Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
Juraj Siftar Gost
|
Postano: 17:45 uto, 26. 5. 2020 Naslov: O izračunavanju determinanti u 10. zadaći |
|
|
Budući da uz pregledavanje 10. domaće zadaće
šaljem puno sličnih primjedbi pojedinačno,
moglo bi biti korisno pravodobno neke upute
objaviti ovdje.
Kod zadanih determinanti većinom nije svrha
naporno računanje s "nezgodnim" brojevima, nego
vježbanje svojstava determinante kako bi se
pojednostavljivanjem došlo do oblika koji se
vrlo lako izračuna.
Npr. u 1. zadatku, podzadatak s "puno" kvadratnih
korijena rješava se u nekoliko koraka bez imalo
napora, pogotovo ako se odmah izluče očigledni
faktori. Puno (suvišnog) računa s korijenima često
dovodi do pogrešaka.
U 3. zadatku treba pripaziti - zadana matrica nije
kvadratna, ali njezin umnožak s transponiranom
jest kvadratna. Zato se Binet-Cauchyjev teorem
ne može primijeniti izravno (barem ne u nama poznatom
obliku). Nije baš zabavno izravno množiti A^t i A
(ali dovodi do rezultata).
No, ako se uoči koliki je rang A pa onda koliki može
biti rang A^t A, vrlo lako se vidi vrijednost det (A^t A).
Može se primijeniti ili Propozicija 2.5.12. iz skripata
ili se A može prikazati kao umnožak kanonske i regularne
(tu regularnu ne treba točno izračunati nego se samo
poslužiti svojstvima regularne matrice).
Kod 7. zadatka uočava se ponegdje nesporazum pri shvaćanju
uloge varijable n, koja se pojavljuje i kao red determinante
i kao element/skalar u determinanti.
Dakle, n treba shvaćati istodobno na oba načina
i to za n = 2, 3 i 4 (pod (a) i (b)),
dok u (c) (neobavezan za predati, ali neki ga rješavaju
i to je korisno) determinanta je reda n i u njoj se
pojavljuje n (ili kao element ili u indeksu parametra).
Za n=2,3,4 lako se rješava, a ti rezultati služe i kao
naznaka što bi se moglo očekivati i kako to raditi
za opći n.
Budući da uz pregledavanje 10. domaće zadaće
šaljem puno sličnih primjedbi pojedinačno,
moglo bi biti korisno pravodobno neke upute
objaviti ovdje.
Kod zadanih determinanti većinom nije svrha
naporno računanje s "nezgodnim" brojevima, nego
vježbanje svojstava determinante kako bi se
pojednostavljivanjem došlo do oblika koji se
vrlo lako izračuna.
Npr. u 1. zadatku, podzadatak s "puno" kvadratnih
korijena rješava se u nekoliko koraka bez imalo
napora, pogotovo ako se odmah izluče očigledni
faktori. Puno (suvišnog) računa s korijenima često
dovodi do pogrešaka.
U 3. zadatku treba pripaziti - zadana matrica nije
kvadratna, ali njezin umnožak s transponiranom
jest kvadratna. Zato se Binet-Cauchyjev teorem
ne može primijeniti izravno (barem ne u nama poznatom
obliku). Nije baš zabavno izravno množiti A^t i A
(ali dovodi do rezultata).
No, ako se uoči koliki je rang A pa onda koliki može
biti rang A^t A, vrlo lako se vidi vrijednost det (A^t A).
Može se primijeniti ili Propozicija 2.5.12. iz skripata
ili se A može prikazati kao umnožak kanonske i regularne
(tu regularnu ne treba točno izračunati nego se samo
poslužiti svojstvima regularne matrice).
Kod 7. zadatka uočava se ponegdje nesporazum pri shvaćanju
uloge varijable n, koja se pojavljuje i kao red determinante
i kao element/skalar u determinanti.
Dakle, n treba shvaćati istodobno na oba načina
i to za n = 2, 3 i 4 (pod (a) i (b)),
dok u (c) (neobavezan za predati, ali neki ga rješavaju
i to je korisno) determinanta je reda n i u njoj se
pojavljuje n (ili kao element ili u indeksu parametra).
Za n=2,3,4 lako se rješava, a ti rezultati služe i kao
naznaka što bi se moglo očekivati i kako to raditi
za opći n.
|
|
[Vrh] |
|
Juraj Siftar Gost
|
Postano: 2:54 čet, 28. 5. 2020 Naslov: |
|
|
Još nešto o det (A^t A) i det (A A^t), općenito.
Ako je A tipa (m,n), pri čemu su m i n različiti,
onda je A A^t kvadratna reda m,
dok je A^t A kvadratna reda n.
Jedna od njih može biti regularna, npr, ako je m<n,
moguće je r(A) = m i također r(A A^t ) = m,
ali r(A^t A) < n pa je det A^t A = 0.
