilo"]I to je to? Zbunjujuće jednostavno... #-o[/quote]
Bitno je ne prepasti se zadatka.
[quote] U zadatku se također traži da odredim neku bazu nekog direktnog komplementa potprostora [tex]M \cap P_3[/tex] u v.p. [tex]P_5[/tex]. Ako uzmem da je baza [tex]M \cap P_3[/tex] skup [tex]S:=\{ x^3+x, x^2+1\}[/tex], znači li to da mogu S nadopuniti do baze za [tex]P_5[/tex] samo tako da dodam neke polinome nultog, 1. i 4. stupnja, npr. samo [tex]x, x^4, 1[/tex] u taj skup? Bi li to bila baza za "neki" direktni komplement s obzirom da kombinirajući elemente [tex]x^4, x^3+x, x^2+1, x, 1[/tex] možemo dobiti polinom bilo kojeg stupnja manjeg ili jednakog 5?[/quote]
To bi bilo to.
Možda još jedan komentar koji bi ti mogao biti koristan.
Ako znaš sve napraviti u [tex]\mathbb{R}^n[/tex], nema nikakvog razloga da te zbunjuju polinomi ograničenog stupnja. Naime, sve što trebaš je iskoristiti izomorfizam koji povezuje [tex]\mathbb{R}^{n+1}[/tex] i [tex]P_n[/tex] i onda se nalaziš u poznatom teritoriju.
Jednostavnije rečeno, kad god imaš posla s polinomom [tex]a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0[/tex], ponašaj se kao da je u pitanju (n+1)-torka [tex](a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0)[/tex].
Edit: Ispravio grešku. Inicijalno je pisalo [tex]\mathbb{R}^n[/tex] umjesto [tex]\mathbb{R}^{n+1}[/tex]. :oops:
| krilo (napisa): | | I to je to? Zbunjujuće jednostavno... |
Bitno je ne prepasti se zadatka.
| Citat: | | U zadatku se također traži da odredim neku bazu nekog direktnog komplementa potprostora [tex]M \cap P_3[/tex] u v.p. [tex]P_5[/tex]. Ako uzmem da je baza [tex]M \cap P_3[/tex] skup [tex]S:=\{ x^3+x, x^2+1\}[/tex], znači li to da mogu S nadopuniti do baze za [tex]P_5[/tex] samo tako da dodam neke polinome nultog, 1. i 4. stupnja, npr. samo [tex]x, x^4, 1[/tex] u taj skup? Bi li to bila baza za "neki" direktni komplement s obzirom da kombinirajući elemente [tex]x^4, x^3+x, x^2+1, x, 1[/tex] možemo dobiti polinom bilo kojeg stupnja manjeg ili jednakog 5? |
To bi bilo to.
Možda još jedan komentar koji bi ti mogao biti koristan.
Ako znaš sve napraviti u [tex]\mathbb{R}^n[/tex], nema nikakvog razloga da te zbunjuju polinomi ograničenog stupnja. Naime, sve što trebaš je iskoristiti izomorfizam koji povezuje [tex]\mathbb{R}^{n+1}[/tex] i [tex]P_n[/tex] i onda se nalaziš u poznatom teritoriju.
Jednostavnije rečeno, kad god imaš posla s polinomom [tex]a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0[/tex], ponašaj se kao da je u pitanju (n+1)-torka [tex](a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0)[/tex].
Edit: Ispravio grešku. Inicijalno je pisalo [tex]\mathbb{R}^n[/tex] umjesto [tex]\mathbb{R}^{n+1}[/tex]. 
_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
Zadnja promjena: mdoko; 14:03 ned, 5. 2. 2017; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
| [Vrh] |
|
krilo
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol:
|
| Postano: 16:29 sub, 4. 2. 2017 Naslov: |
|
|
|
Dobro, mogu to pokušati primijeniti... 3. zadatak 2013. daje potprostor [tex]M=\{ p \in P_4 : p(2x)=p(x+1) \}[/tex]; treba odrediti bazu nekog direktnog komplementa u [tex]P_4[/tex]. Raspisom "opisa" potprostora (gdje su [tex]a_i[/tex]-jevi koeficijenti) dobijem
[dtex] 15a_4x^4+(7a_3-4a_4)x^3+(-6a_4-3a_3+3a_2)x^2+(-4a_4-3a_3-2a_2+a_1)x+(-a_4-a_3-a_1)=0. [/dtex]
Onda, prema tvojim riječima, mogu kao sustav izvodnica za [tex]M[/tex] promatrati skup [dtex]\{ (15,0,0,0),(-4,7,0,0),(-6,-3,3,0),(-4,-3,-2,1),(-1,-1,0,-1) \}?[/dtex] (Kalkuliranjem dobijem da se (-6,-3,3,0) može prikazati pomoću ostalih, pa kad njega izbacim dobijem bazu za M? Bazu za dir. komp. onda nije teško naći.)
(I btw. a big :thankyou: za volju za odgovaranjem.)
Dobro, mogu to pokušati primijeniti... 3. zadatak 2013. daje potprostor [tex]M=\{ p \in P_4 : p(2x)=p(x+1) \}[/tex]; treba odrediti bazu nekog direktnog komplementa u [tex]P_4[/tex]. Raspisom "opisa" potprostora (gdje su [tex]a_i[/tex]-jevi koeficijenti) dobijem
[dtex] 15a_4x^4+(7a_3-4a_4)x^3+(-6a_4-3a_3+3a_2)x^2+(-4a_4-3a_3-2a_2+a_1)x+(-a_4-a_3-a_1)=0. [/dtex]
Onda, prema tvojim riječima, mogu kao sustav izvodnica za [tex]M[/tex] promatrati skup [dtex]\{ (15,0,0,0),(-4,7,0,0),(-6,-3,3,0),(-4,-3,-2,1),(-1,-1,0,-1) \}?[/dtex] (Kalkuliranjem dobijem da se (-6,-3,3,0) može prikazati pomoću ostalih, pa kad njega izbacim dobijem bazu za M? Bazu za dir. komp. onda nije teško naći.)
(I btw. a big  za volju za odgovaranjem.)
|
|
| [Vrh] |
|
mdoko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol:
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
|
| Postano: 5:09 ned, 5. 2. 2017 Naslov: |
|
|
|
[quote="krilo"]Dobro, mogu to pokušati primijeniti... 3. zadatak 2013. daje potprostor [tex]M=\{ p \in P_4 : p(2x)=p(x+1) \}[/tex]; treba odrediti bazu nekog direktnog komplementa u [tex]P_4[/tex]. Raspisom "opisa" potprostora (gdje su [tex]a_i[/tex]-jevi koeficijenti) dobijem
[dtex] 15a_4x^4+(7a_3-4a_4)x^3+(-6a_4-3a_3+3a_2)x^2+(-4a_4-3a_3-2a_2+a_1)x+(-a_4-a_3-a_1)=0. [/dtex]
Onda, prema tvojim riječima, mogu kao sustav izvodnica za [tex]M[/tex] promatrati skup [tex]\{ (15,0,0,0),(-4,7,0,0),(-6,-3,3,0),(-4,-3,-2,1),(-1,-1,0,-1) \}?[/tex][/quote]
Nešto si ovdje pobrkala. Nije mi točno jasno što. Odakle ti ovaj sustav izvodnica? :grebgreb:
Ono što bi trebalo napraviti nakon što si dobila da mora biti [tex]15a_4x^4+(7a_3-4a_4)x^3+(-6a_4-3a_3+3a_2)x^2+(-4a_4-3a_3-2a_2+a_1)x+(-a_4-a_3-a_1)=0[/tex] je izjednačiti sve koeficijente s nulom i riješiti sustav.
