| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
 Postano: 17:32 pon, 23. 3. 2020 Naslov: |
    |
|
|
Nekoliko pitanja kao pomoc u samoprocjeni jeste li shvatili gradivo.
1) Ako vrijede opci aksiomi konstruktivne geometrije (A1-A5), zasto je dovoljno zahtijevati da vrijedi drugi aksiom ravnala i drugi aksiom sestara?
2) Napisite po jednu nemogucu, odredjenu i neodredjenu konstruktivnu zadacu (razlicite od primjera u skripti).
3) Dane su nekolinearne tocke A,B,C. Konstruirajte na kruznicu opisanu trokutu ABC tangentu koja
i) prolazi tockom C
ii) je paralelna s pravcem AB
4) Zadajte neku konstruktivnu zadacu koja ima tocno
i) 1 rjesenje
ii) 2 rjesenja
iii) 4 rjesenja
5) Koja je razlika izmedju mogucih i elementarno rjesivih zadaca?
6) Usporedite i komentirajte koje od ovih konstruktivnih zadaca znate rijesiti:
prenijeti duzinu / prenijeti kut,
raspoloviti duzinu / raspoloviti kut,
podijeliti u zadanom omjeru duzinu / podijeliti u zadanom omjeru kut.
7) Koji su dijelovi rjesenja konstruktivne zadace?
8 ) Konstruirajte cetverokut ABCD kojemu su zadane duljine svih stranica i kut pri vrhu A. Trebate napraviti sva cetiri dijela u rjesenju.
9) Smijemo li u metodi presjeka isti uvjet koristiti u vise (neodredjenih) zadaca?
10) Koliko rjesenja moze imati konstruktivna zadaca ako zadaca koju smo iz nje dobili izbacivanjem jednog uvjeta ima dva rjesenja?
11) Zadane su tri tocke A,B,C. Odredite kruznicu od koje su zadane tocke udaljene za d.
12) Odredite geometrijsko mjesto tocaka jednako udaljenih od dvije dane kruznice jednakih polumjera.
13) Odredite geometrijsko mjesto tocaka iz kojih se zadani jednakostranicni trokut vidi pod kutom od 60 stupnjeva.
(Odredite geometrijsko mjesto tocaka iz kojih se zadani kvadrat vidi pod kutom od 45 stupnjeva. Rjesenje: [size=2]unija 8 kruznih lukova kojima su krajevi vrhovi kvadrata konstruiranih nad stranicama zadanog kvadrata[/size])
14) Odredite geometrijsko mjesto tocaka za koje je suma kvadrata udaljenosti od dvije fiksne tocke A,B jednaka [tex]|AB|^2[/tex].
15) Sto je Apolonijeva kruznica i kako biste je konstruirali ako vam je zadan omjer 2:3 ? Provedite konstrukciju.
16) Ako je zadana duzina duljine [tex]a[/tex], konstruirajte duzine duljina [tex]a\sqrt{2},\ a\sqrt[4]{2},\ a/\sqrt[8]{2}[/tex].
17) Zadane su duljine a,b,c. Konstruirajte aritmeticku, kvadratnu i harmonijsku sredinu tih triju duljina.
Dovedite u vezu poseban slucaj njihove geometrijske sredine s jednim klasicnim problemom starih Grka.
18 ) Zasto u definiciji izometrije nismo morali zahtijevati injektivnost?
19) Moze li izometrija preslikati kruzni luk koji je jako blizu svojoj tetivi u tu tetivu?
20) Zasto izometrije s operacijom kompozicije cine grupu, a ne samo monoid?
21) Navedite primjer razlicit od onoga u skripti koji pokazuje da izometrije opcenito ne komutiraju.
22) Definirajte fiksnu tocku, fiksni pravac, pravac fiksan po tockama.
Bi li imalo smisla da definiramo tocku fiksnu po pravcima kao tocku za koju su svi pravci koji ju sadrze fiksni?
23) Znate li neku izometriju razlicitu od identitete za koju je [tex]f \circ f \circ f[/tex] identiteta?
Moze li takva izometrija biti involutorna?
24) Naucite dobro napamet definiciju osne i centralne simetrije tako da znate objasniti sve pojmove iz te definicije.
25) Dokazite: Ako je f involutorna izometrija, onda tockom koja nije fiksna za f prolazi tocno jedan pravac fiksan za f.
