Zadatak 1

[Ilja]

Ovaj zadatak, naspram onog iz MA3, je dosta laksi ,ali je svejedno zanimljiv , a i zelja je da neki asistenti ne budu zakinuti za zadatke iz kompleksne analize.
Zadatak glasi:

Dokazite: Ako je U podskup od C podrucje i f sa U u C holomorfna funkcija na U, takva da je abs(f(z))=abs(f(z')), za sve tocke z,z' iz U, onda je f konstanta (na U).

Jedna mala napomena je da se ovaj zadatak moze rijesiti na (barem) 2 nacina; pri cemu je jedan (od ta dva) jako efikasan.

Sto se nagrade tice, to je nazalost ona ista iz MA3.

Ilja

[Exodus]

Rjesenje:
Neka je u=Re(f) i v=Im(f)
Buduci da je abs(f(z))=abs(f(z')), za sve z,z' iz U, znaci da je (realna) fukcija g(x,y)=x^2+y^2 konstantna na U. Parcijalnim deriviranjem po x i y dobijemo: u(dx)(u)+v(dx)(v)=0
u(dy)(u)+v(dy)(v)=0;

gdje (dx)(u) oznacava parcijalnu derivaciju funkcije u po x, itd.
Buduci da je f holomorfna na U; pomocu Cauchy-Riemannovih jednadzbi:
((dy)(u)+(dx)(v)=(dy)(v)- (dx)(u)=0) dobivamo sistem diferencijalnih jednadzbi: u(dx)(u)+v(dx)(v)=0
u(dx)(v)- v(dx)(u)=0.

Iz toga slijedi:
(u^2+v^2)(dx)(u)=u^2(dx)(u)+uv(dx)(v)=u(u(dx)(u)+v(dx)(v))=0 i
analogno (u^2+v^2)(dx)(v)=0.
Sada pretpostavimo da je (dx)(u)=0 u nekoj tocki z iz U. Zbog neprekidnosti funkcije (dx)(u) je (dx)(u)<>0 na nekoj okolini tocke z. Kako je (u^2+v^)(dx)(u)=0, to je na toj okolini u=v=0, sto je kontradikcija s pretpostavkom da je (dx)(u)=0. Prema tome je (dx)(u)=0 svuda na U. Analogno zakljucujemo da je (dx)(v)=0 na U. Kako je f'=(dx)(u)+i(dx)(v)=0, a U podrucje, dakle otvoren i povezan skup, to je f konstanta na U, sto je i trebalo dokazati.

Pozdrav, M.V.

[Ilja]

To je jedno od rjesenja. Jedino mala ispravka: napisali da je fukcija g(x,y)=x^2+y^2 konstantna na U; a mislili ste da je funkcija g(x,y)=u(x,y)^2+v(x,y)^2 konstantna na U. .
Sve ostalo je vise nego ok, tako da ste osvojili kavu.
Inace, ako nekog zanima , drugo rjesenje ide preko teoremu o otvorenom preslikavanju, koji kaze da holomorfna funkcija koja nije konstanta preslikava otvorene skupove u otvorene, tako da je f(U) otvoren. Ako f nije konstanta onda ni funkcija z-->abs(f(z)) nije konstanta (zbog definicije otvorenog skupa), sto je protivno pretpostavci zadatka.

Ilja