Nakon što riješimo sustav
[tex]\begin{array}{r}15a_4=0\\7a_3-4a_4=0\\-6a_4-3a_3+3a_2=0\\-4a_4-3a_3-2a_2+a_1=0\\-a_4-a_3-a_1=0\end{array}[/tex]
[url=https://www.wolframalpha.com/input/?i=15a_4%3D0,+7a_3-4a_4%3D0,-6a_4-3a_3%2B3a_2%3D0,-4a_4-3a_3-2a_2%2Ba_1%3D0,-a_4-a_3-a_1%3D0]dobijemo[/url] [tex]a_4 = a_3 = a_2 = a_1 = 0[/tex], što znači da je [tex]M=\{p(x) = a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0 \mid a_4 = a_3 = a_2 = a_1 = 0\}[/tex], odnosno radi se o prostoru konstantnih polinoma.
| krilo (napisa): | Dobro, mogu to pokušati primijeniti... 3. zadatak 2013. daje potprostor [tex]M=\{ p \in P_4 : p(2x)=p(x+1) \}[/tex]; treba odrediti bazu nekog direktnog komplementa u [tex]P_4[/tex]. Raspisom "opisa" potprostora (gdje su [tex]a_i[/tex]-jevi koeficijenti) dobijem
[dtex] 15a_4x^4+(7a_3-4a_4)x^3+(-6a_4-3a_3+3a_2)x^2+(-4a_4-3a_3-2a_2+a_1)x+(-a_4-a_3-a_1)=0. [/dtex]
Onda, prema tvojim riječima, mogu kao sustav izvodnica za [tex]M[/tex] promatrati skup [tex]\{ (15,0,0,0),(-4,7,0,0),(-6,-3,3,0),(-4,-3,-2,1),(-1,-1,0,-1) \}?[/tex] |
Nešto si ovdje pobrkala. Nije mi točno jasno što. Odakle ti ovaj sustav izvodnica? 
Ono što bi trebalo napraviti nakon što si dobila da mora biti [tex]15a_4x^4+(7a_3-4a_4)x^3+(-6a_4-3a_3+3a_2)x^2+(-4a_4-3a_3-2a_2+a_1)x+(-a_4-a_3-a_1)=0[/tex] je izjednačiti sve koeficijente s nulom i riješiti sustav.
Nakon što riješimo sustav
[tex]\begin{array}{r}15a_4=0\\7a_3-4a_4=0\\-6a_4-3a_3+3a_2=0\\-4a_4-3a_3-2a_2+a_1=0\\-a_4-a_3-a_1=0\end{array}[/tex]
dobijemo [tex]a_4 = a_3 = a_2 = a_1 = 0[/tex], što znači da je [tex]M=\{p(x) = a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0 \mid a_4 = a_3 = a_2 = a_1 = 0\}[/tex], odnosno radi se o prostoru konstantnih polinoma.
_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
|
|
| [Vrh] |
|
krilo
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol:
|
| Postano: 12:07 ned, 5. 2. 2017 Naslov: |
|
|
|
Pa baš mi to nije bilo jasno... kad sam tako raspisala, mislila sam da se radi o "prostoru" nul-polinoma, ali sad vidim da je [tex]a_0[/tex] tu izostavljen iz jednadžbe, da o njemu zapravo sve ovisi. Onda znači, direktni komplement bi činio skup npr. [tex]\{ x^4, x^3, x^2, x \}?[/tex]
[quote="mdoko"]Jednostavnije rečeno, kad god imaš posla s polinomom [tex]a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0[/tex], ponašaj se kao da je u pitanju n-torka [tex](a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0)[/tex].[/quote]
Brljam po "sustavu izvodnica" jer na neki čudni način gornji raspis povezujem s
[dtex] (15,0,0,0) x^4+(-4,7,0,0)x^3+(-6,-3,3,0)x^2+(-4,-3,-2,1)x+(-1,-1,-1,0)=0, [/dtex] gdje bi prva koordinata bila [tex]a_4[/tex], druga [tex]a_3[/tex] itd. Ali očito to nema smisla :dash2:
Pa baš mi to nije bilo jasno... kad sam tako raspisala, mislila sam da se radi o "prostoru" nul-polinoma, ali sad vidim da je [tex]a_0[/tex] tu izostavljen iz jednadžbe, da o njemu zapravo sve ovisi. Onda znači, direktni komplement bi činio skup npr. [tex]\{ x^4, x^3, x^2, x \}?[/tex]
| mdoko (napisa): | | Jednostavnije rečeno, kad god imaš posla s polinomom [tex]a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0[/tex], ponašaj se kao da je u pitanju n-torka [tex](a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0)[/tex]. |
Brljam po "sustavu izvodnica" jer na neki čudni način gornji raspis povezujem s
[dtex] (15,0,0,0) x^4+(-4,7,0,0)x^3+(-6,-3,3,0)x^2+(-4,-3,-2,1)x+(-1,-1,-1,0)=0, [/dtex] gdje bi prva koordinata bila [tex]a_4[/tex], druga [tex]a_3[/tex] itd. Ali očito to nema smisla 
|
|
| [Vrh] |
|
mdoko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol:
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
|
| Postano: 14:07 ned, 5. 2. 2017 Naslov: |
|
|
|
[quote="krilo"]Brljam po "sustavu izvodnica" jer na neki čudni način gornji raspis povezujem s
[dtex] (15,0,0,0) x^4+(-4,7,0,0)x^3+(-6,-3,3,0)x^2+(-4,-3,-2,1)x+(-1,-1,-1,0)=0, [/dtex] gdje bi prva koordinata bila [tex]a_4[/tex], druga [tex]a_3[/tex] itd. [/quote]
Sad mi je jasno. Thanks!
Prvi signal da si nešto pobrkala ti je trebala biti činjenica da su ti keficijenti nekako postali vektori umjesto skalara. To nekako ne štima, je li tako?
Kad se malo bolje skoncentriraš, vidiš da u jednadžbi [tex]15a_4x^4+(7a_3-4a_4)x^3+(-6a_4-3a_3+3a_2)x^2+(-4a_4-3a_3-2a_2+a_1)x+(-a_4-a_3-a_1)=0[/tex] imaš posla s jednakošću dvaju polinoma. Rekli smo da [u]polinomi iz [tex]P_4[/tex][/u] odgovaraju [u]uređenim petorkama[/u]. Prema tome, treba svaku stranu jednakosti pretvoriti u petorku.
Polinom [tex]15a_4x^4+(7a_3-4a_4)x^3+(-6a_4-3a_3+3a_2)x^2+(-4a_4-3a_3-2a_2+a_1)x+(-a_4-a_3-a_1)[/tex] možemo poistovjetiti s petorkom [tex](15a_4,7a_3-4a_4,-6a_4-3a_3+3a_2,-4a_4-3a_3-2a_2+a_1,-a_4-a_3-a_1,0)[/tex], dok konstantni polinom 0 poistovjećujemo s (0,0,0,0,0). Prema tome naša jednadžba izgleda ovako: [dtex](15a_4,7a_3-4a_4,-6a_4-3a_3+3a_2,-4a_4-3a_3-2a_2+a_1,-a_4-a_3-a_1,0) = (0,0,0,0,0).[/dtex].
