| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Nok
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 12. 2004. (21:48:49)
Postovi: (4)16
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: 
|
 Postano: 13:02 pet, 3. 12. 2004 Naslov: Re: Postoje li "Konveksni" prostori? |
    |
|
|
Hmmm... Konveksnost se prirodno promatra na podskupovima nekog linearnog prostora. Naime, tamo znamo što znači dužina pa možemo definirati konveksne skupove (kao one koji za svake svoje dvije točke sadrže i dužinu čiji su oni krajevi). Tako ne dobivaš ništa kvalitativno novog: preslikavanja koja "čuvaju konveksnost" su upravo afina preslikavanja (kompozicija linearnog preslikavanja i translacije).
Sad, možeš definirati konveksan skup i u nekoj neeuklidskoj geometriji (definicija je formalno ista) pa bi to bili "zakrivljeni" prostori. Ili, općenitije, na plohama (mnogostrukostima).
Zapravo, proučavaju se i sasvim apstraktni koncepti konveksnosti (generalized convex spaces), ali se na njima onda gleda i topologija, a preslikavanja su neprekidna i sl. Sam po sebi pojam konveksnosti (bez ikakve dodatne strukture) i nema smisla gledati. (Možeš ti neke objekte nazvati "konveksnima", a za neka preslikavanja reći da "čuvaju konveksnost", ali što dalje...)
Možeš probati na Google-u searchati "convex spaces". 3/4 rezultata će ti otpasti na "locally convex spaces". Recimo oni su linearni prostori koji još imaju i (lokalno konveksnu) topološku strukturu.
Hmmm... Konveksnost se prirodno promatra na podskupovima nekog linearnog prostora. Naime, tamo znamo što znači dužina pa možemo definirati konveksne skupove (kao one koji za svake svoje dvije točke sadrže i dužinu čiji su oni krajevi). Tako ne dobivaš ništa kvalitativno novog: preslikavanja koja "čuvaju konveksnost" su upravo afina preslikavanja (kompozicija linearnog preslikavanja i translacije).
Sad, možeš definirati konveksan skup i u nekoj neeuklidskoj geometriji (definicija je formalno ista) pa bi to bili "zakrivljeni" prostori. Ili, općenitije, na plohama (mnogostrukostima).
Zapravo, proučavaju se i sasvim apstraktni koncepti konveksnosti (generalized convex spaces), ali se na njima onda gleda i topologija, a preslikavanja su neprekidna i sl. Sam po sebi pojam konveksnosti (bez ikakve dodatne strukture) i nema smisla gledati. (Možeš ti neke objekte nazvati "konveksnima", a za neka preslikavanja reći da "čuvaju konveksnost", ali što dalje...)
Možeš probati na Google-u searchati "convex spaces". 3/4 rezultata će ti otpasti na "locally convex spaces". Recimo oni su linearni prostori koji još imaju i (lokalno konveksnu) topološku strukturu.
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 19:45 pet, 3. 12. 2004 Naslov: Re: Postoje li "Konveksni" prostori? |
|
|
|
[quote="vjekovac"][quote="veky"]Khm... misliš, linearnog prostora nad uređenim poljem? Ili se dužina općenito može definirati u bilo kakvom vektorskom prostoru?[/quote]
Pa zapravo sam mislio isključivo na realne ili kompleksne linearne prostore. (Promaklo mi je... :oops: ) Dobro, moglo bi i općenitije.[/quote]
Pa da, baš sam na to mislio. Koliko "lijepo" mora biti polje?
Eto, kompleksni prostori pokazuju da zapravo i ne mora biti uređeno...
hm... karakteristike 0 ? [:-)]
[quote]Ne znam smisleno definirati dužinu u vektorskom prostoru nad bilo kakvim poljem. Tome nek nas geometri poduče. :)[/quote]
Mea? :-)
[quote](Mislim, ako kažem da je dužina dvočlani skup točaka (svojih "krajeva"), nitko baš neće biti presretan. A ni konveksnost neće biti osobito uzbudljiva.)[/quote]
Hm... naravno, mislio sam na definiciju takvu da ove realne i kompleksne dužine budu njeni prirodni specijalni slučajevi. Ovako nisu. :?
| vjekovac (napisa): | | veky (napisa): | | Khm... misliš, linearnog prostora nad uređenim poljem? Ili se dužina općenito može definirati u bilo kakvom vektorskom prostoru? |
Pa zapravo sam mislio isključivo na realne ili kompleksne linearne prostore. (Promaklo mi je...  ) Dobro, moglo bi i općenitije. |
Pa da, baš sam na to mislio. Koliko "lijepo" mora biti polje?
