| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
 Postano: 16:30 pon, 15. 11. 2004 Naslov: zadatak, dva..? |
    |
|
|
1. Nadite bar jednu trojku (A,B,C) prirodnih brojeva manjih od 10 t.d. je
broj (A,B,C)b potpuni kvadrat za svaku bazu b ? b>max{A,B,C}
2. Zadana je baza b i tri medusobno razlicite znamenke sustava s bazom b kojima je suma jednaka b-1 i od kojih niti jedna nije 0. Promatramo sumu svih brojeva kojima se zapis u bazi b sastoji od tri zadane znamenke. Odredte sve baze b za koje je ta suma veca od 1000 i manja od 2000?
1. Nadite bar jednu trojku (A,B,C) prirodnih brojeva manjih od 10 t.d. je
broj (A,B,C)b potpuni kvadrat za svaku bazu b ? b>max{A,B,C}
2. Zadana je baza b i tri medusobno razlicite znamenke sustava s bazom b kojima je suma jednaka b-1 i od kojih niti jedna nije 0. Promatramo sumu svih brojeva kojima se zapis u bazi b sastoji od tri zadane znamenke. Odredte sve baze b za koje je ta suma veca od 1000 i manja od 2000?
|
|
| [Vrh] |
|
cinik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 27. 04. 2003. (23:34:09)
Postovi: (1FB)16
Spol: 
Lokacija: /proc/sys/cpu/
|
| Postano: 17:44 pon, 15. 11. 2004 Naslov: Re: zadatak, dva..? |
|
|
|
[quote="Anonymous"]1. Nadite bar jednu trojku (A,B,C) prirodnih brojeva manjih od 10 t.d. je
broj (A,B,C)b potpuni kvadrat za svaku bazu b ? b>max{A,B,C}
[/quote]
[latex](1,0,0)[/latex] :wink:
[quote]
2. Zadana je baza b i tri medusobno razlicite znamenke sustava s bazom b kojima je suma jednaka b-1 i od kojih niti jedna nije 0. Promatramo sumu svih brojeva kojima se zapis u bazi b sastoji od tri zadane znamenke. Odredte sve baze b za koje je ta suma veca od 1000 i manja od 2000?[/quote]
Pretpostavimo da imamo bazu [latex]B[/latex] i sve takve triplete [latex]a_i,b_i,c_i[/latex]. Vidljivo je da je [latex]B\geq 7[/latex], jer je namanji triplet koji zadovoljava trazeno svojstvo [latex](3,2,1)[/latex].
BSOMP da vrijedi [latex]a_i>b_i>c_i[/latex] Poredajmo te brojeve kao sumu
[latex]\left.\matrix{
&a_1&b_1&c_1\cr
&a_1&c_1&b_1\cr
&&\vdots&\cr
+&c_n&b_n&a_n&\cr
&}\right.[/latex]
U svakom stupcu se za svaki [latex]i[/latex] svaki od [latex]a_i,b_i,c_i[/latex] pojavljuje tocno dvaput, pa je suma svakog stupca jednaka (jer je [latex]a_i+b_i+c_i=B-1[/latex])
[latex]\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n 2(a_i+b_i+c_i)=2nB-2n[/latex]
Suma je onda jednaka (suma svega skupa)
[latex]\displaystyle (2nB-2n)B^2+(2nB-2n)B+(2nB-2n)=2nB^3-2n=\Sigma(B,n)[/latex]
No, ono sto zelimo, jest da je ta suma
[latex]B^3\leq \Sigma(B,n)\leq 2B^3[/latex]
Ako je [latex]n[/latex] veci od [latex]1[/latex], onda iz
[latex]2(n-1)B^3\leq 2n[/latex] slijedi [latex] B^3\leq {n\over n-1}[/latex], pa je [latex]B\leq \root 3 \of 2[/latex], jer je [latex]{n\over n-1}\leq 2[/latex], no to je nemoguce. Dakle, [latex]n=1[/latex].
