Pojašnjenja/komentari u vezi sa studentskom anketom

[Juraj Siftar]

Budući da smo tek prije nekoliko sati,
u okviru rasprave na sjednici Vijeća PMF-MO, obaviješteni
(kolektivno) od strane studentskih predstavnika da je
provedena opsežna anketa o provedbi nastave i
pravilniku ocjenjivanja za ljetni semestar, a ujedno je
nama (nastavnicima) omogućen uvid u ishod ankete,
želim pojasniti odnosno komentirati neke činjenice i
odgovore.

Učinio bih to i ranije, da sam uopće znao za tu anketu,
a prvenstveno bih želio komentirati podatke, koji kako se
čini, izazivaju zabrinutost kod studenata u vezi s
polaganjem ovog predmeta (Linearna alegbra 1).

Šteta što mi se prije nisu obratili sami studenti za objašnjenja,
budući da su se neke nedoumice mogle razjasniti i prije,
a mislim da su svi studenti u mojoj grupi mogli uočiti da
odgovaram na svaki mail i to ažurno. (Mogući izuzetak su
neki ispravci domaćih zadaća, kad ih je stizalo previše
odjednom pa jednostavno nisam mogao svima odgovoriti
isti dan ili sutradan). Po nekim odgovorima u anketi
izgleda kao da nema nikakve komunikacije, što mi se
čini čudnim, jer u odgovarajućem "folderu" u pošti imam
blizu 2000 mailova razmijenjenih sa studentima na temu LA 1,
u ovom semestru.
Velika većina odnosi se na domaće zadaće, ali ima i dosta
odgovora (ažurnih i konkretnih) na sva postavljena pitanja.

Ne ulazeći sad u pojedine dojmove (koje cijenim i uzimam
u obzir i kad su negativni u odnosu na moj rad), navest ću
neke činjenice i tumačenja potaknuta navodima iz ankete.

1. Počevši od onog što je vjerojatno svim studentima sad
najvažnije: predstojeći ispiti, način ocjenjivanja itd.

Oblik "cjelovitog pismenog ispita" zadan nam je odlukom
fakulteta. To znači nekakv oblik fuzije uobičajena dva
kolokvija (mislim da je to jasno samo po sebi), s tim da
smo za raspoloživo vrijeme predvidjeli 3 sata (180 minuta)
koliko je i maksimalno dopušteno. Naravno, sadržaj ćemo
prilagoditi tako da to bude primjereno.
Kolokviji iz niza prethodnih godina stalno su dostupni na
web stranicama te cjeloviti pismeni ispit može biti
u okvirima kombinacije dva uobičajena kolokvija.

Načelno, namjera mi je (bila) objaviti "probni ispit" za
vježbu, kao što sam učinio za "probni test" i "mali kolokvij"
(dok se još nije znalo da neće biti 2 kolokvija), no iskazani
interes od strane studenata bio je tako malen da nisam
siguran ima li to uopće smisla. (Za "mali kolokvij" javilo mi
se svega 6-7 studentica i studenata koji su željeli da
pregledam njhova rješenja; znatno više ih je na anketi
osporilo bilo kakvu aktivnost nastavnika u tom pogledu).

U pogledu mogućnosti i pravila polaganja željeli smo
zadržati jednostavnu strukturu kakva je bila dosad, ali
uz značajnu novost (kako je u odluci fakulteta i predviđeno)
da se u rujnu održe dva dodatna (popravna, kako god ih
nazivali) ispita i to: bez ikakvih dodatnih uvjeta s lipanjskog
roka i s blažim kriterijem nego dosad na popravnom
kolokviju (koji je inače imao nešto drukčiju strukturu i
viši prag prolaza, s određenim razlozima). Za očekivati je
da bi razmak od 2 mjeseca ipak omogućio dostatnu pripremu
ispita i onima koji su tokom semestra imali otežane uvjete
i poteškoće u praćenju gradiva (tempom koji se ipak morao
održati, prema programu).