Moze li taj pravac biti fiksan po tockama?
Sto ako je zadana tocka fiksna, mora li i dalje kroz nju prolaziti tocno jedan pravac fiksan za f?
26) Koji su fiksni elementi osne simetrije, a koji centralne simetrije?
27) Zasto neka osna simetrija ne bi bila i centralna simetrija?
Dobro razmislite o ovom zadatku!
28 ) Nacrtajte neki pravac [tex]a[/tex] i tocku [tex]A[/tex] izvan njega. Samo iz definicija i svojstava koji su obradjeni u potpoglavlju 2.1 skripte za predavanja odredite [tex]s_a(A)[/tex] i [tex]s_A(a)[/tex].
Pripazite, ne mozete presutno koristiti ono sto "znate" o osnoj i centralnoj simetriji iz dosadasnjeg skolovanja.
29) Za zadanu tocku A te pravce p i q, odredite u kakvoj su vezi
i) [tex]A,\, p,\, s_p(A)[/tex]
ii) [tex]p,\, q,\, s_p(q)[/tex]
30) Koji su fiksni pravci izometrije [tex]s_b \circ s_a[/tex] (ispitajte sve mogucnosti za pravce a i b, tj. cetiri slucaja)?
31) Zasto Teorem 2.9.a nije u kontradikciji s nekomutativnoscu grupe izometrija u ravnini?
-----------
U ovom tjednu (23.-27.3.2020.) se od studenata koji slusaju predavanja kod T. Pejkovica ocekuje da samostalno prodju kroz str. 26-36 u skripti (ostatak poglavlja o Izometrijama)
Nekoliko pitanja kao pomoc u samoprocjeni jeste li shvatili gradivo.
1) Ako vrijede opci aksiomi konstruktivne geometrije (A1-A5), zasto je dovoljno zahtijevati da vrijedi drugi aksiom ravnala i drugi aksiom sestara?
2) Napisite po jednu nemogucu, odredjenu i neodredjenu konstruktivnu zadacu (razlicite od primjera u skripti).
3) Dane su nekolinearne tocke A,B,C. Konstruirajte na kruznicu opisanu trokutu ABC tangentu koja
i) prolazi tockom C
ii) je paralelna s pravcem AB
4) Zadajte neku konstruktivnu zadacu koja ima tocno
i) 1 rjesenje
ii) 2 rjesenja
iii) 4 rjesenja
5) Koja je razlika izmedju mogucih i elementarno rjesivih zadaca?
6) Usporedite i komentirajte koje od ovih konstruktivnih zadaca znate rijesiti:
prenijeti duzinu / prenijeti kut,
raspoloviti duzinu / raspoloviti kut,
podijeliti u zadanom omjeru duzinu / podijeliti u zadanom omjeru kut.
7) Koji su dijelovi rjesenja konstruktivne zadace?
8 ) Konstruirajte cetverokut ABCD kojemu su zadane duljine svih stranica i kut pri vrhu A. Trebate napraviti sva cetiri dijela u rjesenju.
9) Smijemo li u metodi presjeka isti uvjet koristiti u vise (neodredjenih) zadaca?
10) Koliko rjesenja moze imati konstruktivna zadaca ako zadaca koju smo iz nje dobili izbacivanjem jednog uvjeta ima dva rjesenja?
11) Zadane su tri tocke A,B,C. Odredite kruznicu od koje su zadane tocke udaljene za d.
12) Odredite geometrijsko mjesto tocaka jednako udaljenih od dvije dane kruznice jednakih polumjera.
13) Odredite geometrijsko mjesto tocaka iz kojih se zadani jednakostranicni trokut vidi pod kutom od 60 stupnjeva.
(Odredite geometrijsko mjesto tocaka iz kojih se zadani kvadrat vidi pod kutom od 45 stupnjeva. Rjesenje: unija 8 kruznih lukova kojima su krajevi vrhovi kvadrata konstruiranih nad stranicama zadanog kvadrata)
14) Odredite geometrijsko mjesto tocaka za koje je suma kvadrata udaljenosti od dvije fiksne tocke A,B jednaka [tex]|AB|^2[/tex].
15) Sto je Apolonijeva kruznica i kako biste je konstruirali ako vam je zadan omjer 2:3 ? Provedite konstrukciju.