Je li sad malo jasnije?
| krilo (napisa): | Brljam po "sustavu izvodnica" jer na neki čudni način gornji raspis povezujem s
[dtex] (15,0,0,0) x^4+(-4,7,0,0)x^3+(-6,-3,3,0)x^2+(-4,-3,-2,1)x+(-1,-1,-1,0)=0, [/dtex] gdje bi prva koordinata bila [tex]a_4[/tex], druga [tex]a_3[/tex] itd. |
Sad mi je jasno. Thanks!
Prvi signal da si nešto pobrkala ti je trebala biti činjenica da su ti keficijenti nekako postali vektori umjesto skalara. To nekako ne štima, je li tako?
Kad se malo bolje skoncentriraš, vidiš da u jednadžbi [tex]15a_4x^4+(7a_3-4a_4)x^3+(-6a_4-3a_3+3a_2)x^2+(-4a_4-3a_3-2a_2+a_1)x+(-a_4-a_3-a_1)=0[/tex] imaš posla s jednakošću dvaju polinoma. Rekli smo da polinomi iz [tex]P_4[/tex] odgovaraju uređenim petorkama. Prema tome, treba svaku stranu jednakosti pretvoriti u petorku.
Polinom [tex]15a_4x^4+(7a_3-4a_4)x^3+(-6a_4-3a_3+3a_2)x^2+(-4a_4-3a_3-2a_2+a_1)x+(-a_4-a_3-a_1)[/tex] možemo poistovjetiti s petorkom [tex](15a_4,7a_3-4a_4,-6a_4-3a_3+3a_2,-4a_4-3a_3-2a_2+a_1,-a_4-a_3-a_1,0)[/tex], dok konstantni polinom 0 poistovjećujemo s (0,0,0,0,0). Prema tome naša jednadžba izgleda ovako: [dtex](15a_4,7a_3-4a_4,-6a_4-3a_3+3a_2,-4a_4-3a_3-2a_2+a_1,-a_4-a_3-a_1,0) = (0,0,0,0,0).[/dtex].
Je li sad malo jasnije?
_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
|
|
| [Vrh] |
|
krilo
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol:
|
| Postano: 16:23 ned, 5. 2. 2017 Naslov: |
|
|
|
Sad je jasno \D/ Ma mene najviše smete misao da ću, ako krenem nekim logičnim putem, doći do nelogičnog rješenja, pa krenem čarobirati fstein
thankyou for all. Postam poslije još koji problem, ne osjećaj se obvezanim da odgovoriš. wink
Bio bi to zadatak 2 iz popravnog 2016
Dan je potprostor [tex]K=\{ (z_1,z_2,...,z_{2n}) \in C^{2n} z_{2k-1}-\overline{z_{2k}}=0,\ k=1,...,n \}[/tex], traže se dimenzija, baza i baza dir. komplementa.
1) Zašto [tex]C^{2n}[/tex], a ne na klasičnu n-tu? (Pretpostavljam da je nešto u vezi [tex]i[/tex]-ja, mislim da je zato što se jedan kompleksni broj sastoji od dvije (realne i imaginarne) komponente, ali nisam sigurna.)
2) Raspisom uvjeta dobijem [dtex] x_1+y_1i-(x_2-y_2i)=0 \implies (x_1-x_2)+(y_1+y_2)i=0 \implies x_1=x_2,\ y_2=-y_1. [/dtex]
Znači li to da naš [tex](z_1,...,z_{2n})[/tex] izgleda ovako(?) [tex](x_1+y_1i,\ x_1-y_1i,\ x_1+y_1i,...)[/tex] Koji bi bio onda zadnji član, ili je to ovisno o n?
(Ako je to dobar oblik, onda ga mogu raspisati u obliku [tex]x_1(1,1,...,1)+y_1i(1,-1,1,-1,...)[/tex], pa i odrediti dimenziju.)
3) Ovisno o gornjem, je li K potprostor realnog ili kompleksnog v. p. [tex]C^{2n}?[/tex] Prema gornjem rastavu, ako je točan, pojavljuje se skalar [tex]i,[/tex]a vektori se sastoje od cijelih brojeva; zbog toga mi nije jasno što određuje "potprostornu kompleksnost".
Sad je jasno  Ma mene najviše smete misao da ću, ako krenem nekim logičnim putem, doći do nelogičnog rješenja, pa krenem čarobirati 
for all. Postam poslije još koji problem, ne osjećaj se obvezanim da odgovoriš. 
Bio bi to zadatak 2 iz popravnog 2016:
Dan je potprostor [tex]K=\{ (z_1,z_2,...,z_{2n}) \in C^{2n} : z_{2k-1}-\overline{z_{2k}}=0,\ k=1,...,n \}[/tex], traže se dimenzija, baza i baza dir. komplementa.
1) Zašto [tex]C^{2n}[/tex], a ne na klasičnu n-tu? (Pretpostavljam da je nešto u vezi [tex]i[/tex]-ja, mislim da je zato što se jedan kompleksni broj sastoji od dvije (realne i imaginarne) komponente, ali nisam sigurna.)
2) Raspisom uvjeta dobijem: [dtex] x_1+y_1i-(x_2-y_2i)=0 \implies (x_1-x_2)+(y_1+y_2)i=0 \implies x_1=x_2,\ y_2=-y_1. [/dtex]
Znači li to da naš [tex](z_1,...,z_{2n})[/tex] izgleda ovako(?): [tex](x_1+y_1i,\ x_1-y_1i,\ x_1+y_1i,...)[/tex] Koji bi bio onda zadnji član, ili je to ovisno o n?
(Ako je to dobar oblik, onda ga mogu raspisati u obliku [tex]x_1(1,1,...,1)+y_1i(1,-1,1,-1,...)[/tex], pa i odrediti dimenziju.)
3) Ovisno o gornjem, je li K potprostor realnog ili kompleksnog v. p. [tex]C^{2n}?[/tex] Prema gornjem rastavu, ako je točan, pojavljuje se skalar [tex]i,[/tex]a vektori se sastoje od cijelih brojeva; zbog toga mi nije jasno što određuje "potprostornu kompleksnost".
|
|
| [Vrh] |
|
mdoko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol:
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
|
| Postano: 18:26 ned, 5. 2. 2017 Naslov: |
|
|
|
[quote="krilo"]mene najviše smete misao da ću, ako krenem nekim logičnim putem, doći do nelogičnog rješenja[/quote]
:shock: To je upravo suprotno od onoga kako logika funkcionira!
[quote]Dan je potprostor [tex]K=\{ (z_1,z_2,...,z_{2n}) \in \mathbb{C}^{2n} : z_{2k-1}-\overline{z_{2k}}=0,\ k=1,...,n \}[/tex], traže se dimenzija, baza i baza dir. komplementa.[/quote]
[quote]Zašto [tex]\mathbb{C}^{2n}[/tex], a ne na klasičnu n-tu? (Pretpostavljam da je nešto u vezi [tex]i[/tex]-ja, mislim da je zato što se jedan kompleksni broj sastoji od dvije (realne i imaginarne) komponente, ali nisam sigurna.)[/quote]
Ovdje opet "čarobiraš". Razlog zbog kojeg piše [tex]\mathbb{C}^{2n}[/tex] je to što je za ovaj zadatak bitno da radimo s n-torkama s parnim brojem koordinata, ili drugačije rečeno s 2n-torkama. OK?
