|
Zadaci s popravnog kolokvija
1. Zadane su kolinearne točke A, B i C. Konstruirajte točku D tako da
dvoomjer bude R(A,B;C,D) = 2. Iskoristite neku harmoničku četvorku i
prikladni projektivitet.
2. Neka je A1 A2 A3 A4 A5 A6 Papposov šesterovrh i [i]p[/i] pripadni
Papposov pravac (incidentan sa sjecištima suprotnih stranica).
Može li se na pravcu A1 A3 izabrati neka točka B, različita od A1, A3 i A5,
tako da [i]p[/i] bude Papposov pravac i za šesterovrh A1 A2 A3 A4 B A6 ?
Dokažite: Ako se izabere točka B na pravcu A1 A3 i točka C na
pravcu A2 A4 tako da vrijedi R(A1 , A3 ; A5 , B) = R(A4 , A6 ; A2, C),
onda je pravac [i]p[/i] također Papposov pravac šesterovrha A1 C A3 A4 B A6 .
3. Projektivitet na pravcu preslikava točke F, A, B redom u F, B, C. Dokažite
da je taj projektivitet hiperbolički (2 fiksne točke), s izuzetkom u slučaju
da vrijedi H (F, B; C, A) kada je parabolički (točno jedna fiksna točka).
4. Iskažite Teorem o perspektivitetu. Nadalje, iskažite neki od teorema koji su
s njim ekvivalentni te dokažite jedan smjer (implikaciju) u toj ekvivalenciji.
(Izbor implikacije po volji).
5. Napišite jednadžbu konike [i]H[/i] u proširenoj euklidskoj ravnini čiji afini dio
je hiperbola s jednadžbom [i]xy[/i] = 1 u Kartezijevom koordinatnom sustavu.
Izaberite po volji 4 različite točke konike [i]H[/i] te pokažite da konstantnu
vrijednost ima dvoomjer četvorke spojnica te 4 točke s varijabilnom točkom
konike [i]H[/i]. (Izračunajte tu vrijednost).
Provjerite da jednaku vrijednost ima dvoomjer koji se dobije kad se za
varijabilnu točku uzme jedna od 4 izabrane, ako ulogu spojnice
poprimi tangenta.
6. Zadan je četverovrh MNPQ i pravac [i]p[/i] incidentan s točkom P, koji
ne prolazi nijednim od ostalih vrhova. Konstruirajte tangentu u točki M
na koniku koja prolazi vrhovima zadanog četverovrha, a [i]p[/i] joj je
tangenta u točki P. (Izvedite konstrukciju, ne samo analizu i opis).
Zadaci s popravnog kolokvija
1. Zadane su kolinearne točke A, B i C. Konstruirajte točku D tako da
dvoomjer bude R(A,B;C,D) = 2. Iskoristite neku harmoničku četvorku i
prikladni projektivitet.
2. Neka je A1 A2 A3 A4 A5 A6 Papposov šesterovrh i p pripadni
Papposov pravac (incidentan sa sjecištima suprotnih stranica).
Može li se na pravcu A1 A3 izabrati neka točka B, različita od A1, A3 i A5,
tako da p bude Papposov pravac i za šesterovrh A1 A2 A3 A4 B A6 ?
Dokažite: Ako se izabere točka B na pravcu A1 A3 i točka C na
pravcu A2 A4 tako da vrijedi R(A1 , A3 ; A5 , B) = R(A4 , A6 ; A2, C),
onda je pravac p također Papposov pravac šesterovrha A1 C A3 A4 B A6 .
3. Projektivitet na pravcu preslikava točke F, A, B redom u F, B, C. Dokažite
da je taj projektivitet hiperbolički (2 fiksne točke), s izuzetkom u slučaju
da vrijedi H (F, B; C, A) kada je parabolički (točno jedna fiksna točka).
4. Iskažite Teorem o perspektivitetu. Nadalje, iskažite neki od teorema koji su
s njim ekvivalentni te dokažite jedan smjer (implikaciju) u toj ekvivalenciji.
(Izbor implikacije po volji).
5. Napišite jednadžbu konike H u proširenoj euklidskoj ravnini čiji afini dio
je hiperbola s jednadžbom xy = 1 u Kartezijevom koordinatnom sustavu.
Izaberite po volji 4 različite točke konike H te pokažite da konstantnu
vrijednost ima dvoomjer četvorke spojnica te 4 točke s varijabilnom točkom
konike H. (Izračunajte tu vrijednost).
Provjerite da jednaku vrijednost ima dvoomjer koji se dobije kad se za
varijabilnu točku uzme jedna od 4 izabrane, ako ulogu spojnice
poprimi tangenta.
6. Zadan je četverovrh MNPQ i pravac p incidentan s točkom P, koji
ne prolazi nijednim od ostalih vrhova. Konstruirajte tangentu u točki M
na koniku koja prolazi vrhovima zadanog četverovrha, a p joj je
tangenta u točki P. (Izvedite konstrukciju, ne samo analizu i opis).
|
