|
Zadaci s 1. kolokvija, 6, svibnja 2022.
1. Neka je F = GF(q) konačno polje od q elemenata.
Incidencijska struktura S zadana je tako da su točke 1-dimenzionalni
potporostori, blokovi 2-dimenzionalni potpostori vektorskog prostora F^4,
a incidencija je inkluzija tj. relacija < (potprostor).
Je li S blok dizajn?
Ako jest, navedite sve osnovne parametre (v, b, r, k, λ).
Koliko zajedničkih točaka mogu imati dva bloka?
Posebno napišite parametre za slučaj q = 2.
2. Agencija za istraživanje tržišta želi testirati 16 proizvoda,
tako da određenom broju kućanstava na uporabu i ocjenjivanje
dostavi neke od tih proizvoda, i to barem 7 proizvoda po kućanstvu.
Naručitelj razmatra i ocjenjivanje 8 proizvoda,
a to bi zbog drukčijeg načina pakiranja udvostručilo cijenu dostave
po svakom kućanstvu.
Testiranje treba isplanirati po shemi blok dizajna. Agencija raspolaže relativno
novim dizajnima s parametrima
4-(16,8,45) i 5-(16,7,10) (patentiranima 2017. godine).
Koja je varijanta jeftinija za naručitelja, po kriteriju ukupne cijene dostave?
Naknadno, naručitelj ustanovi da jedan od proizvoda ne udovoljava
standardima te odustaje od testiranja tog proizvoda.
Kako agencija može modificirati plan testiranja ostalih
proizvoda, koristeći već postojeće dizajne?
Kolika će biti ušteda u odnosu na prvotni plan (izražena omjerom) ?
3. Ispitajte jesu li ispunjeni poznati nužni uvjeti postojanja
simetričnih dizajna ako je zadana vrijednost k = 29, za sve trojke
(v, k, λ) koje dolaze u obzir.
.
4. Grupa G = AGL(1, F) (afina grupa) sastoji se od preslikavanja
oblika φ (x) = ax+b, pri čemu su a, b iz polja F, a ≠ 0.
G djeluje 2-tranzitivno na skupu K = {0,1,2,…,12} elemenata konačnog polja F = GF(13).
Pomoću grupe G konstruirajte neki 2-(13,4, λ) dizajn.
Dovoljno je odrediti osnovni blok i argumentirati vrijednosti parametara.
(Mogući izbor npr. {0,1,5,6}, ali nije obavezno).
5. Razmotrite tvrdnju: za svaki primbroj p i svaki cijeli broj
m > 1 postoji simetrični dizajn s brojem točaka v, p^m < v < p^m+1.
Pokušajte argumentirati istinitost tvrdnje, barem djelomično
to jest u mjeri koliko dopušta poznavanje gradiva.
Zadaci s 1. kolokvija, 6, svibnja 2022.
1. Neka je F = GF(q) konačno polje od q elemenata.
Incidencijska struktura S zadana je tako da su točke 1-dimenzionalni
potporostori, blokovi 2-dimenzionalni potpostori vektorskog prostora F^4,
a incidencija je inkluzija tj. relacija < (potprostor).
Je li S blok dizajn?
Ako jest, navedite sve osnovne parametre (v, b, r, k, λ).
Koliko zajedničkih točaka mogu imati dva bloka?
Posebno napišite parametre za slučaj q = 2.
2. Agencija za istraživanje tržišta želi testirati 16 proizvoda,
tako da određenom broju kućanstava na uporabu i ocjenjivanje
dostavi neke od tih proizvoda, i to barem 7 proizvoda po kućanstvu.
Naručitelj razmatra i ocjenjivanje 8 proizvoda,
a to bi zbog drukčijeg načina pakiranja udvostručilo cijenu dostave
po svakom kućanstvu.
Testiranje treba isplanirati po shemi blok dizajna. Agencija raspolaže relativno
novim dizajnima s parametrima
4-(16,8,45) i 5-(16,7,10) (patentiranima 2017. godine).
Koja je varijanta jeftinija za naručitelja, po kriteriju ukupne cijene dostave?
Naknadno, naručitelj ustanovi da jedan od proizvoda ne udovoljava
standardima te odustaje od testiranja tog proizvoda.
Kako agencija može modificirati plan testiranja ostalih
proizvoda, koristeći već postojeće dizajne?
Kolika će biti ušteda u odnosu na prvotni plan (izražena omjerom) ?
3. Ispitajte jesu li ispunjeni poznati nužni uvjeti postojanja
simetričnih dizajna ako je zadana vrijednost k = 29, za sve trojke
(v, k, λ) koje dolaze u obzir.
.
4. Grupa G = AGL(1, F) (afina grupa) sastoji se od preslikavanja
oblika φ (x) = ax+b, pri čemu su a, b iz polja F, a ≠ 0.
G djeluje 2-tranzitivno na skupu K = {0,1,2,…,12} elemenata konačnog polja F = GF(13).
Pomoću grupe G konstruirajte neki 2-(13,4, λ) dizajn.
Dovoljno je odrediti osnovni blok i argumentirati vrijednosti parametara.
(Mogući izbor npr. {0,1,5,6}, ali nije obavezno).
5. Razmotrite tvrdnju: za svaki primbroj p i svaki cijeli broj
m > 1 postoji simetrični dizajn s brojem točaka v, p^m < v < p^m+1.
Pokušajte argumentirati istinitost tvrdnje, barem djelomično
to jest u mjeri koliko dopušta poznavanje gradiva.
|
