| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Vincent Van Ear
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 08. 2004. (11:29:05)
Postovi: (175)16
|
 Postano: 1:29 sri, 10. 11. 2004 Naslov: Teorem-Bernoulli-jeva nejednakost |
    |
|
|
[color=green]Teorem:
Pretpostavke:n@IN,x@[-1,+oo>
Doprinos: (1+x)^n >= 1+n*x[/color]
Dokaz:
(po aksiomu matematičke indukcije)
S={ n@IN | vrijedi relacija teorema=(*) }
baza:očito zadovoljena => S={1|(*)}
korak indukcije:
pretpostavka: za n@IN vrijedi relacija teorema=> S={n@IN | (*) }
vrijedi li za n+1,odnosno jeli n+1@S ? :
1+x >= 0 ,što će reći da tim brojem možemo množiti našu (nestrogu)nejednakost:
(1+x)^n >= 1+n*x /*(1+x)
(1+x)^n+1 >=(1+n*x)*(1+x)=1+(n+1)*x + n*x^2 >= 1+(n+1)*x ,jer je n*x^2 >0
implikacija zadovoljena=>S={n@IN|(*)}, odnosno relacija dokaza vrijedi za svaki prirodan broj [b]CUBE;)[/b]
Nejasnoća:
1+(n+1)*x + n*x^2 >[color=darkred]=[/color] 1+(n+1)*x
iz relacije se vidi da jednakost neće vrijedi ukoliko u pretpostavci teorema ne stavimo: n@INu{0} ?!
Teorem:
Pretpostavke:n@IN,x@[-1,+oo>
Doprinos: (1+x)^n >= 1+n*x
Dokaz:
(po aksiomu matematičke indukcije)
S={ n@IN | vrijedi relacija teorema=(*) }
baza:očito zadovoljena => S={1|(*)}
korak indukcije:
pretpostavka: za n@IN vrijedi relacija teorema=> S={n@IN | (*) }
vrijedi li za n+1,odnosno jeli n+1@S ? :
1+x >= 0 ,što će reći da tim brojem možemo množiti našu (nestrogu)nejednakost:
(1+x)^n >= 1+n*x /*(1+x)
(1+x)^n+1 >=(1+n*x)*(1+x)=1+(n+1)*x + n*x^2 >= 1+(n+1)*x ,jer je n*x^2 >0
implikacija zadovoljena=>S={n@IN|(*)}, odnosno relacija dokaza vrijedi za svaki prirodan broj CUBE;)
Nejasnoća:
1+(n+1)*x + n*x^2 >= 1+(n+1)*x
iz relacije se vidi da jednakost neće vrijedi ukoliko u pretpostavci teorema ne stavimo: n@INu{0} ?!
_________________
Samo sam jedan čovjek,
samo jedan pakao.
|
|
| [Vrh] |
|
ZELENIZUBNAPLANETIDO
SADE
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 03. 2004. (19:56:15)
Postovi: (54F)16
Lokacija: hm?
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 23:39 sri, 10. 11. 2004 Naslov: Re: Teorem-Bernoulli-jeva nejednakost |
|
|
|
[quote="Vincent Van Ear"]baza:očito zadovoljena => S={1|(*)}
pretpostavka: za n@IN vrijedi relacija teorema=> S={n@IN | (*) }
[/quote]
Argh. Oznake su ti prilično čudne. Htio si napisati valjda 1@S i n@S . To _ne_ znači S={1} i S={n} :!: . Ako baš hoćeš skupovno, {1}C=S i {n}C=S . ;-)
[quote]Nejasnoća:
1+(n+1)*x + n*x^2 >[color=darkred]=[/color] 1+(n+1)*x
iz relacije se vidi da jednakost neće vrijedi ukoliko u pretpostavci teorema ne stavimo: n@INu{0} ?![/quote]
_U toj relaciji_ jednakost doista vrijedi akko je n*x^2=0 , odnosno ako je n=0 ili x=0 .
Pogledavši za te slučajeve originalnu nejednakost,
(1+x)^0=1=1+0*x
(1+0)^n=1=1+n*0 ,
vidimo da za njih zaista vrijedi jednakost.
Dakle, osim slučaja n=0 kojeg si uočio (koji nije obuhvaćen gornjim teoremom striktno kako je napisan, iako se ovaj još lakše dokaže s njim), jednakost može vrijediti i za x=0 .
Naravno, čak i da jednakost uopće nikad ne vrijedi, još uvijek ne bi bilo _pogrešno_ reći "<=" - samo suvišno. 8)
| Vincent Van Ear (napisa): | baza:očito zadovoljena ⇒ S={1|(*)}
pretpostavka: za n@IN vrijedi relacija teorema⇒ S={n@IN | (*) }
|
Argh. Oznake su ti prilično čudne. Htio si napisati valjda 1@S i n@S . To _ne_ znači S={1} i S={n}  . Ako baš hoćeš skupovno, {1}C=S i {n}C=S . 
| Citat: | Nejasnoća:
1+(n+1)*x + n*x^2 >= 1+(n+1)*x
iz relacije se vidi da jednakost neće vrijedi ukoliko u pretpostavci teorema ne stavimo: n@INu{0} ?! |
_U toj relaciji_ jednakost doista vrijedi akko je n*x^2=0 , odnosno ako je n=0 ili x=0 .