16) Ako je zadana duzina duljine [tex]a[/tex], konstruirajte duzine duljina [tex]a\sqrt{2},\ a\sqrt[4]{2},\ a/\sqrt[8]{2}[/tex].
17) Zadane su duljine a,b,c. Konstruirajte aritmeticku, kvadratnu i harmonijsku sredinu tih triju duljina.
Dovedite u vezu poseban slucaj njihove geometrijske sredine s jednim klasicnim problemom starih Grka.
18 ) Zasto u definiciji izometrije nismo morali zahtijevati injektivnost?
19) Moze li izometrija preslikati kruzni luk koji je jako blizu svojoj tetivi u tu tetivu?
20) Zasto izometrije s operacijom kompozicije cine grupu, a ne samo monoid?
21) Navedite primjer razlicit od onoga u skripti koji pokazuje da izometrije opcenito ne komutiraju.
22) Definirajte fiksnu tocku, fiksni pravac, pravac fiksan po tockama.
Bi li imalo smisla da definiramo tocku fiksnu po pravcima kao tocku za koju su svi pravci koji ju sadrze fiksni?
23) Znate li neku izometriju razlicitu od identitete za koju je [tex]f \circ f \circ f[/tex] identiteta?
Moze li takva izometrija biti involutorna?
24) Naucite dobro napamet definiciju osne i centralne simetrije tako da znate objasniti sve pojmove iz te definicije.
25) Dokazite: Ako je f involutorna izometrija, onda tockom koja nije fiksna za f prolazi tocno jedan pravac fiksan za f.
Moze li taj pravac biti fiksan po tockama?
Sto ako je zadana tocka fiksna, mora li i dalje kroz nju prolaziti tocno jedan pravac fiksan za f?
26) Koji su fiksni elementi osne simetrije, a koji centralne simetrije?
27) Zasto neka osna simetrija ne bi bila i centralna simetrija?
Dobro razmislite o ovom zadatku!
28 ) Nacrtajte neki pravac [tex]a[/tex] i tocku [tex]A[/tex] izvan njega. Samo iz definicija i svojstava koji su obradjeni u potpoglavlju 2.1 skripte za predavanja odredite [tex]s_a(A)[/tex] i [tex]s_A(a)[/tex].
Pripazite, ne mozete presutno koristiti ono sto "znate" o osnoj i centralnoj simetriji iz dosadasnjeg skolovanja.
29) Za zadanu tocku A te pravce p i q, odredite u kakvoj su vezi
i) [tex]A,\, p,\, s_p(A)[/tex]
ii) [tex]p,\, q,\, s_p(q)[/tex]
30) Koji su fiksni pravci izometrije [tex]s_b \circ s_a[/tex] (ispitajte sve mogucnosti za pravce a i b, tj. cetiri slucaja)?
31) Zasto Teorem 2.9.a nije u kontradikciji s nekomutativnoscu grupe izometrija u ravnini?
-----------
U ovom tjednu (23.-27.3.2020.) se od studenata koji slusaju predavanja kod T. Pejkovica ocekuje da samostalno prodju kroz str. 26-36 u skripti (ostatak poglavlja o Izometrijama)
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
| Postano: 22:38 pet, 3. 4. 2020 Naslov: |
|
|
|
Nastavljamo s pitanjima za samoprocjenu.
32) Koristeci aksiom o postojanju i jedinstvenosti izometrije (str. 26 u skripti), odgovorite na sljedeca pitanje: Koliko ima izometrija koje zadanu duzinu preslikavaju u drugu duzinu iste duljine?
Koliko ima izometrija koje zadanu duzinu preslikavaju u nju samu (kao skup)? Ako se radi o duzini AB, mozete li ih opisati?
Odgovor: [size=2]cetiri.[/size]
33) Dokazite da se svaka izometrija moze prikazati kao kompozicija tocno dvije ili tocno tri osne simetrije.
34) Mogu li iste izometrije imati razlicite fiksne tocke?
Mogu li razlicite izometrije imati iste fiksne tocke?
Moze li neki pravac biti fiksan po tockama za dvije razlicite izometrije?
35) Koji je nuzan i dovoljan uvjet na tri pravca da bi kompozicija (triju) osnih simetrija kojima su to osi bila osna simetrija?
36) Neka je pravac b simetrala kuta kojeg zatvaraju pravci a i c. Cemu je jednako [tex]s_a \circ s_b \circ s_c[/tex]?
