|
[b]Zadaci na 2. kolokviju[/b]
Svi zadaci odnose se na model proširene euklidske ravnine,
odnosno na PG(2,[b]R[/b]).
1. (a) Za četiri različite točke A, B, C i D na projektivnom pravcu
postoji projektivitet koji ih preslikava redom u B, A, D i C.
Dokažite to i efektivno konstruirajte sliku neke opće točke X
tog pravca u projektivitetu s navedenim svojstvom za zadane
A, B, C i D.
(b) Postoji li kolinearni skup od 4 točke takav da je navedena permutacija
jedina netrivijalna permutacija koja se može ostvariti projektivitetom?
2. Neka je ABCD četverovrh u euklidskoj ravnini. Može li se ABCD
preslikati nekom projektivnom transformacijom u četverovrh kojem su
svake dvije suprotne stranice međusobno okomite? Posebno razmotrite
slučaj za pravokutnik ABCD.
3. Zadani su pravci a, b i točke P, Q, R od kojih nijedna nije incidentna
s pravcem a ili b. Te tri točke mogu, ali ne moraju biti kolinearne.
Promatra se skup svih trovrhaABC takvih da je vrh A na
pravcu a, B na b te da stranice AB, BC i CA prolaze redom točkama P, Q i R.
Nije teško zaključiti da vrh C svih takvih trovrha ABC prolazi
jednim pravcem ako su P, Q, R kolinearne. Kakav skup točaka opisuje
vrh C ako P, Q, R nisu kolinearne?
Uputa: promatrajte pramenove pravaca kroz točke P, Q i R.
4. Zadano je 5 točaka tako da po 3 nisu kolinearne. Neka je K konika
određena tim točkama, Izaberite neku točku T koja ne pripada konici K,
takvu da se može konstruirati (samo pomoću ravnala) tangenta iz T
na koniku K, čije diralište je različito od zadanih 5 točaka.
Konstruirajte tu tangentu.
5. Konika C zadana je jednadžbom x0x1 + x1x2 + x0x2 = 0. Provjerite da je
trovrh A1A2A3, A1 = (1 : 1 : 1), A2 = (1 : -1 : 0), A3 = (1 : 1 : -2) autopolaran
za tu koniku. (Autopolaran – svaka stranica je polara suprotnog vrha).
Zadajte po volji još jedan autopolarni trovrh B1B2B3 za koniku C, pri čemu
su svih 6 vrhova različite točke te nema incidencija između vrhova B1B2B3
i stranica A1A2A3 .
Dokažite da točke A1, A2, A3, B1, B2, B3 pripadaju jednoj konici.
Rješenja.
1. Kolinearna četvorka točaka može se projektivitetima preslikati
u točno one permutacije koje ne mijenjaju dvoomjer.
Za ABCD to su BADC, CDAB i DCBA .
(Za harmoničku četvorku i neke druge).
Dakle, nema kolinearne četvorke za koju je navedena permutacija
jedina netrivijalna s tim svojstvom.
Projektivitet se efektivno može konstruirati npr. pomoću osi
projektiviteta (nakon što se ABCD jednim perspektivitetom preslika
na drugi pravac).
2. Postoje projektivne transformacije koje bilo koji četverovrh
preslikaju u četverovrh sa sva tri para okomitih suprotnih
stranica. (U nekim odgovorima zanemareno je da četverovrh
ne mora biti konveksan). Vrhovi trokuta i njegov ortocentar, ako
trokut nije pravokutan, čine takav četverovrh.
Za bilo koji četverovrh ABCD, ako neka tri od vrhova ne čine
pravokutan trokut - recimo da su to A, B i C, možemo uzeti
npr. projektivnu transformaciju koja fiksira A, B i C, a točku D
preslika u ortocentar H trokuta ABC.
Ako je ABCD pravokutnik, onda možemo dva vrha ostaviti
fiksnima, C preslikati u neku točku C' tako da ABC' ne bude
pravokutan trokut, a D u ortocentar H trokuta ABC'.
