Ovdje ću izložiti sažetak rješenja zadataka na 1. kolokviju,
održanom danas, 21. studenog.
Detaljna rješenja (i zadaci) bit će naknadno objavljeni na
web stranicama kolegija.
Neći ispisivati cijele tekstove zadataka, nego samo koliko je potrebno
za podsjećanje na bitne dijelove.
[b]1. [/b]Zadano je preslikavanje na skupu M2([b]C[/b])xM2([b]C[/b]),
u čijoj se definiciji nalazi kompleksni parametar lambda (pišem L)
pa prvo treba odrediti za koje vrijednosti parametra L je to
preslikavanje skalarno množenje.
Iz uvjeta pozitivne definitnosti standardno se dobije da L
treba biti >1 (realan broj, naravno). U tu svrhu dovoljno je
za matricu [ a b // c d] pogledati posebne vrijednosti, npr.
a=b= 0, c i d različiti od 0 ---> L mora biti realan broj,
dok npr. c=d= 0 ---> L > 1.
Nadalje, zadana je matrica A = [ 0 1 // i 0] pa prvo treba
izračunati njezinu normu (induciranu uvedenim skalarnim
produktom). Dobiva se <A,A> = (L-1) + L = 2L -1
pa je norma(A) = sqrt(2L-1).
Još se traži udaljenost d(I, A), dakle norma (I - A)
gdje je I jedinična matrica.
Dobiva se sqrt(4L-2).
Posljednje, treba primijeniti CSchB-nejednakost na matrice
A i B =A + I, dakle izračunati aps <A, B> < (=) norma(A) norma(B).
Dobije se 2L - 1 <= sqrt (2L-1) sqrt (4L -2),
pojednostavljeno 1 < sqrt(2).
[b]2. [/b]Prvo se za podskup S unitarnog prostora V navodi dobro
poznata defincija skupa S^(ort) i treba dokazati da za bilo
koji neprazni S bit će S^(ort) potprostor od V.
(Krajnje jednostavan dokaz, jedan redak).
Nadalje, prelazi se na prostor V^3(O) i zadaju se neki
vektori i podskupovi, sve izraženo pomoću ONB (i,j,k).
Pisat ću sad uređene trojke umjesto linearnih kombinacija
vektora baze, radi jednostavnosti.
v = (1,2,3), w = (2,4,-1), L = [v],
M = { v + (alfa) w : alfa el. [b]R[/b]}.
Treba odrediti ortonormiranu bazu prostora tako da
njezin prvi vektor bude u potprostoru M^(ort), a
drugi u L^(ort).
Može se odmah uočiti da zbog L < [M] za njihove ort. komplemente
vrijedi obrnuto, [M]^(ort) < L^(ort), pri čemu je
dim M^(ort) = 1, dim L^(ort) = 2.
Kako je [M] = [v,w], za prvi vektor tražene baze uzimamo
vektor ortogonalan na v i na w (možemo se poslužiti vektorskim
produktom ili drukčije), dobiva se [ (2, -1, 0) ]
pa normiranjem prvi vektor može biti 1/sqrt(5) (2,-1,0).
Drugi vektor treba biti ortogonalan na v, a također i na (2,-1,0).
Dobije se [(3,6,-5)], normiranjem 1/sqrt(70) (3,6,-5).
Smjer trećeg vektora već imamo - to je v, jer prethodna
dva su ortogonalna na v pa samo treba normirati:
1/sqrt(14) (1,2,3).
Jedna tražena baza: { 1/sqrt(5) (2,-1,0), 1/sqrt(70) (3,6,-5),
1/sqrt(14) (1,2,3)}.
[b] 3.[/b]
U unitarnom prostoru R^4 zadan je potprostor M jednadžbama
x - y - z + w = 0, x + z = 0.
Treba izračunati udaljenost delta = d(a, M) za a = (1,1,1,1)
te obrazložiti da delta nije veće od d(a,x) za bilo koji x iz M.
