LA 1 (nastavnički smjerovi) - predavanja J. Šiftara

[Juraj Siftar]

Na web-stranicama predmeta objavljena je 1. domaća zadaća.

Samo po sebi, to je uobičajeno na ovom predmetu, ali dalje ćemo
se snalaziti i prilagođavati u skladu s razvojem okolnosti koje su
sasvim izuzetne. Važno je zadržati aktivnost, rješavati zadaće i
pratiti obavijesti i upute koje ćemo objavljivati na web stranicama i
posebno na ovom forumu. Jasno je da se predviđeni raspored
testova neće moći održati, ali to nije presudno.

Sa svim pitanjima povezanima s predmetom možete mi se obratiti
na ovoj temi na forumu ili, po želji, pojedinačno e-mailom.
To se odnosi i na upute oko rješavanja zadataka, tumačenje
gradiva itd. Za nekoliko dana objavit ću upute o daljnjem
čitanju dijelova skripata, a zasad je poželjno da rješavate
domaću zadaću i pročitate odjeljke skripata pokrivene
dosadašnjim predavanjima i vježbama. Ako ste slušali
predavanja, bilo bi jako korisno svoje bilješke dopuniti bilješkama
nastalima uz čitanja skripata, pogotovo primjerima i
detaljima koji možda nisu bili raspisivani na predavanjima.

Dalje ću se redovito javljati na ovom forumu pa povremeno
provjerite ima li novosti.

Juraj Šiftar

[Juraj Siftar]

Sredina je tjedna, a donekle ću "imitirati" dinamiku kakva bi
bila u normalnim okolnostima, dakle da su predavanja
četvrtkom i petkom.

Prije toga, savjet da se detaljnije proradi odjeljak
1.1.3. Prsten. Polje,
gdje ima činjenica koje nismo stigli pisati na
predavanjima, ali doista sve bitno imamo u
skriptama.

Kao i inače, važno je dobro pogledati primjere -
napisani su sažeto (koliko je potrebno), ali pažljivo
čitanje s razumijevanjem ne može teći prebrzo.

Nekoliko naglasaka.

Kad je cilj proučavanje vektorskih prostora, u ovom
predmetu dostatno bi bilo raditi s realnim i
kompleksnim brojevima kao "skalarima" iz
pripadnog polja. Ipak, ne ograničavamo se samo
na te primjere polja, R i C, nama najvažnije,
jer je korisno razumijeti:

- u kakvoj se strukturi mogu rješavati linearne
jednadžbe pa onda i sustavi linearnih jednadžbi,
na otprije poznati način: to je upravo polje;

- koja su točno svojstva operacija
sa skalarima (kako se kraće nazivaju elementi
polja, obično brojevi) općenito potrebna za računanje
u vektorskom prostoru.

Konkretno, potrebna su sva algebarska svojstva iz
definicije polja, a uređaj ili apsolutna vrijednost nemaju (općenito)
nikakvu ulogu. Za razliku od matematičke analize,
naravno, gdje se R promatra kao uređeno polje,
a onda i kao metrički prostor.

Prsten se može činiti kao prilično "nesavršena" struktura,
ako nije ujedno i polje, no to je vrlo korisna struktura
(ovdje pogotovo za prsten kvadratnih matrica određenog
tipa, gdje su samo neki elementi invertibilni za množenje,
a komutativnost množenja ne vrijedi općenito).

Već u prstenu dolazi do izražaja "interakcija" dviju operacija,
zbrajanja i množenja. Tako neka svojstva na koja smo
naviknuti kod brojeva i možda bismo ih bili skloni
primjenjivati također po navici (npr. množenjem s 0
dobiva se 0) vrijede u svakom prstenu, zahvaljujući
svojstvu distributivnosti.

Imamo a0 = 0a = 0, za svaki element a iz prstena
(Propozicija 1.1.6), a dokaz je "formalno" jednak kao
kad se u vektorskom prostoru pokazuje da je
umnožak nulvektora bilo kojim skalarom jednak
nulvektoru, kao i umnožak skalara 0 s bilo kojim
vektorom.

Obratite pozornost na Zadatak 5., neposredno iza
ove Propozicije, kao i na komentar nakon njega.

Uočite da za element a prstena, oznaka -a
primarno znači suprotni element u grupi za
zbrajanje ( a + (-a) = 0), a tek se dokazuje
da je -a = (-1)a, kao što bismo i očekivali
(da bi ovo vrijedilo treba to biti prsten s jedinicom,
tu je -1 suprotni element od 1 za zbrajanje).

U obilju novih (ili relativno novih) pojmova
i dokaza (prividno) očitih činjenica, može se
učiniti kako su sve to nekakve komplikacije
očiglednih svojstava (opet poznatih iz računanja
s brojevima), no zapravo je riječ o
pojednostavljivanju. Naime, ovakav objedinjeni
pristup algebarskim strukturama rasvjetljava
kako su svojstva logički povezana, a pritom
se potvrđuje ono što otprije znamo (barem
intuitivno) u strukturama s kojima smo dosad
najčešće radili.

Najmanje polje ima svega 2 elementa, ona koje
mora imati - 0 za zbrajanje, a kad se izostavi 0
mora preostati barem 1 za množenje.
Uz pravila računanja modulo 2 (tj. 1+1 = 0)
dobiva se polje koje je itekako korisno,
premda se u ovom predmetu nećemo njime
posebno baviti.