3. Vrh C u familiji opisanih trokuta prolazi jednom konikom.
Treba uočiti projektivitet pramenova kroz točke R i Q,
dobiven kompozicijom perspektiviteta pramenova R i P
preko osi a te pramenova P i Q preko osi b.
Tada se primijeni teorem kako projektivitet pramenova
generira koniku, kao skup sjecišta pridruženih pravaca.
(Za kolinearne P, Q, R Desarguesov teorem pokazuje da
vrhovi C prolaze pravcem kroz sjecište pravaca a i b).
4. Točka T može se izabrati na tangenti konike K u nekoj
od zadanih 5 točaka pa se onda konstruira druga tangenta
iz T i njezino diralište. Polara točke T može se
konstruirati npr. pomoću harmoniteta na sekanti kroz T.
5. Izravno se izračunaju polare točaka A1, A2 i A3 pa se vidi
da su to pravci A2A3, A3A1 i A1A2.
Za drugi autopolarni trovrh ima puno mogućnosti (uz malo
opreza - vrhovi ne smiju pripadati konici i ne smiju, zbog
uvjeta zadatka, pripadati stranicama prvog trovrha, kako
bi se izbjegla singularnost).
Evo rješenja iz jednog kolokvija.
Vrhovi: B1 (1:0:1), B2(2: -1 :0), B3(0 :-1 :2).
Konika kroz svih 6 točaka (pisat ću s x, y, z radi bolje preglednosti):
x^2 + 2y^2 -3z^2 + 3xy -5yz + 2xz = 0.
Još jedno rješenje:
B1 (1:2:1), B2 (0:3: -2), B3 (6 : -3 : -4)
Konika (dobivena promoću pramena):
27(x + y – 2z)(5x– 3y + z) – 77(x – y)(x + y – 3z) = 0
Matrica: [ 58 27 -6 // 27 -4 -21 // -6 -21 -54 ].
Inače, kako se može i naslutiti, vrijedi općeniti teorem da
6 vrhova dvaju autopolarnih trovrha pripadaju jednoj
konici, samo dokaz nije sasvim lagan (treba nešto dosjetljivosti
kod manipulacije jednadžbama).
Zadaci na 2. kolokviju
Svi zadaci odnose se na model proširene euklidske ravnine,
odnosno na PG(2,R).
1. (a) Za četiri različite točke A, B, C i D na projektivnom pravcu
postoji projektivitet koji ih preslikava redom u B, A, D i C.
Dokažite to i efektivno konstruirajte sliku neke opće točke X
tog pravca u projektivitetu s navedenim svojstvom za zadane
A, B, C i D.
(b) Postoji li kolinearni skup od 4 točke takav da je navedena permutacija
jedina netrivijalna permutacija koja se može ostvariti projektivitetom?
2. Neka je ABCD četverovrh u euklidskoj ravnini. Može li se ABCD
preslikati nekom projektivnom transformacijom u četverovrh kojem su
svake dvije suprotne stranice međusobno okomite? Posebno razmotrite
slučaj za pravokutnik ABCD.
3. Zadani su pravci a, b i točke P, Q, R od kojih nijedna nije incidentna
s pravcem a ili b. Te tri točke mogu, ali ne moraju biti kolinearne.
Promatra se skup svih trovrhaABC takvih da je vrh A na
pravcu a, B na b te da stranice AB, BC i CA prolaze redom točkama P, Q i R.
Nije teško zaključiti da vrh C svih takvih trovrha ABC prolazi
jednim pravcem ako su P, Q, R kolinearne. Kakav skup točaka opisuje
vrh C ako P, Q, R nisu kolinearne?
Uputa: promatrajte pramenove pravaca kroz točke P, Q i R.
4. Zadano je 5 točaka tako da po 3 nisu kolinearne. Neka je K konika
određena tim točkama, Izaberite neku točku T koja ne pripada konici K,
takvu da se može konstruirati (samo pomoću ravnala) tangenta iz T
na koniku K, čije diralište je različito od zadanih 5 točaka.
Konstruirajte tu tangentu.