Pogledavši za te slučajeve originalnu nejednakost,
(1+x)^0=1=1+0*x
(1+0)^n=1=1+n*0 ,
vidimo da za njih zaista vrijedi jednakost.
Dakle, osim slučaja n=0 kojeg si uočio (koji nije obuhvaćen gornjim teoremom striktno kako je napisan, iako se ovaj još lakše dokaže s njim), jednakost može vrijediti i za x=0 .
Naravno, čak i da jednakost uopće nikad ne vrijedi, još uvijek ne bi bilo _pogrešno_ reći "⇐" - samo suvišno. 
|
|
| [Vrh] |
|
Vincent Van Ear
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 08. 2004. (11:29:05)
Postovi: (175)16
|
| Postano: 1:53 čet, 11. 11. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote] Argh. Oznake su ti prilično čudne.[/quote]
Čudni profesori=>čudne oznake,rimember? :o) ,šalu na stranu:
Ako se strkitno precizno gleda(zašto mislim da si gledao drukčije od striktne preciznosti? :o) )dokaz kako sam ga iznio- onda sam napisao krivo:
Prvo sam S opisao kao skup svih n@IN sa svojstvom da vrijedi relacija teorema,a onda sam se uvjerio da je 1@S i proglasio S jednočlanim skupom...besmislica,imaš praf. :joooj:
[quote]
[quote]Citat:
Nejasnoća:
1+(n+1)*x + n*x^2 >= 1+(n+1)*x
iz relacije se vidi da jednakost neće vrijedi ukoliko u pretpostavci teorema ne stavimo: n@INu{0} ?![/quote]
_U toj relaciji_ jednakost doista vrijedi akko je n*x^2=0 , odnosno ako je n=0 ili x=0 .
Pogledavši za te slučajeve originalnu nejednakost,
(1+x)^0=1=1+0*x
(1+0)^n=1=1+n*0 ,
vidimo da za njih zaista vrijedi jednakost.
Dakle, osim slučaja n=0 kojeg si uočio (koji nije obuhvaćen gornjim teoremom striktno kako je napisan, iako se ovaj još lakše dokaže s njim), jednakost može vrijediti i za x=0 . [/quote]
Ja sam onda dokazao da za n+1 vrijedi : (1+x)^n+1 > 1+(n+1)*x ,i toj nejednakosti jednostavno ''prišijem'' znak jednakosti jer on neće ugroziti ništa : (1+x)^n+1 >= 1+(n+1)*x ,i tvrdnja mi vrijedi za n+1.
Zašto imam osjećaj kao da sam lagao u dokazu ? :o) Moral ? :o)
[quote]Naravno, čak i da jednakost uopće nikad ne vrijedi, još uvijek ne bi bilo _pogrešno_ reći "<=" - samo suvišno. [/quote]
Dakle sve je to zbog 'ili'.Ili je manje,ili je jednako-nismo ništa slagali ako je samo 'manje' !
Možda smo samo malko simbolički-''nehigijenski''. :o)
| Citat: | | Argh. Oznake su ti prilično čudne. |
Čudni profesori⇒čudne oznake,rimember?  ,šalu na stranu:
Ako se strkitno precizno gleda(zašto mislim da si gledao drukčije od striktne preciznosti? )dokaz kako sam ga iznio- onda sam napisao krivo:
Prvo sam S opisao kao skup svih n@IN sa svojstvom da vrijedi relacija teorema,a onda sam se uvjerio da je 1@S i proglasio S jednočlanim skupom...besmislica,imaš praf. 
| Citat: |
| Citat: | Citat:
Nejasnoća:
1+(n+1)*x + n*x^2 >= 1+(n+1)*x
iz relacije se vidi da jednakost neće vrijedi ukoliko u pretpostavci teorema ne stavimo: n@INu{0} ?! |
_U toj relaciji_ jednakost doista vrijedi akko je n*x^2=0 , odnosno ako je n=0 ili x=0 .
Pogledavši za te slučajeve originalnu nejednakost,
(1+x)^0=1=1+0*x
(1+0)^n=1=1+n*0 ,
vidimo da za njih zaista vrijedi jednakost.
Dakle, osim slučaja n=0 kojeg si uočio (koji nije obuhvaćen gornjim teoremom striktno kako je napisan, iako se ovaj još lakše dokaže s njim), jednakost može vrijediti i za x=0 . |
Ja sam onda dokazao da za n+1 vrijedi : (1+x)^n+1 > 1+(n+1)*x ,i toj nejednakosti jednostavno ''prišijem'' znak jednakosti jer on neće ugroziti ništa : (1+x)^n+1 >= 1+(n+1)*x ,i tvrdnja mi vrijedi za n+1.
Zašto imam osjećaj kao da sam lagao u dokazu ? Moral ?
| Citat: | | Naravno, čak i da jednakost uopće nikad ne vrijedi, još uvijek ne bi bilo _pogrešno_ reći "⇐" - samo suvišno. |
Dakle sve je to zbog 'ili'.Ili je manje,ili je jednako-nismo ništa slagali ako je samo 'manje' !
Možda smo samo malko simbolički-''nehigijenski''.
_________________
Samo sam jedan čovjek,
samo jedan pakao.
|
|
| [Vrh] |
|
|
