|
Ovi zadaci probrani su iz prijašnjih kolokvija i zadaća,
podijeljeni su na predavanjima, a za one koji nisu
uzeli isprintane zadatke:
[b]LATINSKI KVADRATI – Zadaci[/b]
1.
Prodavaonica glazbenih uređaja “Hi-Fi Megastore” želi testirati
pet novih “linija” na sljedeći način. Pet osoba slušat će u pet
izoliranih kabina uzorke glazbe na “linijama” koje treba testirati i
dati svoje ocjene. Pritom će glazbene snimke pripadati različitim žanrovima,
npr: klasična orkestralna glazba, pjevački zbor, jazz,
rock i elektronička dance-glazba.
Načinite plan tako da ukupni broj testiranja bude 25, uz optimalnu
ujednačenost za taj broj. (Kabine se smatraju jednako kvalitetnima,
a u svaku se može uključiti zvuk s bilo kojeg testiranog uređaja).
2.
Latinski kvadrat naziva se samoortogonalnim (ortogonalnim na
sama sebe, self-orthogonal) ako je ortogonalan njemu
transponiranom latinskom kvadratu. Uočite:
Ako je latinski kvadrat L samoortogonalan, onda su na njegovoj
dijagonali svi simboli međusobno različiti.
Pomoću tog svojstva konstruirajte samoortogonalni latinski kvadrat
reda 4.
Dva dobivena latinska kvadrata pokušajte nadopuniti do maksimalnog
MOLS (4).
3.
Televizijska kuća emitira program na dva kanala i želi usporediti gledanost
svojih 7 najpopularnijih serija, kroz sve dane u tjednu,
tako da se u tih 7 dana svaka serija emitira po jedanput na
svakom kanalu.
Plan je da se u svakom dnevnom terminu istodobno prikažu dvije
serije i da svake dvije serije budu "suprotstavljene" dva puta
(jedna na 1. kanalu, druga na 2. kanalu i obrnuto).
Radi jednostavnosti sheme može se uzeti dnevni "nulti" termin
u kojem se na oba kanala emitira ista serija. Označe li se dani npr.
nedjelja = 0, …, subota = 6,
a dnevni termini i same serije numeriraju također s 0,1,...,6,
zadatak je načiniti traženu shemu
(uputa: poznata algebarska metoda mod 7).
Ako tehničari dobiju poruku oblika (2, 3, 5, 0) koja znači:
u utorak u terminu br. 3 na 1. kanalu ide serija br. 5, a na
2. kanalu serija br. 0,
hoće li moći ustanoviti da je jedan od 4 podatka pogrešan i ispraviti ga?
[b]DIFERENCIJSKI SKUPOVI – Zadaci[/b]
1. Vrijedi sljedeći teorem: Ako je t neparan broj i q = 4 t^2 +9
te ako postoji konačno polje GF(q), onda u aditivnoj grupi tog
polja jedan diferencijski skup čine svi elementi oblika
x^4 (uključujući 0).
Za dvije najmanje vrijednosti q koje dolaze u obzir po tom
teoremu napišite parametre simetričnog dizajna dobivenog iz
takvog diferencijskog skupa. Za manju vrijednost napišite cijeli diferencijski skup.
Jesu li nam taj dizajn i diferencijski skup poznati? Obrazložite.
Za veću vrijednost q napišite barem 8 elemenata diferencijskog
skupa.
2. Skicirajte konstrukciju projektivne ravnine reda 16 pomoću diferencijskog
skupa i multiplikatora. Postupak ne ide
sasvim lagano, jer se diferencijski skup ne dobiva kao jedan
ciklus pod djelovanjem multiplikatora p. Za dopunu diferencijskog
skupa pokušajte naći “kratke“ cikluse oblika
{x, px} i {y, py, p^2 y}.
(Uputa: Multiplikator p=2 (kao i potencije od 2) multiplikator u
(273,17,1) dizajnu (projektivnoj ravnini reda 16).
Uz ciklus duljine 12, najjednostavnije (1,2,4,8,...,137), u cikličkoj grupi
reda 273 potreban je još podskup od 5 elemenata invarijantan pod
multiplikatorom 2. Ciklusi duljine 6 su predugi, (0) ne dolazi u obzir,
jer jedini ciklus duljine 2 je (91,182), a ciklus duljine 3 nije jedinstven
(kad se rješava (2^3 - 1)y djeljivo s 273)
Ovi zadaci probrani su iz prijašnjih kolokvija i zadaća,
podijeljeni su na predavanjima, a za one koji nisu
uzeli isprintane zadatke:
LATINSKI KVADRATI – Zadaci
1.