Npr. za A = [ 1 2], A A^t = [5],
dok je A^t A = [ 1 2 // 2 4], ranga 1 i det. je 0.
U 3. zadatku je m = 4, n = 5, ali r(A) = 2
pa niti A A^t nije regularna.
Naravno, ako je A kvadratna, det A^t A = det A A^t = (det A)^2.
Dakle, treba pripaziti: vrijedi r(A) = r(A^t),
ali [i]ne općenito[/i] i rang A^t A = rang A A^t .
Još nešto o det (A^t A) i det (A A^t), općenito.
Ako je A tipa (m,n), pri čemu su m i n različiti,
onda je A A^t kvadratna reda m,
dok je A^t A kvadratna reda n.
Jedna od njih može biti regularna, npr, ako je m<n,
moguće je r(A) = m i također r(A A^t ) = m,
ali r(A^t A) < n pa je det A^t A = 0.
Npr. za A = [ 1 2], A A^t = [5],
dok je A^t A = [ 1 2 // 2 4], ranga 1 i det. je 0.
U 3. zadatku je m = 4, n = 5, ali r(A) = 2
pa niti A A^t nije regularna.
Naravno, ako je A kvadratna, det A^t A = det A A^t = (det A)^2.
Dakle, treba pripaziti: vrijedi r(A) = r(A^t),
ali ne općenito i rang A^t A = rang A A^t .
|
|
[Vrh] |
|
Juraj Siftar Gost
|
Postano: 12:09 pet, 29. 5. 2020 Naslov: |
|
|
Za isti zadatak, 3. iz 10. zadaće, kod pregledavanja
nekih rješenja u kojima se nastojalo iskoristiti upute
o primjeni ranga matrice A kako bi se zaključilo da
rang matrice A^t A nije maksimalan (pa da je
det A^t A zato jednaka 0)
uočavaju se još neke pojedinosti koje bi dobro bilo
razjasniti.
Jedan pokušaj pojednostavljenja, koji općenito nije
korektan, sastoji se u tome da bi rang umnoška
dviju (ulančanih) matrica bio jednak umnošku rangova
njima ekvivalentnih (moguće kanonskih) matrica.
U smislu da za neke ulančane matrice X i Y svaku
od njih pojednostavnimo elementarnim transformacijama
(do kanonske ili blizu kanonske), označimo dobivene s X' i Y',
pa da bi onda rang XY bio jednak rangu X' Y'.
To je ponekad točno, ali općenito nije. Svakako, istina je
npr ako su obje matrice regularne.
Uzmimo npr. matricu X = [ 0 1 // 0 0]
(zapis po retcima).
X je ranga 1, a XX = O (nulmatrica).
Uzmimo još elementarnu matricu T = [ 0 1 // 1 0].
Vrijedi XT = [ 1 0 // 0 0] (kanonska ranga 1).
XTX = X, ranga 1, a r(XX) = r(O) = 0.
Dakle, već XTX ne mora imati jednaki rang kao XX,
a izvedena je samo jedna elementarna transformacija.
(naravno, i XT XT = XT).
Vidimo da iz X~X' i Y~Y' [i]ne slijedi[/i] XY ~ X'Y'.
Za isti zadatak, 3. iz 10. zadaće, kod pregledavanja
nekih rješenja u kojima se nastojalo iskoristiti upute
o primjeni ranga matrice A kako bi se zaključilo da
rang matrice A^t A nije maksimalan (pa da je
det A^t A zato jednaka 0)
uočavaju se još neke pojedinosti koje bi dobro bilo
razjasniti.
Jedan pokušaj pojednostavljenja, koji općenito nije
korektan, sastoji se u tome da bi rang umnoška
dviju (ulančanih) matrica bio jednak umnošku rangova
njima ekvivalentnih (moguće kanonskih) matrica.
U smislu da za neke ulančane matrice X i Y svaku
od njih pojednostavnimo elementarnim transformacijama
(do kanonske ili blizu kanonske), označimo dobivene s X' i Y',
pa da bi onda rang XY bio jednak rangu X' Y'.
To je ponekad točno, ali općenito nije. Svakako, istina je
npr ako su obje matrice regularne.
Uzmimo npr. matricu X = [ 0 1 // 0 0]
(zapis po retcima).
X je ranga 1, a XX = O (nulmatrica).
Uzmimo još elementarnu matricu T = [ 0 1 // 1 0].
Vrijedi XT = [ 1 0 // 0 0] (kanonska ranga 1).
XTX = X, ranga 1, a r(XX) = r(O) = 0.
Dakle, već XTX ne mora imati jednaki rang kao XX,
a izvedena je samo jedna elementarna transformacija.
(naravno, i XT XT = XT).
Vidimo da iz X~X' i Y~Y' ne slijedi XY ~ X'Y'.
|
|
[Vrh] |
|
|