[quote]je li K potprostor realnog ili kompleksnog v. p. [tex]\mathbb{C}^{2n}?[/tex][/quote]
E, ovo je prvo pitanje koje trebaš postaviti! Ako ti se ovakvo nešto pojavi na kolokviju odmah pitaj dežurnog asistenta za pojašnjenje.
Zanimljivo je da u ovom slučaju situacija jasna čak i bez dodatnog pojašnjenja.
Ajmo sad krenuti u rješavanje zadatka u obje varijante, pa da vidimo što se dogodi.
[b]Varijata 1:[/b] [tex]\mathbb{C}^{2n}[/tex] promatramo kao vektorski prostor nad poljem [tex]\mathbb{C}[/tex].
Promotrimo specijalni slučaj kada je [i]n = 1[/i]. Tada je [tex]K = \{(z,\overline{z}) \mid z \in \mathbb{C}\}[/tex].
Uočimo da je [tex](1,1)\in K[/tex] (jer je [tex]\overline{1} = 1[/tex]), ali [tex]i\cdot(1,1) = (i,i)\not\in K[/tex] (jer je [tex]\overline{i} = -i \neq i[/tex]). Iz ovoga slijedi da [i]K[/i] [b]nije[/b] vektorski prostor nad [tex]\mathbb{C}[/tex], što znači da pitanje dimenzije i direktnog komplementa od [i]K[/i] nema smisla.
[b]Varijata 2:[/b] [tex]\mathbb{C}^{2n}[/tex] promatramo kao vektorski prostor nad poljem [tex]\mathbb{R}[/tex].
Iz definicije potprostora K, očito je [tex]K = \{(x_1+y_1i, x_1-y_1i, x_2+y2_i, x_2-y_2i,\ldots, x_n+y_ni, x_n-y_ni) \mid x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n \in \mathbb{R}\}[/tex].
Sada je lako vidjeti da se svaki element prostora K može prikazati kao [tex]x_1(1,1,0,\ldots,0) + y_1(i,-i,0,\ldots,0)+ x_2(0,0,1,1,0,\ldots,0) + y_2(0,0,i,-i,0,\ldots,0) + \cdots + x_{n-1}(0,\ldots0,1,1,0,0) + y_{n-1}(0,\ldots0,i,-i,0,0) + x_n(0,\ldots,0,1,1) + y_n(0,\ldots,0,i,-i)[/tex].
Lako je vidjeti da je [tex]\{(1,1,0,\ldots,0),(i,-i,0,\ldots,0),(0,0,1,1,0,\ldots,0),(0,0,i,-i,0,\ldots,0),\ldots,(0,\ldots0,1,1,0,0),(0,\ldots0,i,-i,0,0),(0,\ldots,0,1,1),(0,\ldots,0,i,-i)\}[/tex] linearno nezavisan sustav izvodnica za [i]K[/i] (ovdje je bitno da nam skalari smiju biti samo realni brojevi!). Prema tome, našli smo bazu i vidmo da je dimenzija od [i]K[/i] jednaka [i]2n[/i].
Za ostatak zadatka treba samo nadopuniti pronađenu bazu do baze od [tex]\mathbb{C}^{2n}[/tex]
| krilo (napisa): | | mene najviše smete misao da ću, ako krenem nekim logičnim putem, doći do nelogičnog rješenja |
 To je upravo suprotno od onoga kako logika funkcionira!
| Citat: | | Dan je potprostor [tex]K=\{ (z_1,z_2,...,z_{2n}) \in \mathbb{C}^{2n} : z_{2k-1}-\overline{z_{2k}}=0,\ k=1,...,n \}[/tex], traže se dimenzija, baza i baza dir. komplementa. |
| Citat: | | Zašto [tex]\mathbb{C}^{2n}[/tex], a ne na klasičnu n-tu? (Pretpostavljam da je nešto u vezi [tex]i[/tex]-ja, mislim da je zato što se jedan kompleksni broj sastoji od dvije (realne i imaginarne) komponente, ali nisam sigurna.) |
Ovdje opet "čarobiraš". Razlog zbog kojeg piše [tex]\mathbb{C}^{2n}[/tex] je to što je za ovaj zadatak bitno da radimo s n-torkama s parnim brojem koordinata, ili drugačije rečeno s 2n-torkama. OK?
| Citat: | | je li K potprostor realnog ili kompleksnog v. p. [tex]\mathbb{C}^{2n}?[/tex] |
E, ovo je prvo pitanje koje trebaš postaviti! Ako ti se ovakvo nešto pojavi na kolokviju odmah pitaj dežurnog asistenta za pojašnjenje.
Zanimljivo je da u ovom slučaju situacija jasna čak i bez dodatnog pojašnjenja.
Ajmo sad krenuti u rješavanje zadatka u obje varijante, pa da vidimo što se dogodi.
Varijata 1: [tex]\mathbb{C}^{2n}[/tex] promatramo kao vektorski prostor nad poljem [tex]\mathbb{C}[/tex].
Promotrimo specijalni slučaj kada je n = 1. Tada je [tex]K = \{(z,\overline{z}) \mid z \in \mathbb{C}\}[/tex].
Uočimo da je [tex](1,1)\in K[/tex] (jer je [tex]\overline{1} = 1[/tex]), ali [tex]i\cdot(1,1) = (i,i)\not\in K[/tex] (jer je [tex]\overline{i} = -i \neq i[/tex]). Iz ovoga slijedi da K nije vektorski prostor nad [tex]\mathbb{C}[/tex], što znači da pitanje dimenzije i direktnog komplementa od K nema smisla.
Varijata 2: [tex]\mathbb{C}^{2n}[/tex] promatramo kao vektorski prostor nad poljem [tex]\mathbb{R}[/tex].
Iz definicije potprostora K, očito je [tex]K = \{(x_1+y_1i, x_1-y_1i, x_2+y2_i, x_2-y_2i,\ldots, x_n+y_ni, x_n-y_ni) \mid x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n \in \mathbb{R}\}[/tex].
Sada je lako vidjeti da se svaki element prostora K može prikazati kao [tex]x_1(1,1,0,\ldots,0) + y_1(i,-i,0,\ldots,0)+ x_2(0,0,1,1,0,\ldots,0) + y_2(0,0,i,-i,0,\ldots,0) + \cdots + x_{n-1}(0,\ldots0,1,1,0,0) + y_{n-1}(0,\ldots0,i,-i,0,0) + x_n(0,\ldots,0,1,1) + y_n(0,\ldots,0,i,-i)[/tex].
Lako je vidjeti da je [tex]\{(1,1,0,\ldots,0),(i,-i,0,\ldots,0),(0,0,1,1,0,\ldots,0),(0,0,i,-i,0,\ldots,0),\ldots,(0,\ldots0,1,1,0,0),(0,\ldots0,i,-i,0,0),(0,\ldots,0,1,1),(0,\ldots,0,i,-i)\}[/tex] linearno nezavisan sustav izvodnica za K (ovdje je bitno da nam skalari smiju biti samo realni brojevi!). Prema tome, našli smo bazu i vidmo da je dimenzija od K jednaka 2n.