(U anketi se može vidjeti mišljenje da nema nikakvih
promjena u odnosu na uobičajena pravila, što odražava
moguću neinformiranost ili je neki drugi razlog, koji ne znam
dokučiti).


2. Domaće zadaće i testovi

Ovaj oblik rada i provjere naučenog nikako nismo željeli
zanemariti, a nadam se da nije potrebno objašnjavati zašto.

(Jako) velika promjena u odnosu na uobičajenu provedbu -
osim što su se testovi iz poznatih razloga provodili "dopisno" -
sastoji se u tome da sam svaku pojedinu zadaću svake
studentice i studenta pregledavao osobno i slao povratne
informacije o svakom pojedinom zadatku gdje je trebalo nešto
popraviti ili razjasniti.

Možda je potrebno naglasiti da to nije uobičajeni način rada,
jednostavno zato što je količina posla prevelika, a i posao
je vrlo zamoran. No, procijenio sam da je baš to koristan
oblik kontakta i konzultiranja, jer u uobičajenim uvjetima
(niz godina je redovito tako) samo vrlo mali broj studenata
traži konzultacije, zadaće se predaju često više formalno
nego stvarno riješeno, a naknadno se jasno vidi da bi
takav način rada, individualni, mnogima bio dragocjen.

(Zahvaljujem se na ukupno jednom pohvalnom mišljenju
u anketi gdje je takav način rada ocijenjen kao koristan).

Pritom ću spomenuti da apsolutno nikom nisam "zamjerio"
kašnjenja u predaji zadaća (u rasponu od sat-dva do
3-4 tjedna) nego sam sve pregledao i poslao odgovore.
Velika većina zadaća bila je poslana u teško čitljivom obliku
premda sam apelirao da se taj aspekt poboljša (a radovi
jedva desetak studentica i studenata pokazuju da je sasvim
moguće poslati urednu sliku čitko napisane zadaće).

U jednom odgovoru u anketi kao kritika se spominje da
ne postoji mogućnost popravnog testa. I to mi je dosta
čudno, jer ne samo da popravni test postoji "oduvijek",
nego je bilo izričito najavljeno da će tako biti i sada.
Budući da su prijave upravo u toku i da je zasad stiglo
tridesetak prijava za dodatni/popravni test, čini
čini se da je većina ipak informirana o tome.

Usput, opći uspjeh na testovima (prosjek bodova ukupno
i po svakom testu) praktički je jednak kao svake godine
dosad pa mi izgleda da je, kao i inače, presudan faktor
ipak pripremljenost kroz rješavanje domaćih zadaća i
ukupni rad - kao što i jest cilj. Test je samo jedan oblik
kratke provjere.

Napomenut ću još kako mi se ne čini da je pisanje testa
u vlastitom prostoru, bez nadzora i uz mogućnost
služenja pomoćnim sredstvima, baš tako "stresno" iskustvo
kako to neki smatraju. Jasno da mogućnost određenih
tehničkih problema oko dostave testova može stvarati
napetost, ali na kraju nikome nije propao test iz takvih
razloga, a svakome pojedinačno tko se javio zbog
takvih poteškoća opravdano je eventualno zakašnjenje.


3. Učenje - po skriptama ili iz drugih izvora

Na početku nastave, još "uživo", naglasio sam da su skripta
sasvim prilagođena programu, a da još nisu uvrštena u
obaveznu literaturu samo zato što još nisu službeno
recenzirana. Također sam naglasio da još radimo na
korekcijama i poboljšanjima (toga uvijek ima) i da ćemo
biti zahvalni na svaku uočenu pogrešku i slično (dobili
smo nekoliko ispravaka i zahvalili se). No, da pritom
nema nekih bitnih promjena koje bi mogle utjecati na
učenje.