[Juraj Siftar]

Umjesto predavanja danas i sutra, 19. i 20. ožujka,
upućujem - najkraće rečeno - na čitanje u skriptama
odjeljaka

1.2. Definicija i osnovna svojstva vektorskog prostora.
Primjeri

1.3. Linearna ljuska. Sustav izvodnica. Linearna nezavisnost.

Riječ je o ključnoj tematici za ovaj predmet te ovaj dio
obiluje važnim pojmovima, primjerima, oznakama,
tumačenjima itd.
Stoga, nije sretna okolnost da se barem djelomično ne obrađuje
"uživo", ali skripta su napisana dovoljno detaljno pa se
čitanjem po etapama (ne previše odjedanput), s razumijevanjem
i pisanjem vlastitih bilješki, gradivo može svladati.

Bit će objavljene i vježbe koje prate ovaj dio.
Nikako nemojte zanemariti uvodne dijelove i napomene,
jer sve je napisano sa sasvim određenom svrhom.

Pritom, od značajne je koristi povezivanje s otprije poznatim
vektorskim prostorima ("klasična algebra vektora"), a to
"prepoznavanje" pojmova i činjenica iz geometrijskog
konteksta u velikoj mjeri olakšava razumijevanje gradiva
koje, zaporavo, i nije sasvim novo.

Naglašavam da moguće poteškoće, ako se dobro čita,
nisu u težni pojmova i svojstava, nego više u količini
(također donekle "prividnoj") i u logičkom povezivanju.

Tako, primjerice, poznate "prostore strelica" u euklidskoj
ravnini i 3-dimenzionalnom prostoru valja dobro razumijeti
i "smjestiti" u ukupnu sliku, gdje oni predstavljaju (samo)
neke modele vektorskih prostora.

Toliko za početak, ovo je neposredni plan, a javljat ću se
ovdje s dodatnim tumačenjima i primjedbama koje smatram
korisnima.

[Juraj Siftar]

O predaji prve domaće zadaće

Krajem svakog tjedna, u uobičajenim okolnostima,
vrijeme je za predaju rješenja aktualne domaće zadaće.
Dosad smo uz samu zadaću objavljivali za koje konkretno
zadatke treba predati rješenja u pismenom obliku
(to nikad nisu bila sva), s tim da se očekuje da
su riješeni i zadaci koji se ne predaju.

Sadašnje okolnosti ne idu u prilog ovakvog pristupa,
a ne bi bilo praktično ni tražiti predaju veće količine odgovora
od studenata putem e-maila.
Međutim, jako je važno da se i studenti - slušatelji predmeta
aktiviraju i pokažu neke rezultate rada kako bismo
uspostavili stvarnu komunikaciju.

Za studente iz grupe A-LJ (podrazumijeva se, bez onih koji
su molbama iskazali želju za prijelaz u drugu grupu)
stoga zasad uvodim sljedeći oblik predaje rješenja zadaća putem
e-maila (isključivo na moju adresu, J. Šiftar, radije gmail
za juraj.siftar):

Ili kao word file ili dostatno čitljive fotografije papira s
rukom pisanim rješenjima, treba poslati:

- za 5. zadatak, rješenja bilo koja 3 podzadatka

- rješenja još dva zadatka, cijela, po svom izboru.

Rješenja ne trebaju biti pisana opširno, nego sažeto,
ali tako da budu vidljivi bitni dijelovi rješenja.
Npr. nije dovoljno napisati samo krajnji odgovor, poput
"grupa je, nije komutativna" ili "monoid je, nije grupa"
ili "nije grupoid", nego i objašnjenje, barem kratko,

Korisno je pisati rješenja na taj način jer je to i
dobra vježba za pisanje testova i drugih pismenih
provjera znanja, kao i za matematičko izražavanje
općenito.

Dakle, pošaljite mi svoja rješenja mailom, svima ću i
odgovoriti pojedinačno, samo gledajte da bude dovoljno
čitko i uredno.

Pokušajte poslati rješenja najkasnije do 23. ožujka.
Onima koji su već nešto radili to ne bi trebalo biti teško,
a za ostale ima dovoljno vremena.
Ovo shvatite ozbiljno, kao obavezu u okviru LA 1.

Važno: nemojte prepisivati, to bi bilo potpuno besmisleno.
Možete se, naravno, konzultirati međusobno, tražiti
savjete od koga želite (i od mene), ali radije nemojte
slati ništa nego prepisana rješenja.

Slobodno pitajte ako nešto nije jasno ili dovoljno precizno.
Možete i poslati rješenja pa usput pitati o nečemu što
niste znali ili niste sigurni.

Još jedanput naglašavam, ovo je samo za grupu kod
J. Šiftara i M. Grbca.

[Juraj Siftar]

Najprije informacija koja zapravo nije nova:
2. domaću zadaću pošaljite isto kao 1. zadaću,
to se i podrazumijeva, a nastojte to učiniti
do ponedjeljka, 30. travnja.