Za ostatak zadatka treba samo nadopuniti pronađenu bazu do baze od [tex]\mathbb{C}^{2n}[/tex]
_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
|
|
| [Vrh] |
|
krilo
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol:
|
| Postano: 22:31 ned, 5. 2. 2017 Naslov: |
|
|
|
[quote="mdoko"] Zanimljivo je da u ovom slučaju situacija jasna čak i bez dodatnog pojašnjenja. [/quote]
A ključ za instant-odgovor je? :lol: Mislim, zadatak u punini ima podzadatak pod a) gdje se pita je li K potprostor realnog, a pod b) kompleksnog v. p. [tex]C^{2n}[/tex] (te na oba piše nastavak "ako jest, odredite bazu itd."), pa mi je bilo nejasno kako da odmah znam koji od ta dva trebam riješiti, a za koji i s kojim objašnjenjem trebam reći da nije *to*.
[quote] (ovdje je bitno da nam skalari smiju biti samo realni brojevi!) [/quote]
E to te pitam... non-stop mi se motalo po glavi da bi se taj [tex]i[/tex] mogao izlučiti iz npr. [tex](i, -i, 0,...,0)[/tex], i tu bi stala i lupala glavom... :wall: Ali, ako su skalari ograničeni na realne brojeve, onda je to druga priča. (That's the explanation I needed! :D )
Da dovršim zadatak, bazu bi se moglo nadopuniti vektorima [tex] (0,1,0,0,...),\ (0,i,0,0...), (0,0,0, 1,...), (0,0,0,i,...),...,(0,...,0,0,1), (0,...,0,i)[/tex]? (Tako da kombinacijom ovih i onih mogu dobiti jedinične vektore.)
| mdoko (napisa): | | Zanimljivo je da u ovom slučaju situacija jasna čak i bez dodatnog pojašnjenja. |
A ključ za instant-odgovor je?  Mislim, zadatak u punini ima podzadatak pod a) gdje se pita je li K potprostor realnog, a pod b) kompleksnog v. p. [tex]C^{2n}[/tex] (te na oba piše nastavak "ako jest, odredite bazu itd."), pa mi je bilo nejasno kako da odmah znam koji od ta dva trebam riješiti, a za koji i s kojim objašnjenjem trebam reći da nije *to*.
| Citat: | | (ovdje je bitno da nam skalari smiju biti samo realni brojevi!) |
E to te pitam... non-stop mi se motalo po glavi da bi se taj [tex]i[/tex] mogao izlučiti iz npr. [tex](i, -i, 0,...,0)[/tex], i tu bi stala i lupala glavom...  Ali, ako su skalari ograničeni na realne brojeve, onda je to druga priča. (That's the explanation I needed!  )
Da dovršim zadatak, bazu bi se moglo nadopuniti vektorima [tex] (0,1,0,0,...),\ (0,i,0,0...), (0,0,0, 1,...), (0,0,0,i,...),...,(0,...,0,0,1), (0,...,0,i)[/tex]? (Tako da kombinacijom ovih i onih mogu dobiti jedinične vektore.)
|
|
| [Vrh] |
|
mdoko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol:
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
|
| Postano: 3:35 pon, 6. 2. 2017 Naslov: |
|
|
|
[quote="krilo"][quote="mdoko"] Zanimljivo je da u ovom slučaju situacija jasna čak i bez dodatnog pojašnjenja. [/quote]
A ključ za instant-odgovor je? :lol: Mislim, zadatak u punini ima podzadatak pod a) gdje se pita je li K potprostor realnog, a pod b) kompleksnog v. p. [tex]C^{2n}[/tex] (te na oba piše nastavak "ako jest, odredite bazu itd."), pa mi je bilo nejasno kako da odmah znam koji od ta dva trebam riješiti, a za koji i s kojim objašnjenjem trebam reći da nije *to*.
[/quote]
Nema nikakvog ključa za instant odgovor. Kreneš se igrati sa zadatkom, pa vidiš šta se događa. Probaš nešto dokazati, pa ne ide. Onda probaš s par primjera, pa možda naletiš na kontraprimjer. Neuspjeli pokušaji dokazivanja ti obično daju ideju kakve primjere da uzimaš...
Uglavnom, nema neke procedure koja bi uvijek riješila problem.
[quote]Da dovršim zadatak, bazu bi se moglo nadopuniti vektorima [tex] (0,1,0,0,...),\ (0,i,0,0...), (0,0,0, 1,...), (0,0,0,i,...),...,(0,...,0,0,1), (0,...,0,i)[/tex]? (Tako da kombinacijom ovih i onih mogu dobiti jedinične vektore.)[/quote]
Koliko ja vidim, to je dobro. Nisam gledao u detalje da li ovaj skup u uniji s bazom potprostora [i]K[/i] is mog prethodnog posta daje linearno nezavisan skup, ali ako i nije, na dobrom si putu.
| krilo (napisa): | | mdoko (napisa): | | Zanimljivo je da u ovom slučaju situacija jasna čak i bez dodatnog pojašnjenja. |
A ključ za instant-odgovor je? Mislim, zadatak u punini ima podzadatak pod a) gdje se pita je li K potprostor realnog, a pod b) kompleksnog v. p. [tex]C^{2n}[/tex] (te na oba piše nastavak "ako jest, odredite bazu itd."), pa mi je bilo nejasno kako da odmah znam koji od ta dva trebam riješiti, a za koji i s kojim objašnjenjem trebam reći da nije *to*.
|
Nema nikakvog ključa za instant odgovor. Kreneš se igrati sa zadatkom, pa vidiš šta se događa. Probaš nešto dokazati, pa ne ide. Onda probaš s par primjera, pa možda naletiš na kontraprimjer. Neuspjeli pokušaji dokazivanja ti obično daju ideju kakve primjere da uzimaš...
Uglavnom, nema neke procedure koja bi uvijek riješila problem.
| Citat: | | Da dovršim zadatak, bazu bi se moglo nadopuniti vektorima [tex] (0,1,0,0,...),\ (0,i,0,0...), (0,0,0, 1,...), (0,0,0,i,...),...,(0,...,0,0,1), (0,...,0,i)[/tex]? (Tako da kombinacijom ovih i onih mogu dobiti jedinične vektore.) |
Koliko ja vidim, to je dobro. Nisam gledao u detalje da li ovaj skup u uniji s bazom potprostora K is mog prethodnog posta daje linearno nezavisan skup, ali ako i nije, na dobrom si putu.
_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
|
|
| [Vrh] |
|
coucou
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 06. 2016. (23:11:36)
Postovi: (7)16
|
|
| [Vrh] |
|
krilo
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol:
|
| Postano: 23:15 pet, 10. 2. 2017 Naslov: |
|
|
|
Nisam sigurna da ide; bila sam rješavala istu determinantu, ali sam ju išla razvijati po zadnjem retku, pa stupcu, pa retku, stupcu... dok nisam došla do neke analogije, ali bez nekog konkretnog zaključka :nuts2: :noidea:
Što se tiče rekurzivnih determinanti, ne znam što bih ti mogla reći, a da nije rečeno na vježbama (bar kod mene), ali ti mogu to malo detaljnije obrazložiti. Poanta je u tome da determinantu n-tog reda razvijamo dvaput (ne doslovno, s obzirom da kad ju jednom razvijemo, nije to više ista matrica), čime ćemo dobiti dvije determinante n-1. reda, potom jednu n-1. i jednu n-2. reda. Dakle, prvi bi korak bio razviti determinantu n-tog reda (Dn) tako da prva od one dvije determinante koje ćemo razvitkom dobiti bude trokutasta, a da drugoj treba još jedan razvoj da postane trokutasta. Znači, [tex]D_n=pD_{n-1}+kG_{n-1}[/tex] gdje su p i k neki izrazi ovisni o n ili neki elementi iz R. [tex]D_{n-1}[/tex] bi trebala biti u trokutastom obliku, a G bi trebalo razviti još jednom do trokutastog oblika tako da "izgledom" [tex]D_{n-1}[/tex] i [tex]G_{n-2}[/tex] budu iste. (Tako sam ja to shvatila.) Sada kada su one izgledom iste, uzmemo da su [tex]D_n,\ D_{n-1}[/tex] i [tex]G_{n-2}[/tex] "jednake" (uzmemo npr. varijablu x) pa imamo jednadžbu (stupanj ovisi o indeksu, Dn je drugog stupnja, [tex]D_{n-2}[/tex] slobodni član): [tex]x^2=p \cdot x+k.[/tex] Iz te jednadžbe izračunamo a i b (rješenja jdbe), a iz početne determinante [tex]D_1[/tex] i [tex]D_2[/tex] (determinante prvog i drugog reda, skroz gore u kutu ili skroz dolje, ovisno kako razvijaš). Tada pogledaš kako ide formula kada su a i b isti, a kako kada su različiti, uvrstiš i to je to.