Stoga, nipošto ne treba izazivati zabrinutost studenata
(izraženu u anketi - kao, u zadnji tren nam mijenjaju
gradivo....) ako je dodano nekoliko primjera, zadataka
i slično, jer je riječ samo o poboljšanjima koja ne zadiru
u bitne komponente. Ako nekome to baš jako smeta,
uvijek se može poslužiti obilnom i uhodanom literaturom,
a sasvim je sigurno da nikome neće biti uzeto kao
propust ili pogreška (baš naprotiv) ako je gradivo naučeno
iz drugog izvora. Bitne činjenice iz Linearne algebre 1 ne
mijenjaju se od izvora do izvora. Netko voli učiti npr.
po Wikipediji - zašto ne (uz mrvicu opreza)?
Ako nastane problem, to neće biti zato što se učilo iz izvora
gdje pojedina propozicija ili teorem imaju drukčiju numeraciju
(a sigurno imaju) nego u našim skriptama.

Toliko, a na sva pitanja (može i anonimno, ako je nekome
tako draže), rado ću odgovoriti, kao i uvijek.

Inače, u današnjoj raspravi na Vijeću, studentski predstavnici
iznijeli su i sljedeće:

"Svjesni smo da će rijetko koji student izravno reći svom
profesoru što radi dobro, a što ne, iz razloga koji vjerujem svi možete
zamisliti."

Nisam siguran koji su to razlozi koje "svi možemo zamisliti",
ali ako se studenti pribojavaju nekakvog "revanšizma",
kroz ispite ili bilo kako, to je jako žalosno,
Ponavljam, možete iskazati mišljenje i anonimno, na forumu
ili mailom, a kad god je to korektno sročeno ja ću uzeti u
obzir i odgovoriti.

Juraj Šiftar

[Juraj Siftar]

Prva ilustracija za navode iz mojeg prethodnog posta,
a djelomično u vezi s mišljenjima iz ankete da
"profesora nigdje nije bilo" , da su studenti bili "prepušteni
sami sebi" i slično.

Ovo objavljujem zato što je bilo poslano pojedinačno
mailom svakoj studentici i studentu upisanima na predmet
koji su poslali bar jednu od dotad zadanih domaćih zadaća
(pa se nigdje ne vidi, dakle - ne postoji).

Mislim da se ipak iz tona i sadržaja može naslutiti o
kolikoj je nebrizi riječ. Nije u video-obliku, jer smatram
da čitanje s voljom i razumijevanjem ne bi bilo
značajno dopunjeno mojim likom na ekranu.

Naravno da treba čitati skripta ili drugu odgovarajuću
literaturu, a skripta jesu moja predavanja.

Mail je poslan svima 7. travnja 2020.


Ovaj tekst šaljem svima koji su slali domaće zadaće, kako bi
sigurno svi dobili ove obavijesti i upute, a nije potrebno time
“opterećivati” forum.

Najprije nekoliko obavijesti.

- Primjedbe na 3. domaću zadaću nisu još dobili svi,
jer nisam stigao sve pregledati,
ali svakako će to biti dovršeno uskoro.

Ponavljam apel da se ubuduće rješenja sažmu na 2 papira,
što je moguće, a već i ovaj put dobio sam nekoliko zadaća u kojima
su se studentice/studenti očito potrudili da
tako postupe. Takve zadaće znatno brže i lakše pregledavam,
a to nam je svima u interesu. Istina je da se obično traže cjelovita rješenja,
ali od toga se ni ovdje ne treba odstupiti, nego se samo malo dodatno potruditi.
Velika je razlika u čitanju 2-3 papira i 8-10 ili više papira, ne samo zbog
njihovog broja, nego i čitljivost s fotografija, različite kvalitete, nije baš najbolja.

