|
Kako je nakon prošlotjednog predavanja postavljeno (vrlo
opravdano) pitanje na temu "Temeljnog teorema" o kolineacijama
(realne) projektivne ravnine, želim malo detaljnije iznijeti
glavne činjenice. Ovdje ću zasad napisati samo nešto ukratko,
a sutra na predavanjima podijeliti jedan opširniji tekst.
Za zainteresirane vrlo preporučljiv je sljedeći izvor, a
a prošle godine bila je to i tema jednog studentskog
seminara:
www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/ProjektiveGeometrieWS0607/chap5.pdf
(Bez brige, na engleskom je, iako je izvor i naslov njemački).
[b]Temeljni teorem o kolineacijama (realne) projektivne ravnine[/b]
Neovisno o tome koje se tvrdnje u različitim izvorima nazivaju “Temeljnim teoremom projektivne geometrije”,
ovdje će se skicirati dokaz ključnog teorema koji nas zanima u slučaju realne projektivne ravnine PG(2, [b]R[/b]):
[b]Teorem.[/b]
Svaka kolineacija realne projektivne ravnine PG(2, [b]R[/b])
inducirana je regularnim linearnim operatorom vektorskog prostora [b]R[/b]3.
Preciznije, puna grupa kolineacija Aut PG(2, [b]R[/b]) izomorfna
je grupi PGL(3,[b]R[/b]), a to je kvocijentna grupa opće linearne grupe
na [b]R[/b]3 po podgrupi skalarnih operatora (različitih od O).
Prvo, rekapitulirajmo ukratko bitne činjenice, počevši od smisla prethodnih iskaza.
Kolineacija ravnine je bijekcija točaka na točke i pravaca
na pravce koja čuva incidenciju, ali nije unaprijed jasno
da bi [i]svaka kolineacija morala ujedno biti projektivna
transformacija ravnine[/i], to jest da se nužno može ostvariti
kao kompozicija perspektiviteta (centralnih projekcija s jedne
ravnine na drugu).
Inače, to općenito i nije istina, ako polje F nad kojim se
promatra projektivna ravnina PG(2, F) nije
polje [b]R[/b] ili bilo koje polje
koje ne ispunjava jedan dodatni uvjet (spomenut će se kasnije).
Sažeto i pojednostavljeno:
u dimenziji 1, za projektivni pravac, znamo da vrijedi
“temeljni teorem” čim vrijede Pappusov teorem i Fanoov aksiom,
a što jest ispunjeno nad poljem [b]R[/b].
U toj situaciji i projektiviteti i bijekcije inducirane
regularnim linearnim operatorima čuvaju dvoomjer te djeluju
strogo 3-tranzitivno (jednoznačno su određeni djelovanjem
na tri različite točke pravca) pa se zapravo podudaraju.
No, u dimenziji 2 pitanje je mora li općenito kolineacija inducirati
baš projektivitet na pravcu, ekvivalentno – čuvati dvoomjer,
a onda, ako je to istina, lako se zaključi da je svaka kolineacija
nužno projektivna transformacija, to jest da se može zadati
regularnim linearnim operatorom.
Uzmimo sad da je φ neka kolineacija projektivne ravnine
PG(2,F), pri čemu je F polje karakteristike različite od 2
(kako bi vrijedio Fanoov aksiom, da dijagonalne točke
potpunog četverovrha nisu kolinearne,
čime je omogućena dobra definicija harmoničke četvorke).
Za tri različite kolinearne točke A, B i C sad je jednoznačno
određena točka D, koja je harmonički pridružena točki C
s obzirom na A i B, u oznaci H(AB;CD).
Ta definicija nam je poznata, a sasvim je očito da
kolineacija čuva harmoničke četvorke, to jest da
ako φ preslikava A, B i C redom u A’, B’ i C’,
onda iz H(AB;CD) slijedi H(A’B’;C’D’). (Čuvanje
incidencije dostatno je za konstrukciju D’,
a jednoznačnost je posljedica Desarguesovog teorema,
koji ovdje vrijedi).
Može se definirati [i]harmoničko preslikavanje[/i] projektivnog
pravca na sebe kao bijekcija koja čuva relaciju harmoniteta,
to jest svaku harmoničku četvorku preslikava u harmoničku četvorku.
Ključna je onda sljedeća tvrdnja:
[i]Harmoničko preslikavanje realnog projektivnog pravca na sebe je projektivitet. [/i]
Na temelju prethodnog izlaganja, jasno je da je ova tvrdnja
dostatna za dokaz temeljnog teorema iskazanog na početku.
Znači, kolineacija PG(2, [b]R[/b]) koja se na pravcima
“ponaša kao projektivitet” nužno je projektivna transformacija ravnine.
Drukčije formulirano, bijekcija na realnom projektivnom pravcu
koja čuva vrijednost dvoomjera -1 (karakterističnu za harmonitet)
čuva svaku vrijednost dvoomjera. Ovaj pristup pokazuje se
dosta elegantnim.
Napomena:
Većina dokaza Temeljnog teorema, zapravo njegove
“pune verzije” (za bilo koje polje, ne samo za [b]R[/b])
prilično je “nezgrapna” jer se iz uvjeta čuvanja incidencije
nekako mora izvesti da kolineacija projektivne ravnine PG(2,F)
inducira linearni ili “barem” semilinearni operator na
vektorskom prostoru F3. Semilinearni operator razlikuje se
od linearnog time što je linearni komponiran s nekim
automorfizmom polja. Kod [b]R[/b] nema te "komplikacije" jer
jedini automorfizam od [b]R[/b] je identički (dok npr. na polju [b]C[/b]
kompleksno konjuguiranje je netrivijalni automorfizam).