U globalu je to to. Tak sam ja to shvatila, ako netko ima primjedbi, nek me ispravi, bit će mi drago :D
Nisam sigurna da ide; bila sam rješavala istu determinantu, ali sam ju išla razvijati po zadnjem retku, pa stupcu, pa retku, stupcu... dok nisam došla do neke analogije, ali bez nekog konkretnog zaključka  
Što se tiče rekurzivnih determinanti, ne znam što bih ti mogla reći, a da nije rečeno na vježbama (bar kod mene), ali ti mogu to malo detaljnije obrazložiti. Poanta je u tome da determinantu n-tog reda razvijamo dvaput (ne doslovno, s obzirom da kad ju jednom razvijemo, nije to više ista matrica), čime ćemo dobiti dvije determinante n-1. reda, potom jednu n-1. i jednu n-2. reda. Dakle, prvi bi korak bio razviti determinantu n-tog reda (Dn) tako da prva od one dvije determinante koje ćemo razvitkom dobiti bude trokutasta, a da drugoj treba još jedan razvoj da postane trokutasta. Znači, [tex]D_n=pD_{n-1}+kG_{n-1}[/tex] gdje su p i k neki izrazi ovisni o n ili neki elementi iz R. [tex]D_{n-1}[/tex] bi trebala biti u trokutastom obliku, a G bi trebalo razviti još jednom do trokutastog oblika tako da "izgledom" [tex]D_{n-1}[/tex] i [tex]G_{n-2}[/tex] budu iste. (Tako sam ja to shvatila.) Sada kada su one izgledom iste, uzmemo da su [tex]D_n,\ D_{n-1}[/tex] i [tex]G_{n-2}[/tex] "jednake" (uzmemo npr. varijablu x) pa imamo jednadžbu (stupanj ovisi o indeksu, Dn je drugog stupnja, [tex]D_{n-2}[/tex] slobodni član): [tex]x^2=p \cdot x+k.[/tex] Iz te jednadžbe izračunamo a i b (rješenja jdbe), a iz početne determinante [tex]D_1[/tex] i [tex]D_2[/tex] (determinante prvog i drugog reda, skroz gore u kutu ili skroz dolje, ovisno kako razvijaš). Tada pogledaš kako ide formula kada su a i b isti, a kako kada su različiti, uvrstiš i to je to.
U globalu je to to. Tak sam ja to shvatila, ako netko ima primjedbi, nek me ispravi, bit će mi drago
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: 
|
| Postano: 23:15 pet, 10. 2. 2017 Naslov: |
|
|
|
Izracunaj tu determinantu za n=1,2,3,4. Uvjeri se da kada je n paran, onda determinanta uvijek sadrzi linearno zavisne retke (npr. elementarnim transformaciama koje ne mijenjaju vrijednost determinante) pa je stoga jednaka 0.
Sada to dokazi indukcijom za paran n (znaci korak ti nije n+1 nego n+2).
Kada je n neparan, uvjeri se da je determinanta ekvivalentna determinanti sacinjenoj od blok matrica oblika [tex](2k-1)^2 \cdot J[/tex] gdje je [tex]J=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}[/tex].
Onda, ako je n=2m-1, determinanta matrice biti ce [tex](-1)\cdot(-9)\cdot(-25)\cdot \cdots\cdot (-(2m-1)^2)=\Pi_{j=1}^m( -(2j-1)^2)[/tex].
Izracunaj tu determinantu za n=1,2,3,4. Uvjeri se da kada je n paran, onda determinanta uvijek sadrzi linearno zavisne retke (npr. elementarnim transformaciama koje ne mijenjaju vrijednost determinante) pa je stoga jednaka 0.
Sada to dokazi indukcijom za paran n (znaci korak ti nije n+1 nego n+2).
Kada je n neparan, uvjeri se da je determinanta ekvivalentna determinanti sacinjenoj od blok matrica oblika [tex](2k-1)^2 \cdot J[/tex] gdje je [tex]J=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}[/tex].
Onda, ako je n=2m-1, determinanta matrice biti ce [tex](-1)\cdot(-9)\cdot(-25)\cdot \cdots\cdot (-(2m-1)^2)=\Pi_{j=1}^m( -(2j-1)^2)[/tex].
_________________
The Dude Abides
|
|
| [Vrh] |
|
coucou
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 06. 2016. (23:11:36)
Postovi: (7)16
|
|
| [Vrh] |
|
krilo
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol:
|
| Postano: 23:46 pon, 13. 2. 2017 Naslov: Dokaz potprostornosti |
|
|
|
Popravni 2012., 5. zadatak: Za matricu [tex]A \in M_2(R)[/tex] definiramo njen [i]komutant[/i] [tex]C(A)[/tex] u [tex] M_2(R)[/tex] s [tex]C(A) := \{X ∈ M_2(R) : AX = XA \}.[/tex] Treba dokazati da je [tex]C(A)[/tex] potprostor od [tex]M_2(R).[/tex]
Znam da je dokaz neka krajnja banalnost, ali eto takve ne znam dokazat. Teoretski, treba dokazati da je skup zatvoren na linearne kombinacije svojih vektora. Trebam li onda uzeti neke proizvoljne [tex]A,\ B,\ X_1,\ X_2[/tex] takve da vrijedi [tex]\alpha AX_1= \alpha X_1A[/tex] i [tex]\beta BX_2= \beta X_2B[/tex] pa te jednadžbe oduzeti da dobijem nulvektor koji je element svakog potprostora?
(Btw. koja je šablona za dokazivanje takvih stvari općenito?)
Popravni 2012., 5. zadatak: Za matricu [tex]A \in M_2(R)[/tex] definiramo njen komutant [tex]C(A)[/tex] u [tex] M_2(R)[/tex] s [tex]C(A) := \{X ∈ M_2(R) : AX = XA \}.[/tex] Treba dokazati da je [tex]C(A)[/tex] potprostor od [tex]M_2(R).[/tex]
Znam da je dokaz neka krajnja banalnost, ali eto takve ne znam dokazat. Teoretski, treba dokazati da je skup zatvoren na linearne kombinacije svojih vektora. Trebam li onda uzeti neke proizvoljne [tex]A,\ B,\ X_1,\ X_2[/tex] takve da vrijedi [tex]\alpha AX_1= \alpha X_1A[/tex] i [tex]\beta BX_2= \beta X_2B[/tex] pa te jednadžbe oduzeti da dobijem nulvektor koji je element svakog potprostora?
