4. i 5. zadatak s popravnog kol. i rješenja

[Juraj Siftar]

4.
Na unitarnom prostoru R^3 zadan je linearni operator
A((x,y,z)) = (x+2y+3z, 2x+3y + z, 3x+y+2z).

(a) Odredite spektar operatora A. Možemo li iz samog spektra,
ne određujući svojstvene vektore, u ovom primjeru zaključiti
je li A dijagonalizabilan?
Obrazložite zaključak.
(b) Odredite jedan svojstveni potprostor operatora A.
(c) Ako je M ortogonalni komplement svojstvenog potprostora
određenog u (b),
dokažite da je A(M) = M. (Pritom je A(M) = {A(v) : v el. M}.

5.

(a) Definirajte pojam dualnog prostora V* vektorskog prostora V.
Za konačnodimenzionalni prostor V i njegovu bazu definirajte
dualnu bazu. Napišite matricu nekog izomorfizma između prostora
V i V*.
Obrazložite kako ste odredili tu matricu.

(b) Ako je A realna kvadratna matrica reda 4, kako možemo
ustanoviti je li A matrica nekog izomorfizma između dva vektorska
prostora? Detaljno obrazložite.

(c) U nekoj bazi prostora V3(O) linearni operator C prikazan
je matricom kojoj su u prvom retku svi koeficijenti jednaki 1,
dok su svi ostali koeficijenti u matrici jednaki 0. Postoji li baza
u kojoj je C prikazan transponiranom matricom, dakle
matricom kojoj su koeficijenti u prvom stupcu jednaki 1,
a svi ostali koeficijenti jednaki 0? Ako takva baza postoji,
napišite matricu prijelaza između dviju baza.

Rješenja.

4.
Karakteristični polinom operatora A glasi
(varijablu pišem kao x, umjesto lambda):

k_A(x) = -x^3 + 6x^2 +3x - 18 = (x^2-3)(6 - x).

Dakle, A ima 3 različite, realne svojstvene vrijednosti:
sqrt(3), -sqrt(3) i 6 pa se može dijagonalizirati
Svojstveni vektor lakše je naći za 6 (recimo, jer nema
kvadratnih korijena) i to je (1,1,1).

Ortogonalni komplement od [(1,1,1)] čine svi
vektori (x,y,z) za koje vrijedi x+y+z = 0.

Lako se provjeri, za opći takav vektor ili za dva
vektora baze, npr. (1,-1,0) i (1,0,-1) da ih A
preslika u vektore sa svojstvom x+y+z = 0.
Za navedena dva vektora slike su (-1,-1,2) i (-2,1,1).
Odavde je A(M) sadržan u M, a onda su i jednaki
jer su jednake dimenzije 2.


5.
(a) Najlakše je napisati matricu izomorfizma u paru baza
koji čine bilo koja baza prostora V i njezina dualna
baza. To je jedinična matrica.

(b) Nužan i dovoljan uvjet da bi kvadratna matrica bila
matrica nekog izomorfizma jest regularnost matrice.
Ako je zadana regularna matrica reda 4, možemo
uzeti bilo koja dva realna 4-dim. prostora i po jednu
bazu za svaki te zadati linearni operator koji na vektore
jedne baze djeluje onako kako to piše u stupcima
matrice (gdje su koeficijenti prikaza slike vektora baze
napisane u bazi drugog prostora).

(c) Za ispunjavanje navedenog uvjeta trebala bi postojati
(regularna) matrica prijelaza tako da vrijedi
T^(-1) C T = C' (C' je transponirana matrica),
pri čemu je C = [ 1 1 1 // 0 0 0 // 0 0 0],
pisano po retcima.
Ekvivalentno, CT = TC'.

Iz ovog uvjeta lako se izračuna da T mora imati
oblik [a a a // a b a // a a c ], dok uvjet regularnosti
pokazuje da su a, b, c različiti od 0 i međusobno
različiti.

Može se početi i bez matrice, npr. ako se uoči da u "prvoj"
bazi (e1,e2,e3) vrijedi da je Im C = [e1],
Ker C = [{e1 - e2, e1 - e3}],
dok izraženo u drugoj bazi (f1,f2,f3) vrijedi
Im C = [f1+f2+f3], Ker C = [{f2,f3}] itd.

[Juraj Siftar]

Ispravak za rješenje 5.(c) zadatka.
Navedena matrica nije točna kao opći oblik
tražene matrice prijelaza.
Ta matrica zapravo je inverzna jednom jednostavnom
obliku tražene matrice pa je zabunom unešena
umjesto prave.

Za C = [ 1 1 1 // 0 0 0 // 0 0 0] (pisano po retcima)

svojstvo da CT = TC' ima npr. matrica

T = [ 3 -1 -1 // -1 1 0 // -1 0 1 ] (po retcima)

(a njezin inverz je [ 1 1 1 // 1 2 1 // 1 1 2] ).

Ta matrica izračuna se npr. kad se potraži veza između
dviju baza, koristeći sliku i jezgru kako je navedeno
u rješenju. Inače, ima beskonačno mnogo rješenja
za tražene matrice.

Na pogrešku u rješenju ukazao mi je kolega
Karlo Karađole pa mu se zahvaljujem.