(Dakle, da je vrijednost dobivena na poznati način upravo
najmanja među svim udaljenostima a od vektora x iz M).
Na bilo koji od standardnih načina dobiva se rastav
vektora a = (0,1,0,1) + (1,0,1,0) iz M + M^(ort)
pa je d(a,M) = norma (1,0,1,0) = sqrt (2)
Dokaz tvrdnje da je vektoru a u potprostoru M najbliži
vektor koji je njegova ort. projekcija na M poznat je,
nalazi se npr. u skriptama na str. 21/22 (Prop. 1.4.6.)
[b]4.[/b]
Tu se promatra unitarni prostor P_n realnih polinoma
stupnja najviše n, sa skalarnim množenjem <p,q>
zadanim kao integral umnoška p(t)q(t) na [-1,1].
S D je označen operator deriviranja, Dp = p'.
Za bilo koji potprostor L neka je A operator
ortogonalne projekcije na L.
Prvo treba dokazati da su kompozicije DA i AD
linearni operatori. Za to se treba samo poslužiti
poznatim činjenicama da je A linearni operator
za bilo koji L, da je D također linearni operator
te da je kompozicija linearnih operatora također linearni
operator.
Dalje se uzima P_3 i L = [1, t^2].
Pitanje je vrijedi li tada AD = DA. Lako se nađe primjer
polinoma p za koji je A(Dp) različito od D(Ap),
npr. za p(t) = t^2
je Ap = p, a (Dp)(t) = p'(t) = 2t.
S druge strane, (AD)(p)(t) = A(2t) = 0.
Također, pod (c) se za zadani f(t) = 1 + t - t^3 dobiva da
su (DA)(f) i (AD)(f) različiti pa i f može poslužiti za taj primjer.
Dakle, preostalo je izračunati udaljenost (DA)(f) i (AD)(f)
Primijetimo da su [1, t^2] i [t, t^3] međusobno ortogonalni
potprostori jer integral od t^n za neparni n je 0 na [-1,1].
Zato je rastav općeg polinoma a + bt + ct^2 + dt^3
jednak jednostavno (a + ct^2) + (bt + dt^3).
(Rastav u L + L^(ort)).
Imamo (DA)f (t) = D (1) = 0,
(AD)(f) (t) = A(1 - 3t^2) = 1 - 3t^2.
Dakle, tražena udaljenost upravo je norma (1 - 3t^2).
Za integral od (1 - 3t^2)^2 dobije se 8/5, dakle
norma je sqrt(8/5) = 2 sqrt(2/5).
[b]5. [/b] Prvo, u V^3(O), ONB (i,j,k), a opet ću pisati kao uređene
trojke vektore u toj bazi, zadani su a = (1,1,0), b = (0,1,1)
i c = (1,0,1).
Treba izračunati udaljenosti d(a, [b,c]) i analogno zamjenom
a, b, c, pri čemu će očito sve biti međusobnio jednake.
Standardno se dobiva d(a, [b,c]) = 2/sqrt(3).
Zatim, definira se "pravilna" baza unitarnog prostora
(općenito, n-dim.) kao baza u kojoj je udaljenost svakog
vektora baze do potprostora razapetog svim ostalim
vektorima baze jednaka za svaki od tih n vektora.
Pita se je li baza iz prvog podzadatka "pravilna" u tom
smislu. Treba samo konstatirati da jest, jer upravo se to
i izračunalo.
Zadnje, treba dokazati da ako je baza unitarnog prostora
pravilna i ortogonalna, onda svi vektori te baze imaju jednaku
normu. (Primijetimo, baza u prvom zadatku jest pravilna, ali ne
i ortogonalna). Ovo je očito jer zbog ortogonalnosti baze
je d(a1, [a2,...,a_n]) = norma (a1) i tako za svaki vektor baze.