(Btw. koja je šablona za dokazivanje takvih stvari općenito?)
|
|
| [Vrh] |
|
mdoko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol:
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
|
| Postano: 0:57 uto, 14. 2. 2017 Naslov: Re: Dokaz potprostornosti |
|
|
|
[quote]koja je šablona za dokazivanje takvih stvari općenito?[/quote]
Šablone ne služe ničemu. :ccc: Treba razumjeti što se događa i onda krenuti rješavati zadatak.
[quote="krilo"]Popravni 2012., 5. zadatak: Za matricu [tex]A \in M_2(\mathbb{R})[/tex] definiramo njen [i]komutant[/i] [tex]C(A)[/tex] u [tex] M_2(\mathbb{R})[/tex] s [tex]C(A) := \{X ∈ M_2(\mathbb{R}) : AX = XA \}.[/tex] Treba dokazati da je [tex]C(A)[/tex] potprostor od [tex]M_2(\mathbb{R}).[/tex][/quote]
[quote]Teoretski, treba dokazati da je skup zatvoren na linearne kombinacije svojih vektora.[/quote]
Što ti znači ovo "teoretski"?
Očito znaš za sljedeći teorem:
[b]Teorem (karakterizacija potprostora vektorskog prostora):[/b]
Neka je [tex](V,+,\cdot)[/tex] vektorski prostor nad poljem [tex]\mathbb{F}[/tex], te neka je [tex]M\subseteq V[/tex]. [tex]M[/tex] je potprostor od [tex]V[/tex] ako i samo ako za svake [tex]a,b\in M[/tex] i svake [tex]\alpha, \beta\in\mathbb{F}[/tex] vrijedi [tex]\alpha \cdot a + \beta \cdot b \in M[/tex].
Prema tom teoremu, da bi dokazali da je [i]M[/i] potprostor od [i]V[/i] treba uzeti proizvoljne vektore [i]x[/i] i [i]y[/i] iz [i]M[/i], te proizvoljne skalare [i]a[/i] i [i]b[/i] i dokazati da je [i]ax + by[/i] također iz [i]M[/i].
Konciznije rečeno, treba dokazati da je [i]M[/i] zatvoren na linearne kombinacije. (Ništa teoretski. :wink:)
Sad kad smo se uvjerili da znamo što se događa u općenitoj situaciji, da vidimo što imamo u ovom našem primjeru.
Promatrani vektorski prostor je [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex], nad poljem [tex]\mathbb{R}[/tex].
Treba dokazati da je [tex]C(A) := \{X ∈ M_2(\mathbb{R}) \mid AX = XA \}[/tex] potprostor od [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex], pri čemu je [tex]A[/tex] neka fiksirana matrica. (Riječima, jednom kad fiksiramo matricu [tex]A[/tex], skup svih matrica koje komutiraju s [tex]A[/tex] čini potprostor vektorskog prostora matrica.)
Da bi dokazali da je [tex]C(A)[/tex] potprostor od [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex], treba uzeti proizvoljne [tex]X,Y\in C(A)[/tex] i [tex]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/tex], te dokazati da je [tex]\alpha X + \beta Y \in C(A)[/tex].
Što znači [tex]X,Y\in C(A)[/tex]? Po definiciji od [tex]C(A)[/tex] to znači da je [tex]AX=XA[/tex] i [tex]AY=YA[/tex].
Što točno treba dokazati? Ponovno, iz definicije od [tex]C(A)[/tex] vidimo da treba dokazati da vrijedi [tex](\alpha X + \beta Y)A = A(\alpha X + \beta Y)[/tex].
Sad kad nam je jasno što imamo kao pretpostavke i što trebamo dokazati, možemo krenuti dalje. Krenemo raspisivati lijevu stranu jednakosti koju trebamo dokazati.
[dtex]\begin{array}{r@{}ll}
(\alpha X + \beta Y)A
&= (\alpha X) A + (\beta Y) A\\
&= \alpha (X A) + \beta (Y A) & \text{(Sada iskoristimo da vrijedi $XA = AX$ i $YA = AY$.)}\\
&= \alpha (A X) + \beta (A Y) \\
&= A (\alpha X) + A (\beta Y) \\
&= A (\alpha X + \beta Y)\end{array}[/dtex]
Ovim smo dokazali da je [tex]\alpha X + \beta Y\in C(A)[/tex] za proizvoljne [tex]X,Y\in C(A)[/tex] i [tex]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/tex], što znači da je [tex]C(A)[/tex] potprostor od [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex].
| Citat: | | koja je šablona za dokazivanje takvih stvari općenito? |
Šablone ne služe ničemu.  Treba razumjeti što se događa i onda krenuti rješavati zadatak.
| krilo (napisa): | | Popravni 2012., 5. zadatak: Za matricu [tex]A \in M_2(\mathbb{R})[/tex] definiramo njen komutant [tex]C(A)[/tex] u [tex] M_2(\mathbb{R})[/tex] s [tex]C(A) := \{X ∈ M_2(\mathbb{R}) : AX = XA \}.[/tex] Treba dokazati da je [tex]C(A)[/tex] potprostor od [tex]M_2(\mathbb{R}).[/tex] |
| Citat: | | Teoretski, treba dokazati da je skup zatvoren na linearne kombinacije svojih vektora. |
Što ti znači ovo "teoretski"?
Očito znaš za sljedeći teorem:
Teorem (karakterizacija potprostora vektorskog prostora):
Neka je [tex](V,+,\cdot)[/tex] vektorski prostor nad poljem [tex]\mathbb{F}[/tex], te neka je [tex]M\subseteq V[/tex]. [tex]M[/tex] je potprostor od [tex]V[/tex] ako i samo ako za svake [tex]a,b\in M[/tex] i svake [tex]\alpha, \beta\in\mathbb{F}[/tex] vrijedi [tex]\alpha \cdot a + \beta \cdot b \in M[/tex].
Prema tom teoremu, da bi dokazali da je M potprostor od V treba uzeti proizvoljne vektore x i y iz M, te proizvoljne skalare a i b i dokazati da je ax + by također iz M.
Konciznije rečeno, treba dokazati da je M zatvoren na linearne kombinacije. (Ništa teoretski. )
Sad kad smo se uvjerili da znamo što se događa u općenitoj situaciji, da vidimo što imamo u ovom našem primjeru.
Promatrani vektorski prostor je [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex], nad poljem [tex]\mathbb{R}[/tex].
Treba dokazati da je [tex]C(A) := \{X ∈ M_2(\mathbb{R}) \mid AX = XA \}[/tex] potprostor od [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex], pri čemu je [tex]A[/tex] neka fiksirana matrica. (Riječima, jednom kad fiksiramo matricu [tex]A[/tex], skup svih matrica koje komutiraju s [tex]A[/tex] čini potprostor vektorskog prostora matrica.)
Da bi dokazali da je [tex]C(A)[/tex] potprostor od [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex], treba uzeti proizvoljne [tex]X,Y\in C(A)[/tex] i [tex]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/tex], te dokazati da je [tex]\alpha X + \beta Y \in C(A)[/tex].
Što znači [tex]X,Y\in C(A)[/tex]? Po definiciji od [tex]C(A)[/tex] to znači da je [tex]AX=XA[/tex] i [tex]AY=YA[/tex].