Eh, ali uvjet [latex]n=1[/latex] zadovoljavaju samo [latex]B\leq 8[/latex]. Za [latex]B=9[/latex] je [latex]n>1[/latex], jer postoje tripleti [latex](4,3,1),(5,2,1)[/latex], a za [latex]B=8[/latex] samo [latex](4,2,1)[/latex]. Sasvim je jasno da [latex]B_1=7[/latex] i [latex]B_2=8[/latex] zadovoljavaju trazenu nejednakost, pa je to rjesenje.
'ave fun!
Sinisa
| Anonymous (napisa): | 1. Nadite bar jednu trojku (A,B,C) prirodnih brojeva manjih od 10 t.d. je
broj (A,B,C)b potpuni kvadrat za svaku bazu b ? b>max{A,B,C}
|
 
| Citat: |
2. Zadana je baza b i tri medusobno razlicite znamenke sustava s bazom b kojima je suma jednaka b-1 i od kojih niti jedna nije 0. Promatramo sumu svih brojeva kojima se zapis u bazi b sastoji od tri zadane znamenke. Odredte sve baze b za koje je ta suma veca od 1000 i manja od 2000? |
Pretpostavimo da imamo bazu  i sve takve triplete  . Vidljivo je da je  , jer je namanji triplet koji zadovoljava trazeno svojstvo  .
BSOMP da vrijedi  Poredajmo te brojeve kao sumu
U svakom stupcu se za svaki  svaki od pojavljuje tocno dvaput, pa je suma svakog stupca jednaka (jer je  )
Suma je onda jednaka (suma svega skupa)
No, ono sto zelimo, jest da je ta suma
Ako je  veci od  , onda iz
 slijedi  , pa je  , jer je  , no to je nemoguce. Dakle,  .
Eh, ali uvjet zadovoljavaju samo  . Za  je  , jer postoje tripleti  , a za  samo  . Sasvim je jasno da  i  zadovoljavaju trazenu nejednakost, pa je to rjesenje.
'ave fun!
Sinisa
_________________
Oslobodjen Senata.
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 19:07 pon, 15. 11. 2004 Naslov: Re: zadatak, dva..? |
|
|
|
[quote="cinik"][quote="Anonymous"]1. Nadite bar jednu trojku (A,B,C) prirodnih brojeva manjih od 10 t.d. je
broj (A,B,C)b potpuni kvadrat za svaku bazu b ? b>max{A,B,C}
[/quote]
[latex](1,0,0)[/latex] :wink:[/quote]
_Prirodnih_ brojeva, Hans. :-P
(1,6,9) .
| cinik (napisa): | | Anonymous (napisa): | 1. Nadite bar jednu trojku (A,B,C) prirodnih brojeva manjih od 10 t.d. je
broj (A,B,C)b potpuni kvadrat za svaku bazu b ? b>max{A,B,C}
|
|
_Prirodnih_ brojeva, Hans. 
(1,6,9) .
|
|
| [Vrh] |
|
cinik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 27. 04. 2003. (23:34:09)
Postovi: (1FB)16
Spol:
Lokacija: /proc/sys/cpu/
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 21:01 pon, 15. 11. 2004 Naslov: Re: zadatak, dva..? |
|
|
|
[quote="cinik"][quote="veky"]
_Prirodnih_ brojeva, Hans. :-P
[/quote]
Od kada, molim te, nula nije prirodni broj? I to jos u racunrastvu?![/quote]
Oduvijek, u hrvatskom jeziku. Nažalost, slažem se, ali je tako.
| cinik (napisa): | | veky (napisa): |
_Prirodnih_ brojeva, Hans.
|
Od kada, molim te, nula nije prirodni broj? I to jos u racunrastvu?! |
Oduvijek, u hrvatskom jeziku. Nažalost, slažem se, ali je tako.
|
|
| [Vrh] |
|
ahri
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 11. 2003. (23:16:07)
Postovi: (193)16
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
|
| [Vrh] |
|
|