Mala zakašnjenja se toleriraju, a ako ste slučajno
iz bilo kojeg razloga spriječeni da se bavite
praćenjem predmeta i zadaćama,
pošaljite mi e-mail u tom smislu. Može i posredstvom
kolegica/kolega, ako drukčije ne ide. Plan bi bio
da se pojedina zadaća zaključi do objavljivanja
sljedeće, a nastojat ćemo zadržati ritam kakav je zasad
uspostavljen. No, nemojte nipošto zanemariti one
zadatke koji nisu bili obavezni za predaju.
Riješite ih, makar i sa zaostatkom, a za pomoć,
ako je potrebno, možete se osim meni obratiti
mailom i demonstratoricama.

Nastojte da rješenja budu napisana uredno i čitko,
u 1. zadaći uspio sam sve pročitati, ali ipak bilo
je dosta razlika u tome, s koliko napora ili sasvim
bez napora.

U sljedećem postu u ovom nizu, nešto kasnije,
prikazat ću neke primjere u vezi s pojmom
linearne ljuske.

[Juraj Siftar]

Evo najavljenih primjera o linearnim kombinacijama i
linearnoj ljusci. Ovo je "neobavezni" materijal, sekundarni
u odnosu na skripta/vježbe/zadaće, ali čitanje bi moglo
pomoći razumijevanju bitnih pojmova u primjerima
koji najprije možda izgledaju "neobično".

Znamo definiciju:
Neka je S podskup vektorskog prostora V. Linearna ljuska skupa S je
skup svih linearnih kombinacija vektora iz skupa S.
U oznaci, to je [S].

Dodatno, praktično je linearnu ljusku praznog skupa definirati kao {0},
dakle podskup od V koji sadrži samo nulvektor, a to sad nije toliko važno.

Podskup S može biti konačan ili beskonačan, a linearne kombinacije
dobivaju se uzimanjem konačno mnogo vektora iz S,
kakav god to skup bio.

Zapis linearne kombinacije može biti: ∑ α_j v_j ili npr ∑ λ_j a_j , gdje se
sumira od 1 do n po svim prirodnim brojevima n ili, ovisno o zapisu
zadanog skupa, od 1 do neke najveće moguće vrijednosti.

Podrazumijevajući da su iz skripata ili drugih izvora pročitana osnovna
svojstva povezana s linearnom ljuskom, ali ne zalazeći nužno u daljnje
pojmove (linearna nezavisnost i zavisnost, baza itd), ovdje ću iznijeti
nekoliko primjera.
Naime, kao stanovita poteškoća kod poimanja linearne ljuske
pokazuje se shvaćanje “svega što se može dobiti linearnim kombinacijama
vektora skupa S”, a to je najčešće “jako veliki skup” čak i kad je
sam S možda “jako malen” (1, 2, 3 vektora primjerice).

Čim je V vektorski prostor nad beskonačnim poljem, a S sadrži bar jedan
vektor različit od 0, linearna ljuska [S] je beskonačan skup. To bi trebalo
biti jasno, a predodžba u prostoru V^2(O) pokazuje kako se jedan vektor
množenjem svim realnim brojevima “razvlači” u cijeli pravac.

Naravno, dva nekolinearna vektora linearnim kombiniranjem daju sve
vektore iz V^2(O).

No, katkad se zbunjujućim pokazuje npr. ovakav jednostavan zadatak:

1. Odredite [S] za podskup S ⊂ R^2, S = {(x,y) : xy = 1}.

Prilično očito, [S] je cijeli R^2, ali stvar se zakomplicira ako se počne
formalno računati s linearnim kombinacijama npr. ovako:

α_1 (x1, y1) + α_2 (x2, y2) + … = α_1 (x1, 1/x1) + α_2 (x2, 1/x2) + … ,

odakle se teško išta vidi.

Bolje je uočiti da S sadrži beskonačno mnogo vektora, među kojima
dva nekolinearna možemo izabrati vrlo lako. Jednadžba xy = 1
opisuje hiperbolu, pa gledajući u V^2(O) imamo sve radijvektore kojima
je vrh na toj krivulji, na jednoj od njezine dvije grane.
Naravno, x= 0 ili y=0 ne dolaze u obzir, a “ni ne trebaju nam”.

Ako izaberemo dvije “očite” točke krivulje, npr. (1,1) i (2, ½), lako se
uvjerimo da se svaki vektor (a,b) ∊ R^2 može napisati kao
njihova linearna kombinacija.

(Sustav 2 linearne jednadžbe u kojima su nepoznanice traženi
koeficijenti u linearnoj kombinaciji, nije loše riješiti, iako je
jednostavno).

Naravno, ako smo izabrali (1,1) kao očiti vektor s vrhom na hiperboli,
ne smijemo uzeti (-1,-1) jer su kolinearni. Bilo koji od ostalih vektora (x,1/x)
zajedno s (1,1) dat će (zapravo, kažemo generirat će ili razapet će)
cijeli prostor R^2.

Koristimo li pojmove sustava izvodnica i baze: ako S sadrži bilo
koji sustav izvodnica ili, posebno, bazu prostora, linearna ljuska [S]
jednaka je cijelom prostoru, dakle korisno je, ako je moguće, prepoznati
bazu unutar “daleko većeg” skupa.
Tada je i sam S sustav izvodnica, dakako.