Eto, kompleksni prostori pokazuju da zapravo i ne mora biti uređeno...
hm... karakteristike 0 ? [ ]
| Citat: | | Ne znam smisleno definirati dužinu u vektorskom prostoru nad bilo kakvim poljem. Tome nek nas geometri poduče. |
Mea?
| Citat: | | (Mislim, ako kažem da je dužina dvočlani skup točaka (svojih "krajeva"), nitko baš neće biti presretan. A ni konveksnost neće biti osobito uzbudljiva.) |
Hm... naravno, mislio sam na definiciju takvu da ove realne i kompleksne dužine budu njeni prirodni specijalni slučajevi. Ovako nisu. 
|
|
| [Vrh] |
|
duje
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31)
Postovi: (55C)16
Spol: 
|
| Postano: 20:33 pet, 3. 12. 2004 Naslov: Re: Postoje li "Konveksni" prostori? |
|
|
|
[quote="Nok"]A dali bi mogli nekako definirati prostore koji su npr. konveksni ...[/quote]
Postoji nesto sto se naziva "prostor konveksnosti" (barem sam ja tako prevodio "convexity space"). Definira se kao uredjeni par (X,C),
gdje je X proizvoljan skup, a C familija podskupova od X sa svojstvom
1) prazan skup i X su iz C;
2) presjek proizvoljne familije elemenata iz C je element iz C.
C se naziva konveksnost, a njezini elementi konveksni skupovi.
(Sada se konveksna ljusku h(A) skupa A moze definirati kao presjek svih konveksnih skupova koji sadrze A.)
Takve strukture se promatraju u okviru grane matematike koja se naziva "aksiomatska teorija konveksnosti".
(U knjiznici ima knjiga (na ruskom)
V.P. Soltan: Vvedenie v aksiomaticeskuju teoriju vypuklosti (vypuklost=konveksnost).)
Obicno se od prostora konveksnosti zahtjeva da zadovoljavaju i treci uvjet:
3) C je zatvorena na unije linearno uredjenih familija podskupova,
tj. ako je L familija skupova iz C sa svojstvom da za svaka dva skupa A,B iz L vrijedi da je A sadrzan u B ili B sadrzan u A, onda je unija svih skupova iz L takodjer iz C.
Svojstva 1), 2), 3) su vrlo slicna svojstvima zatvorenih skupova u toploloskom prostoru. Razlika je u svojstvu 3) gdje se kod topoloskih prostora gledaju konacne unije, a kod konveksnosti linearno uredjene unije. Inace, za konveksnosti koje zadovoljavaju svojstvo 3) kaze se da su "konacno definitne". To dolazi od toga sto za njih vrijedi:
h(A) = unija {h(F): F konacan podskup od A}.
Postoje i objekti koji se nazivaju topolosko-konveksne strukture,
a sastoje se od topoloskog prostora X i konacno definitne konveksnosti C na X koja zadovoljava dva dodatna uvjeta:
4) svaka tocka je konveksan skup;
5) konveksna ljuska svakog konacnog podskupa od X je zatvoren skup.
Obicno se jos zahtjeva da zatvarac svakog konveksnog skupa bude konveksan.
Duje
| Nok (napisa): | | A dali bi mogli nekako definirati prostore koji su npr. konveksni ... |
Postoji nesto sto se naziva "prostor konveksnosti" (barem sam ja tako prevodio "convexity space"). Definira se kao uredjeni par (X,C),
gdje je X proizvoljan skup, a C familija podskupova od X sa svojstvom
1) prazan skup i X su iz C;
2) presjek proizvoljne familije elemenata iz C je element iz C.
C se naziva konveksnost, a njezini elementi konveksni skupovi.
(Sada se konveksna ljusku h(A) skupa A moze definirati kao presjek svih konveksnih skupova koji sadrze A.)
Takve strukture se promatraju u okviru grane matematike koja se naziva "aksiomatska teorija konveksnosti".
(U knjiznici ima knjiga (na ruskom)
V.P. Soltan: Vvedenie v aksiomaticeskuju teoriju vypuklosti (vypuklost=konveksnost).)
Obicno se od prostora konveksnosti zahtjeva da zadovoljavaju i treci uvjet:
3) C je zatvorena na unije linearno uredjenih familija podskupova,
tj. ako je L familija skupova iz C sa svojstvom da za svaka dva skupa A,B iz L vrijedi da je A sadrzan u B ili B sadrzan u A, onda je unija svih skupova iz L takodjer iz C.
Svojstva 1), 2), 3) su vrlo slicna svojstvima zatvorenih skupova u toploloskom prostoru. Razlika je u svojstvu 3) gdje se kod topoloskih prostora gledaju konacne unije, a kod konveksnosti linearno uredjene unije. Inace, za konveksnosti koje zadovoljavaju svojstvo 3) kaze se da su "konacno definitne". To dolazi od toga sto za njih vrijedi:
h(A) = unija {h(F): F konacan podskup od A}.
Postoje i objekti koji se nazivaju topolosko-konveksne strukture,
a sastoje se od topoloskog prostora X i konacno definitne konveksnosti C na X koja zadovoljava dva dodatna uvjeta:
4) svaka tocka je konveksan skup;
5) konveksna ljuska svakog konacnog podskupa od X je zatvoren skup.
Obicno se jos zahtjeva da zatvarac svakog konveksnog skupa bude konveksan.
Duje
|
|
| [Vrh] |
|
|