Prodavaonica glazbenih uređaja “Hi-Fi Megastore” želi testirati
pet novih “linija” na sljedeći način. Pet osoba slušat će u pet
izoliranih kabina uzorke glazbe na “linijama” koje treba testirati i
dati svoje ocjene. Pritom će glazbene snimke pripadati različitim žanrovima,
npr: klasična orkestralna glazba, pjevački zbor, jazz,
rock i elektronička dance-glazba.
Načinite plan tako da ukupni broj testiranja bude 25, uz optimalnu
ujednačenost za taj broj. (Kabine se smatraju jednako kvalitetnima,
a u svaku se može uključiti zvuk s bilo kojeg testiranog uređaja).
2.
Latinski kvadrat naziva se samoortogonalnim (ortogonalnim na
sama sebe, self-orthogonal) ako je ortogonalan njemu
transponiranom latinskom kvadratu. Uočite:
Ako je latinski kvadrat L samoortogonalan, onda su na njegovoj
dijagonali svi simboli međusobno različiti.
Pomoću tog svojstva konstruirajte samoortogonalni latinski kvadrat
reda 4.
Dva dobivena latinska kvadrata pokušajte nadopuniti do maksimalnog
MOLS (4).
3.
Televizijska kuća emitira program na dva kanala i želi usporediti gledanost
svojih 7 najpopularnijih serija, kroz sve dane u tjednu,
tako da se u tih 7 dana svaka serija emitira po jedanput na
svakom kanalu.
Plan je da se u svakom dnevnom terminu istodobno prikažu dvije
serije i da svake dvije serije budu "suprotstavljene" dva puta
(jedna na 1. kanalu, druga na 2. kanalu i obrnuto).
Radi jednostavnosti sheme može se uzeti dnevni "nulti" termin
u kojem se na oba kanala emitira ista serija. Označe li se dani npr.
nedjelja = 0, …, subota = 6,
a dnevni termini i same serije numeriraju također s 0,1,...,6,
zadatak je načiniti traženu shemu
(uputa: poznata algebarska metoda mod 7).
Ako tehničari dobiju poruku oblika (2, 3, 5, 0) koja znači:
u utorak u terminu br. 3 na 1. kanalu ide serija br. 5, a na
2. kanalu serija br. 0,
hoće li moći ustanoviti da je jedan od 4 podatka pogrešan i ispraviti ga?
DIFERENCIJSKI SKUPOVI – Zadaci
1. Vrijedi sljedeći teorem: Ako je t neparan broj i q = 4 t^2 +9
te ako postoji konačno polje GF(q), onda u aditivnoj grupi tog
polja jedan diferencijski skup čine svi elementi oblika
x^4 (uključujući 0).
Za dvije najmanje vrijednosti q koje dolaze u obzir po tom
teoremu napišite parametre simetričnog dizajna dobivenog iz
takvog diferencijskog skupa. Za manju vrijednost napišite cijeli diferencijski skup.
Jesu li nam taj dizajn i diferencijski skup poznati? Obrazložite.
Za veću vrijednost q napišite barem 8 elemenata diferencijskog
skupa.
2. Skicirajte konstrukciju projektivne ravnine reda 16 pomoću diferencijskog
skupa i multiplikatora. Postupak ne ide
sasvim lagano, jer se diferencijski skup ne dobiva kao jedan
ciklus pod djelovanjem multiplikatora p. Za dopunu diferencijskog
skupa pokušajte naći “kratke“ cikluse oblika
{x, px} i {y, py, p^2 y}.
(Uputa: Multiplikator p=2 (kao i potencije od 2) multiplikator u
(273,17,1) dizajnu (projektivnoj ravnini reda 16).
Uz ciklus duljine 12, najjednostavnije (1,2,4,8,...,137), u cikličkoj grupi
reda 273 potreban je još podskup od 5 elemenata invarijantan pod
multiplikatorom 2. Ciklusi duljine 6 su predugi, (0) ne dolazi u obzir,
jer jedini ciklus duljine 2 je (91,182), a ciklus duljine 3 nije jedinstven
(kad se rješava (2^3 - 1)y djeljivo s 273)
|
