|
Navodim nekoliko zadataka korisnih za pripremu
za 1. kolokvij. Neki su probrani od već (na ovom forumu)
objavljenih zadataka tako da se uklapaju u dosad
obrađeno gradivo, a neki su novi.
Podrazumijeva se da se zadaci odnose na proširenu
euklidsku ravninu, odnosno na realnu projektivnu
ravninu PG(2,[b]R[/b])
1. Zadan je trovrh ABC i točke A', B' tako da se pravci AA' i BB'
sijeku u točki S
i svih 6 navedenih točaka su različite. Ako je X varijabilna točka
pravca SC, različita od S i C, trovrsi ABC i A'B'X centralno su
perspektivni pa su i osno perspektivni. Ispitajte da li sve takve osi perspektiviteta,
za varijabilnu X pripadaju jednom pramenu, tj. jesu li svi ti pravci konkurentni.
2. Neka su u proširenoj euklidskoj ravnini dva četverovrha
ABCD i A'B'C'D' centralno perspektivni (tj. spojnice AA', BB',
CC' i DD' prolaze jednom točkom S).
(a) Dokažite da su sjecišta šest parova odgovarajućih
stranica vrhovi jednog potpunog četverostrana.
(b) Ako su zadana dva centralno perspektivna trovrha ABC i A'B'C',
je li moguće uvijek zadati točke D i D' tako da četverovrsi
ABCD i A'B'C'D' budu i centralno i osno perspektivni?
(Pritom D i D' trebaju biti međusobno različite te različite od
šest vrhova trovrha, kao i od njihovog centra perspektiviteta).
Uputa: Potražite što jednostavniji primjer u euklidskoj
(tj. afinoj ravnini)
pa ga interpretirajte u proširenoj euklidskoj (projektivnoj) ravnini.
3. Zadane su kolinearne točke A(1,2,3), B(2,4,3) i C(1,2,-2).
Odredite točke M i N tako da vrijedi: H(A,B;C,M) i H(A,C;B,N).
4. Zadan je potpuni četverovrh ABCD, čije su dijagonalne točke
K, L i M redom sjecišta parova stranica AB i CD, AC i BD te AD i BC.
Neka su X, Y i Z točke takve da vrijedi H(D,C;K,X), H(A,C;L,Y) i H(A,D;M,Z).
Dokažite da su X, Y i Z kolinearne.
Nadalje, dokažite da su pravci AB, DY i CZ konkurentni, a da
za njihovo sjecište, označimo ga S, vrijedi H(A,K;B,S).
(Napomena: zadatak se može riješiti i sintetički i analitički.
Korisno je riješiti ga na oba načina).
5. Formulirajte tvrdnju za realnu projektivnu ravninu iz koje se
kao posebni slučaj dobiva poznata propozicija u euklidskoj ravnini:
Srednjica trapeza paralelna je s njegovim osnovicama (srednjica
– spojnica polovišta krakova).
Objasnite vezu i dokažite tvrdnju u projektivnoj ravnini.
6. U četverovrhu PQRS dijagonalne točke su PS x QR = A,
PR x QS = B i PQ x RS = C. Dokažite da su točke K = QR x BC,
L = PR x AC i M = PQ x AB kolinearne.
7. Neka je ABC trovrh, a P točka koja nije incidentna
ni s jednom njegovom stranicom. Za (varijabilni) pravac
točkom P njegova sjecišta s pravcima BC, CA i AB
označimo redom s X, Y i Z. Postoji li za svaku točku P
takav pravac da vrijedi H(XY, PZ)? Pridružite točkama
A, B, C i P projektivne koordinate tako da to bude bez
gubitka općenitosti pa odredite jednadžbu traženog pravca,
ako takav postoji.
Navodim nekoliko zadataka korisnih za pripremu
za 1. kolokvij. Neki su probrani od već (na ovom forumu)
objavljenih zadataka tako da se uklapaju u dosad
obrađeno gradivo, a neki su novi.
Podrazumijeva se da se zadaci odnose na proširenu
euklidsku ravninu, odnosno na realnu projektivnu
ravninu PG(2,R)
1. Zadan je trovrh ABC i točke A', B' tako da se pravci AA' i BB'
sijeku u točki S
i svih 6 navedenih točaka su različite. Ako je X varijabilna točka
pravca SC, različita od S i C, trovrsi ABC i A'B'X centralno su
perspektivni pa su i osno perspektivni. Ispitajte da li sve takve osi perspektiviteta,
za varijabilnu X pripadaju jednom pramenu, tj. jesu li svi ti pravci konkurentni.
2. Neka su u proširenoj euklidskoj ravnini dva četverovrha
ABCD i A'B'C'D' centralno perspektivni (tj. spojnice AA', BB',
CC' i DD' prolaze jednom točkom S).
(a) Dokažite da su sjecišta šest parova odgovarajućih
stranica vrhovi jednog potpunog četverostrana.
(b) Ako su zadana dva centralno perspektivna trovrha ABC i A'B'C',
je li moguće uvijek zadati točke D i D' tako da četverovrsi
ABCD i A'B'C'D' budu i centralno i osno perspektivni?
(Pritom D i D' trebaju biti međusobno različite te različite od
šest vrhova trovrha, kao i od njihovog centra perspektiviteta).
Uputa: Potražite što jednostavniji primjer u euklidskoj
(tj. afinoj ravnini)
pa ga interpretirajte u proširenoj euklidskoj (projektivnoj) ravnini.
3. Zadane su kolinearne točke A(1,2,3), B(2,4,3) i C(1,2,-2).
Odredite točke M i N tako da vrijedi: H(A,B;C,M) i H(A,C;B,N).
4. Zadan je potpuni četverovrh ABCD, čije su dijagonalne točke
K, L i M redom sjecišta parova stranica AB i CD, AC i BD te AD i BC.
Neka su X, Y i Z točke takve da vrijedi H(D,C;K,X), H(A,C;L,Y) i H(A,D;M,Z).
Dokažite da su X, Y i Z kolinearne.
Nadalje, dokažite da su pravci AB, DY i CZ konkurentni, a da
za njihovo sjecište, označimo ga S, vrijedi H(A,K;B,S).
(Napomena: zadatak se može riješiti i sintetički i analitički.
Korisno je riješiti ga na oba načina).
5. Formulirajte tvrdnju za realnu projektivnu ravninu iz koje se
kao posebni slučaj dobiva poznata propozicija u euklidskoj ravnini:
Srednjica trapeza paralelna je s njegovim osnovicama (srednjica
– spojnica polovišta krakova).
Objasnite vezu i dokažite tvrdnju u projektivnoj ravnini.
6. U četverovrhu PQRS dijagonalne točke su PS x QR = A,
PR x QS = B i PQ x RS = C. Dokažite da su točke K = QR x BC,
L = PR x AC i M = PQ x AB kolinearne.
7. Neka je ABC trovrh, a P točka koja nije incidentna
ni s jednom njegovom stranicom. Za (varijabilni) pravac
točkom P njegova sjecišta s pravcima BC, CA i AB
označimo redom s X, Y i Z. Postoji li za svaku točku P
takav pravac da vrijedi H(XY, PZ)? Pridružite točkama
A, B, C i P projektivne koordinate tako da to bude bez
gubitka općenitosti pa odredite jednadžbu traženog pravca,
ako takav postoji.
|