Također, ponavljam već nekoliko puta rečeno: nemojte prepisivati zadaće.
Normalno je da će neki surađivati međusobno, ali točno se vidi kad je
nešto doslovce prekopirano i to bez razumijevanja.
Oni na koje se to odnosi, trebate shvatiti da je to samo štetno,
a formalno bilježenje da je zadaća predana nije najvažnije.
Pišem po 5 ili 10 puta ista objašnjenja različitim studentima pa ću
napisati još nekoliko puta onima koji trebaju malo pomoći, radije
nego da kopiraju nepouzdana (i katkad pogrešna) rješenja od drugih.

- Pratite forum i poslužite se objavljenim vježbama.
Značajan je nedostatak
što nemate vježbe uživo, ali naši asistenti trude se napisati detaljna rješenja
pa ako i imate poteškoća s čitanjem tih zadataka i rješenja, što je objektivno
vjerojatno, potražite odgovore i tumačenja – slobodno pišite kolegi
Matku Grbcu ili meni.

- U pripremi je prvi (pravi) test. Dakle, test koji će se bodovati, a
odnosit će se na prve tri domaće zadaće. Bit će organiziran
za obje grupe, a službenu najavu s terminom i uputama dobit ćete
kad se riješe tehničke pojedinosti. Bit će to, naravno, poslije Uskrsa,
ali ne puno kasnije (nadamo se).

Dalje – o gradivu.

Već sam naglašavao da ako učite iz skripata (što nije obavezno,
ali je izvor na koji se najlakše svi referiramo), nemojte propustiti...
pa, zapravo, nemojte ništa propustiti.
Svi komentari i napomene (s numeracijom ili bez nje),
svi uvodni odlomci i slični “popratni” dijelovi teksta (uz definicije, propozicije i
teoreme) promišljeno su uvršteni tako da bi olakšali učenje.

Odjeljci kojima se sad bavimo ključni su za cijelu LA 1, svakako dalje za LA 2,
ali i za neke druge predmete.
Sad ću iznijeti neke bitne činjenice, koje bi trebalo pročitati, shvatiti i upamtiti.
Ništa “novo” u odnosu na skripta, ali – sažeto.


Ako vam se gradivo zasad čini dosadno, naporno itd, “kompenzacija”
će uslijediti naročito kod rješavanja sustava linearnih jednadžbi,
dakle u konkretnoj primjeni,
gdje će se sve odvijati dosta “elegantno” i s “malo računanja” (relativno malo),
jer će teorijski sve biti pripremljeno unaprijed, iz vektorskih prostora i matrica.

Baza, dimenzija, potprostori


Vektorski prostori koji su nam (ovdje) najvažniji svi imaju bazu.
Osnovni je smisao baze da svaki vektor ima jedinstveni prikaz u pojedinoj bazi.
Tada se s vektorima u svakom prostoru (koji ima bazu) može računati kao s
uređenim n-torkama, dakle nije samo prikaz bitan nego i mogućnost laganog
računanja s vektorima, kao u prostorima n-torki, ℝn ili ℂn.
Uređene n-torke se lako zbrajanju i množe skalarima.

Baza u prostoru ima “puno”, zapravo beskonačno mnogo čim je to prostor nad
beskonačnim poljem i sadrži bar jedan vektor osim nulvektora.
Nisu sve baze uvijek jednako pogodne za određeni račun/zadatak.

No, bitna je činjenica (Teorem 1.4.8.) da su svake dvije baze istog prostora jednakobrojne,
Taj zajednički broj vektora u bilo kojoj bazi prostora naziva se
dimenzija vektorskog prostora i to je bitan podatak o prostoru.
Jednostavno rečeno, dimenzija je točan broj skalarnih podataka (ni manje ni više)
potreban za određivanje jednog vektora.

Kod “strelica” u euklidskom prostoru trebaju točno 3 broja, dakle 3 skalarna podatka,
kad se uvede koordinatni sustav (a u suštini, baza).
Za polinom stupnja 3 trebaju 4 skalarna podatka (4 koeficijenta).

Neki prostori imaju tzv. kanonsku bazu, a to je tako “prirodno jednostavna”
baza da se iz samog vektora može očitati njegov koordinatni prikaz u toj bazi.