Što točno treba dokazati? Ponovno, iz definicije od [tex]C(A)[/tex] vidimo da treba dokazati da vrijedi [tex](\alpha X + \beta Y)A = A(\alpha X + \beta Y)[/tex].
Sad kad nam je jasno što imamo kao pretpostavke i što trebamo dokazati, možemo krenuti dalje. Krenemo raspisivati lijevu stranu jednakosti koju trebamo dokazati.
[dtex]\begin{array}{r@{}ll}
(\alpha X + \beta Y)A
&= (\alpha X) A + (\beta Y) A\\
&= \alpha (X A) + \beta (Y A) & \text{(Sada iskoristimo da vrijedi $XA = AX$ i $YA = AY$.)}\\
&= \alpha (A X) + \beta (A Y) \\
&= A (\alpha X) + A (\beta Y) \\
&= A (\alpha X + \beta Y)\end{array}[/dtex]
Ovim smo dokazali da je [tex]\alpha X + \beta Y\in C(A)[/tex] za proizvoljne [tex]X,Y\in C(A)[/tex] i [tex]\alpha,\beta\in\mathbb{R}[/tex], što znači da je [tex]C(A)[/tex] potprostor od [tex]M_2(\mathbb{R})[/tex].
_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
|
|
| [Vrh] |
|
krilo
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 11. 2016. (14:45:48)
Postovi: (4E)16
Spol:
|
| Postano: 15:21 uto, 14. 2. 2017 Naslov: Re: Dokaz potprostornosti |
|
|
|
[quote]Ponovno, iz definicije od [tex]C(A)[/tex] vidimo da treba dokazati da vrijedi [tex](\alpha X + \beta Y)A = A(\alpha X + \beta Y)[/tex].[/quote]
E baš tu zapnem svaki puta; svaki puta zaboravim da je [tex] \alpha X + \beta Y[/tex] isto vektor :joooj:
Zapela sam za još jedan "kompleksni" zadatak (prvi kolokvij 2009.):
Je li skup [tex]A = \{ (x_1, x_2, x_3) \in C^3: Re x_1 = Im x_2 = − Re x_3, \ Im x_1 = − Re x_2 = − Im x_3 \}[/tex] potprostor kompleksnog vektorskog prostora [tex]C^3[/tex]? Ako jest, odredite mu dimenziju i neku bazu.
Sređivanjem uvjeta dobijem da je [tex](x_1, x_2, x_3)=( x+yi,-y+xi,-x-yi ).[/tex] gdje su [tex]x,y \in R[/tex]. Pošla sam prvo za dokazom da je potprostor; uzela sam dva vektora takvog tipa, uzela skalare [tex]\alpha, \beta[/tex] i kad sam to sredila po pravilu zbrajanja vektora, dobije se da to je potprostor. S obzirom da se pita za kompleksnost potprostora, pomnožila sam član s [tex]i[/tex] (da vidim hoće li se oblik promijeniti), pa se opet dobije da je sve u redu.
Što se tiče traženja baze, rastavila sam član ovako: [dtex] ( x+yi,-y+xi,-x-yi )= (x,-y,-x)+(y,x,-y)i = x(1,0,-1)+y(0,-1,0)+y(i,0,-i)+x(0,i,0)[/dtex]
Je li to dobar rastav i jesu li to onda dobri vektori za bazu s dimenzijom 4 (ili se taj [tex]i[/tex] još može izlučiti zbog kompleksnosti potprostora pa imamo bazu dimenzije 2)?
| Citat: | | Ponovno, iz definicije od [tex]C(A)[/tex] vidimo da treba dokazati da vrijedi [tex](\alpha X + \beta Y)A = A(\alpha X + \beta Y)[/tex]. |
E baš tu zapnem svaki puta; svaki puta zaboravim da je [tex] \alpha X + \beta Y[/tex] isto vektor 
Zapela sam za još jedan "kompleksni" zadatak (prvi kolokvij 2009.):
Je li skup [tex]A = \{ (x_1, x_2, x_3) \in C^3: Re x_1 = Im x_2 = − Re x_3, \ Im x_1 = − Re x_2 = − Im x_3 \}[/tex] potprostor kompleksnog vektorskog prostora [tex]C^3[/tex]? Ako jest, odredite mu dimenziju i neku bazu.
Sređivanjem uvjeta dobijem da je [tex](x_1, x_2, x_3)=( x+yi,-y+xi,-x-yi ).[/tex] gdje su [tex]x,y \in R[/tex]. Pošla sam prvo za dokazom da je potprostor; uzela sam dva vektora takvog tipa, uzela skalare [tex]\alpha, \beta[/tex] i kad sam to sredila po pravilu zbrajanja vektora, dobije se da to je potprostor. S obzirom da se pita za kompleksnost potprostora, pomnožila sam član s [tex]i[/tex] (da vidim hoće li se oblik promijeniti), pa se opet dobije da je sve u redu.
Što se tiče traženja baze, rastavila sam član ovako: [dtex] ( x+yi,-y+xi,-x-yi )= (x,-y,-x)+(y,x,-y)i = x(1,0,-1)+y(0,-1,0)+y(i,0,-i)+x(0,i,0)[/dtex]
Je li to dobar rastav i jesu li to onda dobri vektori za bazu s dimenzijom 4 (ili se taj [tex]i[/tex] još može izlučiti zbog kompleksnosti potprostora pa imamo bazu dimenzije 2)?
Zadnja promjena: krilo; 16:04 uto, 14. 2. 2017; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
| [Vrh] |
|
goranm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol:
|
| Postano: 15:50 uto, 14. 2. 2017 Naslov: |
|
|
|
Ako mozes izluciti [i]i[/i] (sto svakako mozes), onda to i napravi! Prostor C^3 smatra se vektorskim prostorom nad C (osim ako nije naznaceno drugacije), tako da na dimenziju moras gledati kao na kompleksnu dimenziju (skakati iz realne u kompleksnu dimenziju i obratno generalno nije pozeljno - lako se mozes izgubiti i izvuci pogresne zakljucke).
Sto se tice tvog rastava, u trecoj koordinati za (x1,x2,x3) trebas imati -x-yi, jer je -Im(x3)=Im(x1)=y. Kasnije si minus naknadno ubacila kod rastava (x3=-x+yi si rastavila kao -x + (-y)i) pa sve ispada OK, ali ako cemo biti pedantni, dva puta si krivi predznak stavila, pa su se slucajno dvije pogreske pokratile.
Ako mozes izluciti i (sto svakako mozes), onda to i napravi! Prostor C^3 smatra se vektorskim prostorom nad C (osim ako nije naznaceno drugacije), tako da na dimenziju moras gledati kao na kompleksnu dimenziju (skakati iz realne u kompleksnu dimenziju i obratno generalno nije pozeljno - lako se mozes izgubiti i izvuci pogresne zakljucke).
Sto se tice tvog rastava, u trecoj koordinati za (x1,x2,x3) trebas imati -x-yi, jer je -Im(x3)=Im(x1)=y. Kasnije si minus naknadno ubacila kod rastava (x3=-x+yi si rastavila kao -x + (-y)i) pa sve ispada OK, ali ako cemo biti pedantni, dva puta si krivi predznak stavila, pa su se slucajno dvije pogreske pokratile.
_________________
The Dude Abides
|
|
| [Vrh] |
|
|