Toliko zasad, više na predavanju (ali samo u smislu podjele
pisanog teksta).
Kako je nakon prošlotjednog predavanja postavljeno (vrlo
opravdano) pitanje na temu "Temeljnog teorema" o kolineacijama
(realne) projektivne ravnine, želim malo detaljnije iznijeti
glavne činjenice. Ovdje ću zasad napisati samo nešto ukratko,
a sutra na predavanjima podijeliti jedan opširniji tekst.
Za zainteresirane vrlo preporučljiv je sljedeći izvor, a
a prošle godine bila je to i tema jednog studentskog
seminara:
www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/ProjektiveGeometrieWS0607/chap5.pdf
(Bez brige, na engleskom je, iako je izvor i naslov njemački).
Temeljni teorem o kolineacijama (realne) projektivne ravnine
Neovisno o tome koje se tvrdnje u različitim izvorima nazivaju “Temeljnim teoremom projektivne geometrije”,
ovdje će se skicirati dokaz ključnog teorema koji nas zanima u slučaju realne projektivne ravnine PG(2, R):
Teorem.
Svaka kolineacija realne projektivne ravnine PG(2, R)
inducirana je regularnim linearnim operatorom vektorskog prostora R3.
Preciznije, puna grupa kolineacija Aut PG(2, R) izomorfna
je grupi PGL(3,R), a to je kvocijentna grupa opće linearne grupe
na R3 po podgrupi skalarnih operatora (različitih od O).
Prvo, rekapitulirajmo ukratko bitne činjenice, počevši od smisla prethodnih iskaza.
Kolineacija ravnine je bijekcija točaka na točke i pravaca
na pravce koja čuva incidenciju, ali nije unaprijed jasno
da bi svaka kolineacija morala ujedno biti projektivna
transformacija ravnine, to jest da se nužno može ostvariti
kao kompozicija perspektiviteta (centralnih projekcija s jedne
ravnine na drugu).
Inače, to općenito i nije istina, ako polje F nad kojim se
promatra projektivna ravnina PG(2, F) nije
polje R ili bilo koje polje
koje ne ispunjava jedan dodatni uvjet (spomenut će se kasnije).
Sažeto i pojednostavljeno:
u dimenziji 1, za projektivni pravac, znamo da vrijedi
“temeljni teorem” čim vrijede Pappusov teorem i Fanoov aksiom,
a što jest ispunjeno nad poljem R.
U toj situaciji i projektiviteti i bijekcije inducirane
regularnim linearnim operatorima čuvaju dvoomjer te djeluju
strogo 3-tranzitivno (jednoznačno su određeni djelovanjem
na tri različite točke pravca) pa se zapravo podudaraju.
No, u dimenziji 2 pitanje je mora li općenito kolineacija inducirati
baš projektivitet na pravcu, ekvivalentno – čuvati dvoomjer,
a onda, ako je to istina, lako se zaključi da je svaka kolineacija
nužno projektivna transformacija, to jest da se može zadati
regularnim linearnim operatorom.
Uzmimo sad da je φ neka kolineacija projektivne ravnine
PG(2,F), pri čemu je F polje karakteristike različite od 2
(kako bi vrijedio Fanoov aksiom, da dijagonalne točke
potpunog četverovrha nisu kolinearne,
čime je omogućena dobra definicija harmoničke četvorke).
Za tri različite kolinearne točke A, B i C sad je jednoznačno
određena točka D, koja je harmonički pridružena točki C
s obzirom na A i B, u oznaci H(AB;CD).
Ta definicija nam je poznata, a sasvim je očito da
kolineacija čuva harmoničke četvorke, to jest da
ako φ preslikava A, B i C redom u A’, B’ i C’,
onda iz H(AB;CD) slijedi H(A’B’;C’D’). (Čuvanje
incidencije dostatno je za konstrukciju D’,
a jednoznačnost je posljedica Desarguesovog teorema,
koji ovdje vrijedi).
Može se definirati harmoničko preslikavanje projektivnog
pravca na sebe kao bijekcija koja čuva relaciju harmoniteta,
to jest svaku harmoničku četvorku preslikava u harmoničku četvorku.
Ključna je onda sljedeća tvrdnja:
Harmoničko preslikavanje realnog projektivnog pravca na sebe je projektivitet.
Na temelju prethodnog izlaganja, jasno je da je ova tvrdnja
dostatna za dokaz temeljnog teorema iskazanog na početku.
Znači, kolineacija PG(2, R) koja se na pravcima
“ponaša kao projektivitet” nužno je projektivna transformacija ravnine.
Drukčije formulirano, bijekcija na realnom projektivnom pravcu
koja čuva vrijednost dvoomjera -1 (karakterističnu za harmonitet)
čuva svaku vrijednost dvoomjera. Ovaj pristup pokazuje se
dosta elegantnim.
Napomena:
Većina dokaza Temeljnog teorema, zapravo njegove
“pune verzije” (za bilo koje polje, ne samo za R)
prilično je “nezgrapna” jer se iz uvjeta čuvanja incidencije
nekako mora izvesti da kolineacija projektivne ravnine PG(2,F)
inducira linearni ili “barem” semilinearni operator na
vektorskom prostoru F3. Semilinearni operator razlikuje se
od linearnog time što je linearni komponiran s nekim
automorfizmom polja. Kod R nema te "komplikacije" jer
jedini automorfizam od R je identički (dok npr. na polju C
kompleksno konjuguiranje je netrivijalni automorfizam).
Toliko zasad, više na predavanju (ali samo u smislu podjele
pisanog teksta).
|