Za (x1,..., xn) ∊ ℝn ( ili ℂn ) imamo (x1,..., xn) = x1 (1,0,..,0) +... + xn (0,0,...,0,1).
Vidimo (kanonsku) bazu. Ostali primjeri – u skriptama.

Baza je ujedno minimalni sustav izvodnica kao i maksimalni linearno nezavisni skup.

Ako sustav izvodnica nije minimalan, onda je linearno zavisan i
vektori imaju više različitih prikaza (to je smetnja).
Ako linearno nezavisni skup nije maksimalan, onda postoje vektori
koji se ne mogu prikazati pomoću elemenata tog skupa (pa nije baza).

No, linearno zavisni konačni sustav izvodnica može se reducirati do baze,
a linearno nezavisni skup koji nije maksimalan može se proširiti do baze
(u prostoru koji je konačnogeneriran). To su jednostavni postupci kojima
dobivamo bazu kakva nam treba u određenom primjeru.

Teoremi 1.4.7. i 1.4.8. zasad su “najteži” teoremi koje učimo, ali nisu
stvarno teški.
Najvažnije je shvatiti njihov smisao i logiku. Postupak dokaza
(zamjena vektora iz nekog sustava izvodnica vektorima iz nekog
linearno nezavisnog skupa) dosjetljiv je, ali ne i stvarno kompliciran.

Važno: Pojam dimenzije prostora ima smisla, tj. opravdan je i
korektno definiran tek kad se zna tvrdnja o jednakobrojnosti baza.

Ako i ne znate dokaz T. 1.4.7. svakako trebate znati iskaz i smisao, a
tvrdnja Teorema 1.4.8. tada je lagana posljedica toga (“ako konačni skup A
nije veći od skupa B, a skup B nije veći od skupa A, onda su jednako veliki” -
jasno, a pritom veličina znači broj elemenata skupa, tj. kardinalni broj).

Ove činjenice jako su korisne u zadacima. Obično znamo unaprijed
dimenziju prostora u kojem se radi.
Ako podskup ima manje elemenata
od dimenzije prostora, sigurno nije sustav izvodnica (ali može biti i
linearno nezavisan i zavisan). Ako podskup ima više elemenata od
dimenzije prostora, sigurno je linearno zavisan
(ali može biti ili ne mora biti sustav izvodnica). I tako dalje (v. Korolar 1.4.11.)


Sad potprostori.
Potprostor je i sam vektorski prostor, vrlo često zadan pomoću nekih
linearnih jednadžbi.
Čak i ako uvjeti pomoću kojih je zadan ne izgledaju eksplicitno kao sustav linearnih
jednadžbi, obično to jest jedna ili više linearnih jednadžbi.
(v. 4. domaću zadaću).

Zapravo, svaki potprostor konačnodimenzionalnog prostora može se zadati
kao skup
rješenja određenog sustava linearnih jednadžbi.
(Znate primjere iz Analitičke geometrije – svaka ravnina može se
zadati linearnom jednadžbom, a svaki pravac u prostoru sustavom od dvije linearne jednadžbe).

Supervažno, a super jednostavno – ali, ako točno razumijemo što je to vektorski potprostor:
kriterij da bi neprazni podskup bio potprostor sastoji se samo u
zatvorenosti na operacije zbrajanja i množenja skalarom.
(v. Teorem 1.5.2. i njegove korolare).

Vrlo često, radimo nešto s potprostorima, ali ne znamo uvijek unaprijed bazu potprostora.
Neka poznata, npr. kanonska baza cijelog prostora ne mora biti od
pomoći za bazu potprostora. No, i tu se snalazimo bez puno problema.
Imamo i hrpu zadataka u skriptama i vježbama o tome.

Učite i učite odjeljke 1.5. i 1.6. (podrazumijeva se da ste naučili prethodne)
sve dok ne naučite.
Vježbajte, rješavajte zadatke i postavljajte pitanja kad zapnete.