Stanoviti “problem” u ovom primjeru nastaje, dakle, ako se pokuša formalno
algebarski računati općenito, po definiciji, a skup S je toliko velik da se ne uoči
kako se jednostavno izaberu dva elementa koji generiraju cijeli prostor.

[Juraj Siftar]

2. U V^3(O) zadani su podskupovi T1 = { v : IvI = 1} i
T2 = { v : IvI = 2}.
Odredite presjek linearnih ljuski ovih podskupova, to jest [T1] ∩ [T2].

(Ovdje v znači vektor, umjesto v sa strelicom iznad).

Slično kao u prethodnom primjeru, ovdje može nastati problem odakle
uopće početi, a pisanje linearnih kombinacija po definiciji linearne ljuske
neće puno pomoći. I, kako uklopiti uvjet s modulom vektora, jednakim 1 ili 2?

Opet treba prepoznati zadane skupove. Oni su očito disjunktni (vektori različitih
modula), a u obje linearne ljuske svakako se nalazi nulvektor,
jer taj je uvijek u linearnoj ljusci. Vrhovi vektora prvog skupa pripadaju
sferi (plohi koja omeđuje kuglu) polumjera 1, a drugog skupa sferi polumjera 2.

I u jednom i u drugom skupu možemo izabrati po 3 nekomplanarna vektora
na koliko god želimo načina, npr. {i, j, k} i {2i, 2j, 2k}
pri čemu je prvi skup neka trojka jediničnih, međusobno okomitih vektora.

Ovdje oba skupa razapinju cijeli prostor V^3(O) pa je i njihov presjek
cijeli taj prostor.
(Iako su oni sami po sebi nekako “šuplji” i disjunktni, manja sfera unutar veće).

3. Kao prethodni zadatak, samo za T1 i T3, pri čemu
T3 = { a + b, a – b},
gdje su a i b bilo koja 2 nekolinearna vektora u V^3(O).
Opišite skupove [T1] ∩ [T3] i T1 ∩ [T3].


Nadalje, umjesto dobro poznatih prostora poput R^2 ili V^3(O),
krenimo od vektorskog prostora koji je prilično teško i zamisliti, prostora
svih realnih funkcija realne varijable.

Radi jednostavnosti zapisa, neka je sada V skup svih funkcija f: R → R.

Osim svih polinoma, svih eksponencijalnih funkcija a^x, nekih od
trigonometrijskih funkcija poput sin x, cos x, sin(ax+b), funkcije IxI itd,
ovaj prostor sadrži i različite “čudne” funkcije, uglavnom nepregledno obilje
funkcija.
No, linearna ljuska nekog “malog” podskupa S od V ne mora biti jako
komplicirana, premda je to opet beskonačan skup čim podskup S nije trivijalan.

Recimo, za f(x) = sin x, g(x) = cos x, [ {f, g} ] je skup svih funkcija oblika
φ (x) = a sin x + b cos x, što je važan oblik funkcija u raznim primjenama.

Nalazi li se konstantna funkcija j(x) = 1 u linearnoj ljusci skupa {f, g} ?
Ne, jer iako vrijedi sin^2 x + cos^2 x = 1, pa se konstanta 1 može “nekako”
izraziti pomoću sinusa i kosinusa, to nije linearna kombinacija, nego drukčija
algebarska kombinacija (polinom stupnja 2 u dvije varijable).

Međutim, ovo samo po sebi nije potpuni odgovor, jer ako poznata formula
nije ovdje primjenljiva, zbog kvadrata, postoji li možda neka druga formula,
u obliku linearne kombinacije? Ne postoji, ali to treba dokazati (laganim) računom,
uzimajući pritom u obzir da je riječ o jednakost funkcija.

Funkcije koje imaju jednake domene i kodomene podudaraju se ako se podudara
njihovo djelovanje na svaki element domene, iako mogu biti zadane na različite
načine.

Ako bi vrijedilo a sin x + b cos x = 1 za neke (čvrste) koeficijente a i b, i to za
svaki realni broj x, te koeficijente mogli bismo izračunati uvrštavanjem nekih
pogodnih vrijednosti x. Uvrstimo li npr. x = 0 pa zatim x = π/2, dobijemo
a = b = 0, time i proturječje. (Očito je 1 “jako daleko” od prikaza kao linearna
kombinacija sinusa i kosinusa).

Do kraja ću, manje strogo, funkcije pisati pomoću formula kojima su zadane,
a ne oznakama poput f, g, j, radi lakše čitljivosti.

Dalje, konstantna funkcija j, j(x)= 1, pripada linearnoj ljusci skupa {sin^2 x , cos^2 x}.
Zbog poznate relacije cos (2x) = cos^2 x - sin^2 x također je i cos (2x) u
linearnoj ljusci istog skupa.
Lako se uvjerimo da je onda [ {cos^2 x , sin^2 x}] = [{1, cos (2x)}]. Uočimo da je ovo
samo posebni slučaj jednakosti
[{a, b}] = [{a+b, a- b}] u bilo kojem (realnom) vektorskom prostoru,
za dva vektora a i b.
U V^3(O) ta linearna ljuska je oblika pravca ili ravnine (kroz ishodište O).

U prostoru svih realnih funkcija smisao je isti, premda pojedini vektori nisu
“strelice” nego funkcije (koje možemo, ako su dobro poznate kao ove navedene,
vizualno predočiti i njihovim grafovima pa ćemo linearnim kombinacijama krivulja
"tipa sinusoide" dobiti druge krivulje takvog tipa ili pravce).