37) Pokazite da kod prikaza rotacije ili translacije kao kompozicije dviju osnih simetrija jednu od osi mozemo izabrati. Koje uvjete moramo pri tome ispuniti?
38 ) Objasnite zasto je u teoremima 2.15 i 2.16 o kompoziciji dviju rotacija te kompoziciji translacije i rotacije kljucno svojstvo iz prethodnog zadatka.
39) Zadana je tocka B i rotacija s centrom u tocki A za kut 60 stupnjeva u pozitivnom smislu. Koju rotaciju moramo primijeniti na zadanu rotaciju da dobijemo translaciju za vektor AB?
Odogovor: [size=2]Rotaciju oko tocke C za kut 60 stupnjeva u negativnom smislu, pri cemu je ACB jednakostranican trokut. [/size]
40) Zasto je teorem 2.17 poseban slucaj teorema 2.15?
41) Koje od ovih cetiriju tvrdnji vrijede: svaku translaciju/rotaciju mozemo prikazati kao kompoziciju dviju osnih/centralnih simetrija?
42) Ako su zadana tri vrha A,B,C degeneriranog paralelograma ABCD, konstruirajte cetvrti vrh D.
43) Zadan je trokut ABC. Koliko razlicitih centralnih simetrija mozemo dobiti kompozicijom [tex]s_A,\, s_B,\, s_C[/tex] u razlicitim poretcima? Ispitajte svih sest mogucnosti.
44) Kompozicija rotacije/translacije i rotacije/translacije je? Odgovorite na sva cetiri pitanja.
45) Zadane su tocke A i B. Odredite jednu kliznu simetriju (koja nije osna simetrija) koja preslikava tocku A u tocku B. Kako ste konstruirali odgovarajuca tri pravca iz definicije klizne simetrije?
46) Dokazite da tocke pravca g nisu fiksne za kliznu simetriju s osi g (koja nije osna simetrija).
47) Kompozicija osne/centralne simetrije i osne/centralne simetrije je? Odgovorite na sva cetiri pitanja.
48 ) Ako smo pokazali da je svaka izometrija kompozicija do tri osne simetrije, a kompozicija tri osne simetrije je klizna simetrija, je li onda svaka izometrija klizna simetrija?
49) Zadan je pravac p. Navedite sve izometrije kojima je p fiksan pravac.
Zadana je tocka T. Navedite sve izometrije kojima je T fiksna tocka.
Zadane su tocke P i Q. Navedite sve izometrije kojima su P i Q fiksne tocke.
50) Pokusajte sami izvesti da se kompozicija pet osnih simetrija moze prikazati u obliku kompozicije triju osnih simetrija.
51) Pravci a, b, c, d zatvaraju kvadrat kojemu jedna dijagonala lezi na pravcu e (pravci a i c su paralelni). Prikazite [tex]s_a\circ s_b\circ s_c\circ s_d\circ s_e[/tex] kao kompoziciju triju osnih simetrija i identificirajte o kojoj izometriji se radi (u ovisnosti o izboru dijagonale kvadrata postoje dvije mogucnosti).
Uputa: [size=2]Prikazite ovu izometriju kao kompoziciju osne simetrije s obzirom na pravac e i dviju centralnih simetrija kojima su centri vrhovi kvadrata.[/size]
52) Koje izometrije preslikavaju jednakostranicni trokut ABC u njega samog? Koje su od tih izometrija gibanja, a koje indirektne izometrije?
53) Polozite svoje ruke na stol dlanovima prema dolje. Koja izometrija ce preslikati dlan jedne ruke u dlan druge ruke? Ako zelite da vam se dlanovi potpuno poklapaju, sto trebate uciniti?
54) Kao izvrsna provjera znanja iz poglavlja o izometrijama, pokusajte dokazati neke od Teorema 2.29-2.35. U Vennovom dijagramu obrazlozite polozaj svakog od ovala, odnosno grupe koju predstavlja. Koje su od tih grupa nekomutativne (dajte primjer elemenata koji ne komutiraju)?
55) Koje izometrije su homotetije?
56) Dokazite da homotetija preslikava duzinu u duzinu i kruznicu u kruznicu. Moze li se duzina sjeci sa svojom slikom (po homotetiji)? A kruznica?
Odgovor: [size=2]Moze i moze.[/size]
57) Dokazite Menelajev teorem koristeci povrsine od ABED, BDE, AED (vidi sliku 3.1 u skripti).