[Juraj Siftar]

Druga ilustracija kako se radilo (dio posla) na ovom predmetu,
u dopisnom obliku.
Riječ je o povratnim informacijama na domaće zadaće.
Ima i duljih i kraćih, no izabrao sam nekoliko primjera.

Zasad neću objavljivati primjere slika i rukopisa kakve je
trebalo čitati i odgonetati (ima i "pozitivnih" i "negativnih",
ali omjer je izrazito u korist onih drugih).
U anketi je (valjda duhovito) komentirano kako profesori kao
da nikad nisu čuli za modernu tehnologiju, a ja iz pristojnosti
neću komentirati da neki studenti kao da nisu nikad čuli
za urednu pismenost na razini barem viših razreda osnovne
škole ili, ako je tehnologiji riječ, o snimanju ispisanih papira
tako da se to može i pročitati. Neki (pojedinačno sam im se
zahvaljivao) izvrsno su sve napravili i, bez obzira na
matematičku komponentu, bio je užitak čitati takve zadaće.

Znam da ovo ne izgleda kao nekakav naročiti posao, no
kad se uzme u obzir da je trebalo te zadaće i dobro
pročitati pa se sve ovo pomnoži npr. s faktorom 300 -
možda se tu ipak nešto i radilo.
A da, zaboravio sam - doista nemam ovo sve na platformi
u video izdanju. Dakle, ne vrijedi.


Primjer 1.

Kolegice ...,

Moguće je naknadno poslati nadoknade za prethodne zadaće,
dosta ih je to već i učinilo.

Ova 7. zadaća uglavnom je dobra, osim 2(a) jer niste dobro
primijenili uvjet da je trag matrice jednak 0. Pripazite na to
pa ponovno riješite (lako je, slično, ali ipak različito).
Pošaljite mi samo to onda, ne treba slika.

Par primjedbi:

U 1(b) ste - nebitno - zabunom napisali (2 -1 0 0) umjesto (2 -1 0 1),
ali dobro ste izračunali pa u redu.
Tu je korisna primjedba da su tipovi matrica takvi da bi bilo lakše
množiti - kojim redoslijedom?

Kod one grupe - niste morali provjeravati asocijativnost izravno
(iako je dobro za vježbu) nego se pozvati na opći teorem.
Za neutralni element treba samo konstatirati da jedinična matrica
(kao jedini kandidat) doista pripada tom skupu matrica.

U 4. zadatku pod 3. važno je naglasiti na temelju čega se može
izjednačiti A i A^t . Kad A ne bi bila invertibilna, to bi bio problem,
ali jest (vidi se iz pretpostavki).

Obratite pozornost na te stvari, a pošaljite mi samo 2(a).
Nadoknade kad stignete.

Pozdrav,

J. Š.


Primjer 2.


Kolegice ... ,

Zadaća Vam je uglavnom jako dobra, samo mi izgleda da
je u 7. zadatku nešto pomiješano. Provjerite to.

Inače u 3. zadatku, dobro ste to postavili, samo čim je
r(A) = 3, onda r(B) ne može biti veći jer to je (3,4) matrica.

U 9(b) ne morate posebno invertirati C i D pa pomnožiti
inverze nego invertirati produkt DC. Ovdje je to malen posao
ionako, ali za neke veće matrice bolje je više množiti, a
manje invertirati.

Najviše ste se suvišno naradili u 9(c).
Sami ćete otkriti zašto, kad pogledate početak računa
i u trećem retku množite s desne strane s inverzom
matrice E + I. Umjesto toga, možete učiniti nešto
puno jednostavnije i onda...vidjet ćete.

J. Š.


Primjer 3.

Kolegice ... ,

Nije bitno za dva papira, sasvim je u redu, naime važnija je čitljivost,
a ta je ovdje izvrsna.