5. Konika C zadana je jednadžbom x0x1 + x1x2 + x0x2 = 0. Provjerite da je
trovrh A1A2A3, A1 = (1 : 1 : 1), A2 = (1 : -1 : 0), A3 = (1 : 1 : -2) autopolaran
za tu koniku. (Autopolaran – svaka stranica je polara suprotnog vrha).
Zadajte po volji još jedan autopolarni trovrh B1B2B3 za koniku C, pri čemu
su svih 6 vrhova različite točke te nema incidencija između vrhova B1B2B3
i stranica A1A2A3 .
Dokažite da točke A1, A2, A3, B1, B2, B3 pripadaju jednoj konici.
Rješenja.
1. Kolinearna četvorka točaka može se projektivitetima preslikati
u točno one permutacije koje ne mijenjaju dvoomjer.
Za ABCD to su BADC, CDAB i DCBA .
(Za harmoničku četvorku i neke druge).
Dakle, nema kolinearne četvorke za koju je navedena permutacija
jedina netrivijalna s tim svojstvom.
Projektivitet se efektivno može konstruirati npr. pomoću osi
projektiviteta (nakon što se ABCD jednim perspektivitetom preslika
na drugi pravac).
2. Postoje projektivne transformacije koje bilo koji četverovrh
preslikaju u četverovrh sa sva tri para okomitih suprotnih
stranica. (U nekim odgovorima zanemareno je da četverovrh
ne mora biti konveksan). Vrhovi trokuta i njegov ortocentar, ako
trokut nije pravokutan, čine takav četverovrh.
Za bilo koji četverovrh ABCD, ako neka tri od vrhova ne čine
pravokutan trokut - recimo da su to A, B i C, možemo uzeti
npr. projektivnu transformaciju koja fiksira A, B i C, a točku D
preslika u ortocentar H trokuta ABC.
Ako je ABCD pravokutnik, onda možemo dva vrha ostaviti
fiksnima, C preslikati u neku točku C' tako da ABC' ne bude
pravokutan trokut, a D u ortocentar H trokuta ABC'.
3. Vrh C u familiji opisanih trokuta prolazi jednom konikom.
Treba uočiti projektivitet pramenova kroz točke R i Q,
dobiven kompozicijom perspektiviteta pramenova R i P
preko osi a te pramenova P i Q preko osi b.
Tada se primijeni teorem kako projektivitet pramenova
generira koniku, kao skup sjecišta pridruženih pravaca.
(Za kolinearne P, Q, R Desarguesov teorem pokazuje da
vrhovi C prolaze pravcem kroz sjecište pravaca a i b).
4. Točka T može se izabrati na tangenti konike K u nekoj
od zadanih 5 točaka pa se onda konstruira druga tangenta
iz T i njezino diralište. Polara točke T može se
konstruirati npr. pomoću harmoniteta na sekanti kroz T.
5. Izravno se izračunaju polare točaka A1, A2 i A3 pa se vidi
da su to pravci A2A3, A3A1 i A1A2.
Za drugi autopolarni trovrh ima puno mogućnosti (uz malo
opreza - vrhovi ne smiju pripadati konici i ne smiju, zbog
uvjeta zadatka, pripadati stranicama prvog trovrha, kako
bi se izbjegla singularnost).
Evo rješenja iz jednog kolokvija.
Vrhovi: B1 (1:0:1), B2(2: -1 :0), B3(0 :-1 :2).
Konika kroz svih 6 točaka (pisat ću s x, y, z radi bolje preglednosti):
x^2 + 2y^2 -3z^2 + 3xy -5yz + 2xz = 0.
Još jedno rješenje:
B1 (1:2:1), B2 (0:3: -2), B3 (6 : -3 : -4)
Konika (dobivena promoću pramena):
27(x + y – 2z)(5x– 3y + z) – 77(x – y)(x + y – 3z) = 0
Matrica: [ 58 27 -6 // 27 -4 -21 // -6 -21 -54 ].
Inače, kako se može i naslutiti, vrijedi općeniti teorem da
6 vrhova dvaju autopolarnih trovrha pripadaju jednoj
konici, samo dokaz nije sasvim lagan (treba nešto dosjetljivosti
kod manipulacije jednadžbama).
|