58 ) Koristeci Teoreme 3.2 i 3.3 pokazite da dvije homotetije komutiraju ako i samo ako im se centri podudaraju.
59) Nacrtajte slike i dokazite da je kompozicija homotetije i translacije (u oba poretka) opet homotetija. U kojem su odnosu koeficijenti tih triju homotetija (pocetne i dvije dobivene)?
60) Pokazite primjerom da opcenito kompozicija homotetije i osne simetrije ili rotacije nije ni izometrija ni homotetija. Sto ipak ostaje sacuvano?
61) Ako su zadane dvije kruznice, koliko ima homotetija koje prvu kruznicu preslikavaju u drugu? Posebno ispitajte slucaj kada su kruznice koncentricne te kada su kruznice istog radijusa.
62) Zadana je kruznica k(O,r) i duzina duljine d. Odredite geometrijsko mjesto tocaka T za koje je potencija tocke s obzirom na danu kruznicu jednaka
i) [tex]d^2[/tex]
ii) [tex]-d^2[/tex]
63) Na slici 3.8 u skripti, |TC| je jednako aritmetickoj sredini, a |TD| geometrijskoj sredini od |TA| i |TB|. Znamo da aritmeticka sredina dvaju pozitivnih brojeva nije manja od njihove geometrijske sredine. Mozemo li to vidjeti i iz slike?
64) Dane su tri kruznice od kojih se nikoje dvije ne sijeku. Kako cete najlakse konstruirati radikalno srediste tih triju kruznica?
65) Sto znaci da su dvije kruznice ortogonalne?
Kako prepoznajemo da su kruznice ortogonalne?
Konstruirajte kruznicu ortogonalnu na zadanu kruznicu.
Ako su dane dvije tocke, nacrtajte neke ortogonalne kruznice kojima su zadane tocke sredista.
66) Dokazite da su kutovi pod kojima se dvije kruznice sijeku (kutovi izmedju njihovih tangenti u sjecistima) isti u oba sjecista.
Konstruirajte kruznicu zadanog radijusa koja danu kruznicu sijece pod kutom od 60 stupnjeva.
[size=9][color=#999999]Added after 2 minutes:[/color][/size]
-----------
U iducem tjednu (6.4.-10.4.2020.) studenati koji slusaju predavanja kod T. Pejkovica imaju pauzu da se saberu i ponove gradivo koje smo dosad prosli.
Nastavljamo s pitanjima za samoprocjenu.
32) Koristeci aksiom o postojanju i jedinstvenosti izometrije (str. 26 u skripti), odgovorite na sljedeca pitanje: Koliko ima izometrija koje zadanu duzinu preslikavaju u drugu duzinu iste duljine?
Koliko ima izometrija koje zadanu duzinu preslikavaju u nju samu (kao skup)? Ako se radi o duzini AB, mozete li ih opisati?
Odgovor: cetiri.
33) Dokazite da se svaka izometrija moze prikazati kao kompozicija tocno dvije ili tocno tri osne simetrije.
34) Mogu li iste izometrije imati razlicite fiksne tocke?
Mogu li razlicite izometrije imati iste fiksne tocke?
Moze li neki pravac biti fiksan po tockama za dvije razlicite izometrije?
35) Koji je nuzan i dovoljan uvjet na tri pravca da bi kompozicija (triju) osnih simetrija kojima su to osi bila osna simetrija?
36) Neka je pravac b simetrala kuta kojeg zatvaraju pravci a i c. Cemu je jednako [tex]s_a \circ s_b \circ s_c[/tex]?
37) Pokazite da kod prikaza rotacije ili translacije kao kompozicije dviju osnih simetrija jednu od osi mozemo izabrati. Koje uvjete moramo pri tome ispuniti?
38 ) Objasnite zasto je u teoremima 2.15 i 2.16 o kompoziciji dviju rotacija te kompoziciji translacije i rotacije kljucno svojstvo iz prethodnog zadatka.
39) Zadana je tocka B i rotacija s centrom u tocki A za kut 60 stupnjeva u pozitivnom smislu. Koju rotaciju moramo primijeniti na zadanu rotaciju da dobijemo translaciju za vektor AB?
Odogovor: Rotaciju oko tocke C za kut 60 stupnjeva u negativnom smislu, pri cemu je ACB jednakostranican trokut.