Zadaća je dobra, a evo nekoliko primjedbi.

U 4. zadatku pod 3. važno je napomenuti da je izjednačavanje matrica
moguće jer je A invertibilna (očito iz pretpostavki) pa se može pomnožiti s
inverznom ("skraćivanje") ili zaključiti da zbog jednoznačnosti inverza
moraju A i A^t biti jednake.

Kod grupe - niste morali provjeravati asocijativnost, nego se samo pozvati
na teorem, ali nije loše za vježbu.

U 1(b) uočite jeste li mogli množenje početi na malo drukčiji način, koji
bi Vam skratio posao.

J. Š.


Primjer 4.

Kolegice ...,

Uglavnom su Vam dobra rješenja i spadaju među bolja
za ovu zadaću, a navest ću Vam nekoliko primjedbi.
Pritom nisam siguran jesam li sve pročitao kako treba,
ne u smislu da ne bi bilo uredno - nego, jednostavno je
malo teško čitati puno teksta u ovakvom obliku.

Usput, ne znam jeste li stigli čitati što sam danas
objavljivao na forumu, možda bi Vam bilo korisno,
iako - Vi niste načinili neke pogreške koje sam objašnjavao.

Osim, kod množenja u 3. zadatku za skup B - mislim da ste
pogriješili, pogledajte opet za umnožak funkcija.

U onim prstenima u 2. zadatku nemojte baš pisati
s minusima, smisao jest taj, ali npr u Z8 = {0,1,2,...,7}
suprotni element za zbrajanje od 2 jest 6, a od 4 je 4 itd.
Bilo mi je malo nepregledno pročitati objašnjenje zašto
je samo u Z5 unaprijed jasno da će biti rješive obje jednadžbe.
Pogledajte za svaki slučaj što piše u skriptama na str. 20.

Kod vektorskih prostora dosta ste se "namučili" ispisujući
naslijeđena svojstva za množenje skalarom,
to nije potrebno.

Sitnica u 3. zadatku: za f(0) pisali ste "slobodni član"
kao da je riječ o polinomu, što ne mora biti jer je to prosto
svih realnih funkcija, među kojima polinomi čine samo
"mali dio". No, za provjeru svojstava nije nikakva "prednost"
ako bi bio polinom.

Uglavnom izgleda mi da razumijete pojmove, a ako ima
poneka pogreška (možda i nešto što mi je promaklo)
da je to više slučajno ili samo nepreciznost.

J. Š.

Primjer 5.

Uglavnom jako dobra zadaća, uz nekoliko primjedbi.

1.(b) - zatvorenost na množenje - pripazite.

2.(b) - završno pitanje o postojanju oba rješenja,
gdje i zašto? (Pogledajte str. 20 u skriptama ako treba)

3.(a) - ne vidim argumente za obje zatvorenosti, možda Vam
je očito, ali treba bar ukratko obrazložti.
I, nemojte pisati npr f(x) + g(x) element od A, nego f + g el. A
(f(x) + g(x) je broj, a ne funkcija).

4. Svojstva množenja skalarom se nasljeđuju,
važna je zatvorenost na obje operacije.

5. Tu ste dobro napisali ( za razliku od nepotpunog 4.)

6. Dobro ste napisali zatvorenost (možda ste jedini po tome),
samo za Abelovu grupu to nije dosta (premda, i ostalo vrijedi).

I još meni jako značajno:
Vaša zadaća je najčitljivija od svih (možda još poneka dosta blizu,
ali rijetko). Bilo bi mi daleko lakše raditi da su sve takve.

J. Š.

Primjer 6.

Kolega ...,

zadaća je većinom dobra, samo je za 3. zadatak pogrešno rješenje.
Kako sam već "davno" objavio upute na forumu za taj zadatak, mislio
sam da će s vremenom prestati dolaziti rješenja s determinantom
matrice koja nije kvadratna, ali eto...

Pošaljite mi samo taj ispravak.

J. Š.