|
Na predavanju je navedena, a kasnije i primijenjena za
dokaz važnog teorema, formula za dvoomjer četvorke pravaca
koja nije dokazana.
(U knjizi D. Palmana "Projektivna geometrija" to je Zadatak 42.
na str. 157, glavna primjena je u dokazu Steinerovog teorema
na str. 178).
Ovdje ću navesti skicu dokaza. Taj nije sasvim lagan ako
se računu ne pristupi na pravi način pa je radi potpunosti
ipak bolje ne preskočiti izvod.
Tvrdnja: Neka su X, A, B, C i D točke u projektivnoj
ravnini PG(2,[b]R[/b]), takve da su nikoje tri od njih
nisu kolinearne. Pritom je svaka od točaka zadana svojim
homogenim koordinatama: X = (x0:x1:x2) i analogno
ostale.
Označimo s det([b]x[/b],[b]a[/b],[b]c[/b]) determinantu 3. reda
čiji su retci redom
x0 x1 x2,
a0 a1 a2,
c0 c1 c2 (analogno za ostale trojke).
Tada je dvoomjer četvorke pravaca R(XA,XB;XC,XD) =
( det([b]x[/b],[b]a[/b],[b]c[/b])) / det([b]x[/b],[b]b[/b],[b]c[/b]) ):
( det([b]x[/b],[b]a[/b],[b]d[/b])) / det([b]x[/b],[b]b[/b],[b]d[/b])).
Struktura formule je "prepoznatljiva", ali dosad nismo imali
baš takav oblik s determinantama reda 3.
Uočimo da su sve navedene determinante
različite od 0 zbog uvjeta nekolinearnosti po 3 točke.
Izračunat ćemo traženi dvoomjer kao dvoomjer presječne
četvorke točaka: R(A,B; C',D') pri čemu su C' i D' sjecišta
pravca AB s XC, odnosno XD.
U parametrizaciji na pravcu AB, točke A i B imaju
homogene koordinate (1:0) i (0:1), dakle trebamo izraziti
C' i D' kao linearne kombinacije A i B.
Sad se sve može lako izvesti pomoću vektorsko-vektorskog
produkta i poznatih formula za njegov rastav.
Kako je C' sjecište AB i XC, možemo vektor homogenih
koordinata od C' izraziti kao [b]c'[/b] = ([b]a[/b] x [b]b[/b]) x ([b]x[/b] x [b]c[/b]),
jer je det ([b]a[/b],[b]b[/b],[b]c'[/b]) = det ([b]x[/b],[b]c[/b],[b]c'[/b]) = 0 pa je [b]c'[/b] ortogonalan
i na [b]a[/b] x [b]b[/b] i na [b]x[/b] x [b]c[/b].
(Ovo je ključni korak. Determinante su jednake 0, dakako,
zbog kolinearnosti odgovarajućih točaka).
Rastavom vektorsko-vektorskog produkta po poznatoj formuli
dobivamo:
[b]c[/b]' = det ([b]x[/b],[b]b[/b],[b]c[/b]) [b]a[/b] + det([b]x[/b],[b]a[/b],[b]c[/b]) [b]b[/b]
i analogno sve za [b]d'[/b] (samo se [b]c[/b] zamijeni s [b]d[/b]).
(U ovom računu determinante se pojavljuju kao "mješoviti"
produkti, vektorsko-skalarni ([b]x[/b] x [b]a[/b])[b]c[/b] itd).
Preostaje samo uvrstiti homogene koordinate u osnovnu
formulu za dvoomjer pa se lako dobije tražena formula.
Na predavanju je navedena, a kasnije i primijenjena za
dokaz važnog teorema, formula za dvoomjer četvorke pravaca
koja nije dokazana.
(U knjizi D. Palmana "Projektivna geometrija" to je Zadatak 42.
na str. 157, glavna primjena je u dokazu Steinerovog teorema
na str. 178).
Ovdje ću navesti skicu dokaza. Taj nije sasvim lagan ako
se računu ne pristupi na pravi način pa je radi potpunosti
ipak bolje ne preskočiti izvod.
Tvrdnja: Neka su X, A, B, C i D točke u projektivnoj
ravnini PG(2,R), takve da su nikoje tri od njih
nisu kolinearne. Pritom je svaka od točaka zadana svojim
homogenim koordinatama: X = (x0:x1:x2) i analogno
ostale.
Označimo s det(x,a,c) determinantu 3. reda
čiji su retci redom
x0 x1 x2,
a0 a1 a2,
c0 c1 c2 (analogno za ostale trojke).
Tada je dvoomjer četvorke pravaca R(XA,XB;XC,XD) =
( det(x,a,c)) / det(x,b,c) ):
( det(x,a,d)) / det(x,b,d)).
Struktura formule je "prepoznatljiva", ali dosad nismo imali
baš takav oblik s determinantama reda 3.
Uočimo da su sve navedene determinante
različite od 0 zbog uvjeta nekolinearnosti po 3 točke.
Izračunat ćemo traženi dvoomjer kao dvoomjer presječne
četvorke točaka: R(A,B; C',D') pri čemu su C' i D' sjecišta
pravca AB s XC, odnosno XD.
U parametrizaciji na pravcu AB, točke A i B imaju
homogene koordinate (1:0) i (0:1), dakle trebamo izraziti
C' i D' kao linearne kombinacije A i B.
Sad se sve može lako izvesti pomoću vektorsko-vektorskog
produkta i poznatih formula za njegov rastav.
Kako je C' sjecište AB i XC, možemo vektor homogenih
koordinata od C' izraziti kao c' = (a x b) x (x x c),
jer je det (a,b,c') = det (x,c,c') = 0 pa je c' ortogonalan
i na a x b i na x x c.
(Ovo je ključni korak. Determinante su jednake 0, dakako,
zbog kolinearnosti odgovarajućih točaka).
Rastavom vektorsko-vektorskog produkta po poznatoj formuli
dobivamo:
c' = det (x,b,c) a + det(x,a,c) b
i analogno sve za d' (samo se c zamijeni s d).
(U ovom računu determinante se pojavljuju kao "mješoviti"
produkti, vektorsko-skalarni (x x a)c itd).
Preostaje samo uvrstiti homogene koordinate u osnovnu
formulu za dvoomjer pa se lako dobije tražena formula.
|