40) Zasto je teorem 2.17 poseban slucaj teorema 2.15?
41) Koje od ovih cetiriju tvrdnji vrijede: svaku translaciju/rotaciju mozemo prikazati kao kompoziciju dviju osnih/centralnih simetrija?
42) Ako su zadana tri vrha A,B,C degeneriranog paralelograma ABCD, konstruirajte cetvrti vrh D.
43) Zadan je trokut ABC. Koliko razlicitih centralnih simetrija mozemo dobiti kompozicijom [tex]s_A,\, s_B,\, s_C[/tex] u razlicitim poretcima? Ispitajte svih sest mogucnosti.
44) Kompozicija rotacije/translacije i rotacije/translacije je? Odgovorite na sva cetiri pitanja.
45) Zadane su tocke A i B. Odredite jednu kliznu simetriju (koja nije osna simetrija) koja preslikava tocku A u tocku B. Kako ste konstruirali odgovarajuca tri pravca iz definicije klizne simetrije?
46) Dokazite da tocke pravca g nisu fiksne za kliznu simetriju s osi g (koja nije osna simetrija).
47) Kompozicija osne/centralne simetrije i osne/centralne simetrije je? Odgovorite na sva cetiri pitanja.
48 ) Ako smo pokazali da je svaka izometrija kompozicija do tri osne simetrije, a kompozicija tri osne simetrije je klizna simetrija, je li onda svaka izometrija klizna simetrija?
49) Zadan je pravac p. Navedite sve izometrije kojima je p fiksan pravac.
Zadana je tocka T. Navedite sve izometrije kojima je T fiksna tocka.
Zadane su tocke P i Q. Navedite sve izometrije kojima su P i Q fiksne tocke.
50) Pokusajte sami izvesti da se kompozicija pet osnih simetrija moze prikazati u obliku kompozicije triju osnih simetrija.
51) Pravci a, b, c, d zatvaraju kvadrat kojemu jedna dijagonala lezi na pravcu e (pravci a i c su paralelni). Prikazite [tex]s_a\circ s_b\circ s_c\circ s_d\circ s_e[/tex] kao kompoziciju triju osnih simetrija i identificirajte o kojoj izometriji se radi (u ovisnosti o izboru dijagonale kvadrata postoje dvije mogucnosti).
Uputa: Prikazite ovu izometriju kao kompoziciju osne simetrije s obzirom na pravac e i dviju centralnih simetrija kojima su centri vrhovi kvadrata.
52) Koje izometrije preslikavaju jednakostranicni trokut ABC u njega samog? Koje su od tih izometrija gibanja, a koje indirektne izometrije?
53) Polozite svoje ruke na stol dlanovima prema dolje. Koja izometrija ce preslikati dlan jedne ruke u dlan druge ruke? Ako zelite da vam se dlanovi potpuno poklapaju, sto trebate uciniti?
54) Kao izvrsna provjera znanja iz poglavlja o izometrijama, pokusajte dokazati neke od Teorema 2.29-2.35. U Vennovom dijagramu obrazlozite polozaj svakog od ovala, odnosno grupe koju predstavlja. Koje su od tih grupa nekomutativne (dajte primjer elemenata koji ne komutiraju)?
55) Koje izometrije su homotetije?
56) Dokazite da homotetija preslikava duzinu u duzinu i kruznicu u kruznicu. Moze li se duzina sjeci sa svojom slikom (po homotetiji)? A kruznica?
Odgovor: Moze i moze.
57) Dokazite Menelajev teorem koristeci povrsine od ABED, BDE, AED (vidi sliku 3.1 u skripti).
58 ) Koristeci Teoreme 3.2 i 3.3 pokazite da dvije homotetije komutiraju ako i samo ako im se centri podudaraju.
59) Nacrtajte slike i dokazite da je kompozicija homotetije i translacije (u oba poretka) opet homotetija. U kojem su odnosu koeficijenti tih triju homotetija (pocetne i dvije dobivene)?
60) Pokazite primjerom da opcenito kompozicija homotetije i osne simetrije ili rotacije nije ni izometrija ni homotetija. Sto ipak ostaje sacuvano?
61) Ako su zadane dvije kruznice, koliko ima homotetija koje prvu kruznicu preslikavaju u drugu? Posebno ispitajte slucaj kada su kruznice koncentricne te kada su kruznice istog radijusa.