Još jedan mali zadatak:

Pripada li funkcija sin(2x) linearnoj ljusci [{1, cos (2x)}] ?
Odgovor “ne, jer ne znamo takvu formulu” nije dostatan, treba to provjeriti računom
pomoću jednadžbi za tražene koeficijente (jedan način) ili izravno iskoristiti
već pokazanu činjenicu da 1 ne pripada linearnoj ljusci sinusa i kosinusa.
Kako se to točno može učiniti?

[Euler]

Ako bi vrijedilo a sin x + b cos x = 1 za neke (čvrste) koeficijente a i b, i to za
svaki realni broj x, te koeficijente mogli bismo izračunati uvrštavanjem nekih
pogodnih vrijednosti x. Uvrstimo li npr. x = 0 pa zatim x = π/2, dobijemo
a = b = 0, time i proturječje.


Možete li objasniti zaključak da a=b=0? Kada bi uzeli dvije jednadžbe te u jednu uvrstili x=0, a u drugu x=pi/2 dobili bi a=b=1 jer prema ovom računu (koji je vjerojatno kriv) ispada da se 1 moze dobiti na sljedeći način:
1=1*sin(pi/2)+b*cos(pi/2) za bilo koji b te 1=a*sin0+1*cos0 za bilo koji a.
Jasno mi je da jednakost a*sinx + b*cosx=1 mora vrijediti za sve x-eve, a posto ocito ne vrijedi za sve, to znaci da se konstanta 1 nikako ne moze naci u ljusci {sinx,cosx}, samo me zanima dokaz da je a=b=0 kojim smo, naravno, došli do kontradikcije.

Unaprijed hvala.

[Juraj Siftar]

Imate potpuno pravo, hvala za ispravak.

Bio je to moj lapsus, naime jednakost
a sin x + b cos x = 0 odnosila bi se na
provjeru linearne nezavisnosti skupa
{f, g}, f(x) = sin x, g(x) = cos x,
što sam također razmatrao da usput uvrstim.
pa onda odustao i na brzinu se zabunio.

J. Š.

[Euler]

Što se tiče nasljeđivanja svojstava, npr. u 1. b), je li ispravno reći da su komutativnost i asocijativnost naslijeđeni iz skupa realnih ili cijelih brojeva, ili je svejedno budući da Z ⊂ R?
Možemo li reći kako je očito da su (L,+), (B,+), (C,+), (M,+) Abelove grupe (jer su to jednostavna koordinatna zbrajanja elemenata iz skupova brojeva čija su svojstva naslijeđena iz R) redom u zadatcima 4., 5. a), 5. b) te 7. b)?

Unaprijed hvala.

[Juraj Siftar]

Ovako.

U zadatku 1.(b) nasljeđuju se svojstva iz (cijelog) R,
jer je obuhvaćen i kvadratni korijen iz 7 (i računanje
s njim, jasno).

Za većinu ostalih pitanja, redom o Abelovim grupama -
dobro da je spomenut i zadatak 5.(a), naime skup B.

Ako se pažljivo ispita je li B Abelova grupa, vidi li se
kakav problem?
(Problem koji se, doista, ne pojavljuje u ostalim navedenim
zadacima).

Operacije jesu jednostavna koordinatna zbrajanja, ali
postavlja se pitanje "zatvorenosti" pojedinog skupa
primjenom odgovarajuće operacije.

Zasad još nismo "službeno" uveli pojam potprostora
vektorskog prostora, ali ne treba to tajiti - riječ je o
pitanju podstrukture: podgrupa, potprsten, potpolje i -
nama ovdje najvažnije - vektorski potprostor.

U primjerima u zadaći pojavljuju se svi navedeni.

Podstrukturu čini podskup strukture (bila to (G, *) ili
(P, + , *) ili što već) koji i sam ima svojstva dotične
strukture, i to s obzirom na iste operacije (zapravo,
njihove restrikcije, jer se domena "smanjila", a pritom
se i kodomena mora "smanjiti" na odgovarajući skup).

Za vektorski potprostor trebamo, kao prvo, podgrupu
Abelove grupe koja je dio vektorskog prostora.
No, također, potrebno je i množenje skalarom tako da
se množenjem elemenata te podgrupe dobivaju
ponovno njezini elementi.
Kad se dobro pogleda podskup B, u standardnom
vektorskom prostoru R^4...?

Pri rješavanju ovih zadataka nije potrebno znati
pojam potprostora, ali se može točno "osjetiti" o
čemu se radi. Malo dalje u skriptama možete naći
i definiciju i jednostavnu karakterizaciju potprostora.
Ovdje je, zasad, samo vježbanje provjere svojstava
vektorskog prostora (što ćemo kasnije raditi kao
"Ispitajte je li potprostor").

[Juraj Siftar]

Prethodnih dana bilo je puno posla oko 2. domaće zadaće -
rješavanje zadaća kao i pregledavanje, ispravljanje i dodatna objašnjenja.

Tako je došlo do malog zastoja u napretku s gradivom, to jest
učenju po skriptama ili drugim izvorima iz literature.

