Zadata (2 Razred srednje skole) (zadatak)

[pjero_2001]

Dokažite da su korjeni jednadžba ax2+bx+c=0 i cx2+bx+a=0 recipročni. Za a i c različito od 0.

[pjero_2001]

U knjizi piše rješenje. Ako su x1 i x2 rješenja prve a y1 i y2 druge jednadžbe. Pokaži da je x1y2=y1x2=1 . Može li mi netko objasnit kako doći do toga.

[Melkor]

Malo je cudno srocen zadatak. Jesi siguran da tako pise?

Tocno je da ako je [tex]x_1[/tex] rjesenje jednadzbe [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], onda je [tex]1/x_1[/tex] rjesenje jednadzbe [tex]cx^2+bx+a=0[/tex], i obrnuto. (Zasto? Pa to da je [tex]x_1[/tex] rjesenje prve jednadzbe znaci da vrijedi [tex]ax_1^2+bx_1+c=0[/tex]. S obzirom da je [tex]c\neq 0[/tex], mora biti i [tex]x_1\neq 0[/tex] pa mozemo sve podijeliti s [tex]x_1^2[/tex]. Dobijemo [tex]a+b(1/x_1)+c(1/x_1)^2=0[/tex], no to upravo znaci da je [tex]1/x_1[/tex] rjesenje druge jednadzbe.)

Medjutim, ako su [tex]x_1,x_2[/tex] rjesenja prve jednadzbe i [tex]y_1,y_2[/tex] rjesenja druge jednadzbe, ne znaci da je [tex]y_2=1/x_1[/tex], jer moze biti [tex]y_1=1/x_1[/tex] i [tex]y_1\neq y_2[/tex]. Drugim rijecima, bitno je koje rjesenje nazovemo "prvim", a koje "drugim".

_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.

[pjero_2001]

Dokaži da su korijeni kvadratnih jednadžbi ax²+bx+c=0 i cx²+bx+a=0 međusobno recipročni za sve realne brojeve a, b i c , a≠0 , c≠0.
U rjesenju piše.
Ako su x1 i x2 rjesenja prve a x’1 i x’2 rjesenja druge jednadžbe. Pokaži da je x1×x’2=x’1×x2=1 . To je sada doslovno prepisano iz knjige.

[goranm]

Raspisi x1, x2, y1 i y2 po kvadratnoj formuli i izmnozi x1y2 te x2y1. Izracun u brojniku mozes pojednostaviti ako primijetis da se radi o razlici kvadrata. tj. [tex](m-n)(m+n)=m^2-n^2[/tex].

_________________
The Dude Abides

[pjero_2001]

Hvala