62) Zadana je kruznica k(O,r) i duzina duljine d. Odredite geometrijsko mjesto tocaka T za koje je potencija tocke s obzirom na danu kruznicu jednaka
i) [tex]d^2[/tex]
ii) [tex]-d^2[/tex]
63) Na slici 3.8 u skripti, |TC| je jednako aritmetickoj sredini, a |TD| geometrijskoj sredini od |TA| i |TB|. Znamo da aritmeticka sredina dvaju pozitivnih brojeva nije manja od njihove geometrijske sredine. Mozemo li to vidjeti i iz slike?
64) Dane su tri kruznice od kojih se nikoje dvije ne sijeku. Kako cete najlakse konstruirati radikalno srediste tih triju kruznica?
65) Sto znaci da su dvije kruznice ortogonalne?
Kako prepoznajemo da su kruznice ortogonalne?
Konstruirajte kruznicu ortogonalnu na zadanu kruznicu.
Ako su dane dvije tocke, nacrtajte neke ortogonalne kruznice kojima su zadane tocke sredista.
66) Dokazite da su kutovi pod kojima se dvije kruznice sijeku (kutovi izmedju njihovih tangenti u sjecistima) isti u oba sjecista.
Konstruirajte kruznicu zadanog radijusa koja danu kruznicu sijece pod kutom od 60 stupnjeva.
Added after 2 minutes:
-----------
U iducem tjednu (6.4.-10.4.2020.) studenati koji slusaju predavanja kod T. Pejkovica imaju pauzu da se saberu i ponove gradivo koje smo dosad prosli.
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
| Postano: 17:10 čet, 16. 4. 2020 Naslov: |
|
|
|
U ovom tjednu (14-17.4.) se od studenata koji slusaju predavanja kod T. Pejkovica ocekuje da samostalno prodju kroz str. 44-50 u skripti (inverzija). Nekoliko interaktivnih konstrukcija u geogebri mozete naci na Merlinu, a mozete pogledati i ove: [url=https://www.geogebra.org/m/M6vc3GTk]1[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/k4tmFSb3]2[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/qcKDHam3]3[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/sAVnCUJy]4[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/qcesxPSt]5[/url], [url=https://www.geogebra.org/materials]...[/url]
U ovom tjednu (14-17.4.) se od studenata koji slusaju predavanja kod T. Pejkovica ocekuje da samostalno prodju kroz str. 44-50 u skripti (inverzija). Nekoliko interaktivnih konstrukcija u geogebri mozete naci na Merlinu, a mozete pogledati i ove: 1, 2, 3, 4, 5, ...
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
| Postano: 20:56 pon, 27. 4. 2020 Naslov: |
|
|
|
U ovom tjednu (27.-30.4.2020.) se od studenata koji slusaju predavanja kod T. Pejkovica ocekuje da ponove sva preslikavanja koja smo radili (izometrije - osne i centralne simetrije, rotacije, translacije i klizne simetrije; homotetije; inverzije; perspektivne kolineacije i perspektivne afinosti). Posebno provjerite koji su fiksni elementi (tocke, pravci), fiksni likovi (kruznice i sl.), koja preslikavanja koja spadaju u vise klasa (npr. postoji li izometrija koja je perspektivna kolineacija itd.), moze li se lijepo opisati kompozicija preslikavanja, koja svojstva ostaju sacuvana s obzirom na pojedino preslikavanje (duljina, mjera kuta, omjer, dvoomjer itd.)
U ovom tjednu (27.-30.4.2020.) se od studenata koji slusaju predavanja kod T. Pejkovica ocekuje da ponove sva preslikavanja koja smo radili (izometrije - osne i centralne simetrije, rotacije, translacije i klizne simetrije; homotetije; inverzije; perspektivne kolineacije i perspektivne afinosti). Posebno provjerite koji su fiksni elementi (tocke, pravci), fiksni likovi (kruznice i sl.), koja preslikavanja koja spadaju u vise klasa (npr. postoji li izometrija koja je perspektivna kolineacija itd.), moze li se lijepo opisati kompozicija preslikavanja, koja svojstva ostaju sacuvana s obzirom na pojedino preslikavanje (duljina, mjera kuta, omjer, dvoomjer itd.)
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
tp
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 12. 2005. (16:46:01)
Postovi: (1F2)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