Slijedi objavljivanje 3. domaće zadaće, u kojoj će do izražaja
doći odjeljak 1.3. u skriptama, a svakako i vježbe otprije
dostupne na web stranici predmeta.

No, treba krenuti i nešto dalje, a to znači na odjeljak 1.4.
u skriptama, zasad samo djelomično.

Pojam baze vektorskog prostora jedan je od ključnih pojmova.
Zasad pročitajte prve tri stranice (33-35) odjeljka

1.4. Baza vektorskog prostora. Dimenzija.

Bitno je: definicija baze, primjeri baze i Teorem 1.4.2.
koji daje karakterizaciju baze, čime se ujedno iskazuje
i čemu točno služi baza.

Važno je povezati prethodno s poznatim gradivom iz
Analitičke geometrije, gdje se sve to učilo na primjeru
vektorskih prostora u euklidskoj ravnini i prostoru.
Tamo je svaka činjenica imala i geometrijsku interpretaciju,
što ni ovdje ne valja zanemariti, iako se ne prenosi
izravno u općenite (konačnogenerirane) vektorske prostore.

[Juraj Siftar]

Objavljena je 3. domaća zadaća.

Vidjet ćete da je donekle različita od prethodnih,
jer je nešto više "računska", a manje "teorijska".

Ipak, treba dobro uvježbati pojmove koji su u
zadaći zastupljeni i istaknuti u naslovu.

Uzmite u obzir da se dio objavljenih vježbi odnosi
na ovo gradivo, što bi vam moglo znatno pomoći.

Za grupu A-Lj : nastojte rješenja poslati najkasnije
do 6. travnja.

J. Š.

[Juraj Siftar]

Nakon početka odjeljka o bazi vektorskog prostora,
u ovom tjednu plan je završiti taj odjeljak (1.4.),
što uključuje bitan pojam dimenzije
te prijeći na 1.5. Potprostori vektorskog prostora.

Sve studentice i studenti koji su slali rješenja
domaćih zadaća dobit će sutra e-mailom detaljnije
upute i sažetak navedenog gradiva te još neke
komentare radi lakšeg i boljeg svladavanja materije
(dakako, uz skripta kao glavni izvor).

[Juraj Siftar]

Ne bih želio forsirati LA baš za blagdane,
ali primio sam ovaj tjedan prilično veliki broj
pitanja o rješavanju 1.(g) zadatka iz 3. zadaće
pa i prijedloge da se na forumu objavi
detaljno objašnjenje.

Zato ću ovdje (samo) ukopirati dijelove
e-mailova koje sam nekima poslao
pojedinačno, a onda je bilo odgovora da im je
i koristilo. Dakle, citati iz mailova pa tko
želi, neka pročita. Možda će izgledati kao
pretjerano objašnjavanje banalnih stvari,
ali doista su to odgovori podešeni prema
konkretnim pitanjima, s nastojanjem da
bude čim jasnije.

1. citat:

Ova lin. kombinacija a sin x + b cos x + c sin (2x)
trebala bi biti jednaka 0 kao funkcija, dakle za svaki
pojedini realni broj x.

Svaki x daje neku jednadžbu i to je onda kao
beskonačno lin. jednadžbi s nepoznanicama a, b i c.
No, budući da su tu samo 3 nepoznanice, već 3 jednadžbe
(nezavisne) dat će rješenje. Podudaranje nekakve
lin. kombinacije sin x, cos x i sin (2x) s 0
već u 3 različite točke implicira da ta kombinacija mora
biti trivijalna.

Zamislite različite "valovite" krivulje (tipa sinusoide)
koje dobivate linearnim kombinacijama.
(To se može dobiti i na dobrom grafičkom kalkulatoru
ili negdje online).
Zamislite, čisto intuitivno, je li izgledno da bi se izborom
3 koeficijenta "valovita" krivulja mogla skroz izravnati
u pravac? Teško. Nikako, osim trivijalno, s (0,0,0).

Za primjer nisu potrebne trigonometrijske funkcije,
dovoljni su i polinomi, jer to je zapravo jako važan
teorem o nulpolinomu.

Jedini način da se linearno kombiniraju pravac y = 1,
pravac y = x i parabola y = x^2 tako da se dobije y = 0
jest trivijalan način.

Ne možemo s 3 koeficijenta odjednom "ispeglati" ta dva
pravca (čak iako je jedan od njih horizontalan)
i jednu parabolu pa da se dobije y = 0.

Ne možemo već ni s pravcima y = 1 i y = x to učiniti,
jer a1 + bx = 0 za svaki x znači bx = -a za svaki x.
Moguće samo za a = 0 i b = 0.

2. citat:

Za 1(g) - treba dobro shvatiti (a nije teško) što znači jednakost
funkcija i što znači linearna kombinacija funkcija.

Ako podudaranje lin. kombinacije a f1 + b f2 + c f3
i konstante 0 već u jednoj točki, očito npr. u 0, daje
kao posljedicu da b = 0, onda mora biti tako.

Lin. kombinacija, ova navedena, trebala bi biti
funkcija koja se za sve x podudara s 0.
Podudaranje već u točki 0 ima "za cijenu" da mora biti b=0,
a za a i c treba još računati.

Ali, recimo da pustimo nule (namjerno) izvan rješavanja,
izaberite za x npr vrijednosti pi/4, -pi/4 i pi/6.
Uvrstite i dobit ćete 3 jednadžbe za a, b, c, s 0 na desnoj strani.
U svakoj od njih pojavit će se i a, i b i c.
Riješite sustav. Što ste dobili za a, b i c? Gotovo.

Svaki x daje jednu jednadžbu. Praktički je unaprijed "beznadno"
da bi beskonačno jednadžbi bilo ispunjeno izborom
3 koeficijenta, koji nisu svi 0.
Već 3 točke mogu dati 3 jednadžbe i rješenje - samo 0,0,0.

Rješenje za a,b, c mora pripadati jednoj linearnoj kombinaciji,
a ne da bi se linearna kombinacija mijenjala od točke do točke.
Ne može biti npr f3 = 2f1 - f2 u nekom x1, a f3 = -2f1 + 2 f3
u nekom x2, različitom od x1. To bi bilo samo

f3 (x1) = (2f1 - f2)(x1) i
f3 (x2) = (-2f1 + 2 f3)(x2),

(grafički - presijecanje grafova u dvjema točkama,
a ne podudaranje duž cijelog R).

Funkcije su jednake ako poprimaju jednaku vrijednost
za svaki element domene (koja im je zajednička naravno).


Ili, uzmite još formulu sin(2x) = 2 sin x cos x.
Jednakost vrijedi za svaki x. To je onda jednakost funkcija,
odnosno ista funkcija izražena pomoću dva različita zapisa.

Ali, to nije linearna kombinacija. Recimo da netko pita -
kako mi znamo da možda ne postoji i neka formula
oblika sin(2x) = a sin x + b cos x?

Odgovor: "kad bi postojala, sigurno bismo ju već učili"
zvuči razumno, ali nije to matematički argument.
Nego, hajdemo izračunati je li to moguće za neke a i b.
Uvrstimo x=0 pa dobijemo b =0.

Isti taj b=0 dakle već je određen podudaranjem u jednoj točki
pa teško da će za bilo koji a doći do podudaranja u
svim ostalim točkama: sin(2x) = a sin x.

Uvrstimo što hoćemo (ali ne višekratnik od pi, jer daje 0 = 0
jednakost) nego npr. x = pi/2 pa je odmah 0 = a i gotovo.
No, sin(2x) nije konstantno 0 pa smo dobili proturječje.

Ponovite si teorem o nulpolinomu - to je u biti ista stvar,
samo s polinomima oblika x^n.
Polinom je linearna kombinacija takvih. Kakvi sve mogu
biti koeficijenti da bi polinom stupnja n bio
identički jednak 0?

Potrebno je n+1 jednadžbi jer toliko ima nepoznanica
(koeficijenata). Jedino rješenje je da su svi 0.

Zato npr. ne možemo x^4 izraziti kao lin. kombinaciju
od x^3, x^2, x i 1.
(To što je x^4 = x x ^3 ili x^4 = (x^2)^2 ovdje nema
značaja, jer to nisu linearne kombinacije).

[Juraj Siftar]

U mnogim domaćim zadaćama koje pristižu ovih dana
primjećuje se (uobičajena) zabuna s miješanjem
pojmova dimenzije vektorskog prostora i broja elemenata
(kardinalnog broja) skupa vektora.

U kontekstu o kojem je riječ samo vektorski prostor
može imati dimenziju . Ako je konačnodimenzionalan,
dakle ako ima bazu koja je konačan skup vektora, onda
su sve baze tog prostora jednakobrojne (Teorem!) i taj
broj elemenata (bilo koje) baze naziva se dimenzija.

Baza nema dimenziju. Njezina linearna ljuska ju ima.
(Konačna) baza ima svoj broj elemenata. To je, "stručno"
rečeno, kardinalni broj.

Pogrešno je miješati te pojmove. Jako pogrešno.

Podskup S vektorskog prostora V općenito nema dimenziju,
ali linearna ljuska [S] sigurno ima dimenziju
(ako je V konačnodimenzionalan).

Podskup S vektorskog prostora može biti i beskonačan,
a da je [S] konačnodimenzionalan (pot)prostor.
Vektorski prostor nad beskonačnim poljem uvijek
je beskonačan skup (ako nije trivijalan, tj. ako
sadrži bar jedan vektor osim nulvektora).
No, može i ne mora biti konačnodimenzionalan.

S ima dimenziju ako i samo ako je S = [S], dakle ako je S
vektorski prostor kao takav.

Važno je čim prije ukloniti lošu naviku (ništa novo, svake
godine se ponavlja) miješanja S i [S], kardinalnog broja
i dimenzije, pisanja "dimenzija baze" i slično.

Nije to samo "formalnost" nego odraz razumijevanja
pojmova. I na ispitima se dosta često čuje kako
dimenzija vektorskog prostora znači "koliko ima vektora
u vektorskom prostoru". Pripazite.

[Juraj Siftar]

5. domaća zadaća uglavnom je povezana
s odjeljkom 1.6. u skriptama. To je ujedno
zadnji odjeljak poglavlja 1. Vektorski prostori,
čime se upotpunjava upoznavanje osnovnih
svojstava vektorskih prostora, s naglaskom
na konačnodimenzionalne, dakako.

Dakle, treba čitati i učiti 1.6.
Usporedno su tu i već objavljene vježbe.

Prije nekoliko napomena o gradivu tog odjeljka,
još ponešto o domaćim zadaćama.
Bilo bi poželjno da ih čim više šaljete u PDF
formatu, kao što je dosta veliki broj učinio
sa 4. zadaćom, radi pripreme/vježbe za
postupak konverzije za test.
To se pokazalo jako dobrim, jer su zadaće
preglednije i čitljivije u tom formatu.

Uz to, molim da se pokuša malo kvalitetnije
pisati i snimati rješenja (ovo se ne odnosi sad
ni na koga pojedinačno, no ukupno imam za
čitati puno snimaka npr. slabašnog traga
olovke na papiru s kvadratićima, prejako
osvijetljenog u sredini, a pretamnog na rubovima...
itd). S druge strane, ima po nekoliko tako izvrsno
napisanih i snimljenih rješenja da neskromno
poželim da sva budu takva...ili barem njih 75%.
Takva rješenja pregledam za minutu-dvije,
bez naprezanja očiju i živaca.

Sad o 1.6.
Tu su glavni novi pojmovi presjek potprostora
(pojam zapravo nije nov), suma potprostora
te direktni komplement potprostora.

Gledajući u poznatoj geometriji euklidske
ravnine ili, bolje, prostora sve se može
ilustrirati odavno poznatim razmatranjem
"međusobnog položaja" dvije ravnine,
ravnine i pravca, dva pravca...
S tim da, kad je riječ o vektorskom prostoru
V^3(O), tu nema disjunktnosti/paralelnosti
jer svaka dva potprostora (kao i u bilo kojem
vektorskom prostoru) imaju zajednički
barem nulvektor pa im je presjek možda
samo potprostor {0}, ali nikad prazan.

Ovdje su 2-dim. potprostori ravnine koje
imaju zajedničku točku O pa onda ili se
sasvim poklapaju ili im je presjek jedan
pravac, dakle 1-dim. potprostor.

Ostali presjeci nisu toliko zanimljivi, ali
važno ih je uočiti: pojedini pravac ili
je sadržan u ravnini ili s njom ima samo
jednu zajedničku točku (O).

Općenito, skupovna operacija presjeka
"dobro se ponaša" prema potprostorima:
presjek dva, tri, bilo koliko (pa i beskonačno
mnogo) potprostora uvijek je potprostor.
Možda samo trivijalan, ali ipak potprostor.
Dokaz je krajnje jednostavan.

Zašto nam je to, primjerice, važno?
Skup svih rješenja sustava (linearnih) jednadžbi
upravo je presjek skupova rješenja svih
pojedinih jednadžbi sustava. To će se
razrađivati u 3. poglavlju.

S unijom potprostora nije tako jednostavno,
ali nije niti naročita komplikacija.
Unija dva potprostora bit će također potprostor
ako i samo ako je jedan od tih potprostora
sadržan u drugom. (Sličica: unija pravca i
ravnine u euklidskom prostoru. Koji su mogući
slučajevi?).

Dakle, ako želimo potprostor koji će
sadržavati neka dva promatrana/zadana
potprostora, općenito nije dovoljno uzeti
njihovu uniju. (Općenito će unija biti
"jako daleko" od potprostora). Podskup
vektorskog prostora je potprostor ako
i samo ako se podudara sa svojom
linearnom ljuskom. (Iznimka je prazan skup,
što nam sad nije zanimljivo).

Stoga se suma L+M potprostora L i M definira kao
linearna ljuska njihove unije. Već po samoj
definiciji suma je potprostor (moguće cijeli
prostor).
L+M = [ L U M]
Srećom, taj skup nije teško zamisliti jer se
sastoji upravo od svih vektora a+b, pri čemu
je a iz L, b iz M.

Bilo koja dva potprostora sadrže svoj presjek,
a sadržani su u svojoj sumi. Načelno, to mogu
(ali ne moraju) biti 4 različita potprostora.

Opet, osnovni "zanimljivi" primjer su dva
različita 2-dim. potprostora (dvije ravnine
kroz točku O). Presjek im je pravac, suma
im je cijeli prostor.
Gledajući dimenzije, to su redom 1,2,2,3.
Imamo primjer važne formule koja se
odnosi na konačnodimenzionalne potprostore
L i M (prostor V u kojem su sadržani ne mora
biti konačnodimenzionalan, ali suma L+M
to sigurno jest).
Kao što je 2+2 = 1+3, tako općenito
vrijedi
dim L + dim M = dim (L ∩ M) + dim (L+M).

Lijepa, važna i lako pamtljiva formula.

Dalje - u 1.6., da sad ne prepričavam ovdje baš
sve, nego samo osnovne ideje.

No, zaključno - posebna vrsta sume jest
direktna suma potprostora, a to je slučaj
kada je L ∩ M = {0}.
Posebno, ako je direktna suma neka dva
potprostora cijeli prostor V, onda imamo
"rastav" V u direktnu sumu. (Može biti i više
od 2 potprostora).
To je primjer (u matematici važnog koncepta)
rastava složenijeg objekta u neke jednostavnije
odnosno u neke koji imaju posebna svojstva.

Za zanimljive primjere pogledajte 3. i 4.
zadatak u već otprije objavljenim vježbama.