Propozicija o ''uniji slika i presjeku slika''

[Vincent Van Ear]

Propozicija(gradivo:funkcije):
Pretpostavke: f:A→B , X,Y C= A
Doprinos:
(i)f(XuY)=f(X)uf(Y)
(ii)f(XnY) C= f(X)nf(Y)

(zar u tvrdnji (ii) ne stoji uvjet XnY!=0 ?
Uvjet je nenužan ako smo se dogovorili da je slika praznog skupa prazan skup,a to je sasvim moguće jer:
prije no što se definira skup oznake f(Ž) zahtjeva se da je Ž C= prirodne domene ,a prazan skup je podskup svakoga skupa pa specijalno i prirodne domene što će omogućiti praznom skupu da se ''progura'' u definiciju slike ?
Laganini sam zbunjen... )

DOKAZI:

Tvrdnja: f(XuY)=f(X)uf(Y)

( Tvrdnja⇒Tvrdnja1:f(XuY) C= f(X)uf(Y) i Tvrdnja2:f(X)uf(Y) C= f(XuY) )

DOKAZ:

Proizvoljni a@f(XuY) ,slika nekog skupa po funkciji nikad nije prazan skup pa sadrži barem jedan element(konstantna funkcija)

Definicija slike⇔postoji neki b@XuY sa svojstvom f(b)=a

Definicija unije⇔b@X ili b@Y , f(b)=a

Definicija slike⇔f(b)@f(X) ili f(b)@f(X) , f(b)=a

Definicija unije⇔f(b)=a@f(X)uf(Y) CUBE;)

Pitanja:

1.Jesam li morao od ''kreiranja'' pretpostavke f(b)=a ''vući ju'' kroz preostale ekvivalencije ili sam jednostavno mogao u početku(kada sam napisao ''Proizvoljni a@f(XuY)'') staviti a:=f(b) pa bi ona bila uključena u svim ekvivalencijama ?

2.Što da sam kod ekvivalencije b@X ili b@Y , f(b)=a krenuo ovako dalje:
I)b@X , f(b)=a
II)b@Y , f(b)=a
Kako bih tada uspio dokazati tvrdnju1 ?

Tvrdnja:f(XnY) C= f(X)nf(Y)

DOKAZ:

Ok,potrebno je dokazati jednu inkluziju(slijeva nadesno) i to je to.

Kako bi dokazao da je tvrdnja(uz pretpostavke teorema dakako) zadana izvan teorema(kao recimo-zadatak) i gdje između skupova f(XnY) i f(X)nf(Y) nema nikakve relacije(time mislim na znak 'C=' ),te gdje je rečeno:'Što stoji između skupova,jednakost ili koja inkluzija ?' ?
Ovako:

DOKAZ:
Vjerujem da je dovoljno dokazati 'C=' i dati kontraprimjer što pobija jednakost f(XnY)=f(X)nf(Y),pa evo:

a@f(XnY) ,slika nekog skupa(podskupa domene) je uvijek neprazan skup pa 'a' postoji.

Def.slike⇒postoji b@XnY sa svojstvom f(b)=a

Def.presjeka⇒b@X i b@Y , f(b)=a

Def.slike⇒f(b)@f(X) i f(b)@f(Y) ,f(b)=a

Def.presjeka⇒f(b)@f(X)nf(Y) CUBE;)

Kontraprimjer što pobija jednakost f(XnY)=f(X)nf(Y) :

f:IR→IR , f(x)=x^2

X=←oo,0]
Y=[0,+oo>

XnY={0}⇒f(XnY)={0}
f(X)=[0,+oo>
f(Y)=[0,+oo>
f(X)nf(Y)=[0,+oo>

zaključak:{0}!={x@IR^+} ,odnosno f(XnY) C= f(X)nf(Y)

Ukoliko ne bi koristio kontraprimjer što pobija jednakost,morao bi opovrgnuti inkluziju:f(X)nf(Y) C= f(XnY) ,kako ovo srušiti ?

_________________
Samo sam jedan čovjek,
samo jedan pakao.

[veky]

[Vincent Van Ear]

[Vincent Van Ear]

(Opaska:da su brojevi skupovi,da se naslutiti iz simbolike: f(7)=f({7}) )

Zadatak:Nađite konkretne skupove A i B i f:A→B , X,Y C= A sa svojstvom f(XnY) C f(X)nf(Y)

Rj.:

f:IR→IR , f(x)=x^2 , X={-1},Y={1}

XnY=0⇒f(XnY)=0

f(X)=1
f(Y)=1

f(X)nf(Y)=1

zaključak: 0 C {1}

Koji je najefektniji način za kreiranje protuprimjera ?Da li jednostavno ''lutanje misli'' po Kartezijevom k.sustavu ?

Postoji još jedno zanimljivo svojstvo slike koje nije spomenuto u propoziciji,a govori o ''ponašanju slike'' s obzirom na skupovnu razliku...

U gornu propoziciju nije navedeno još jedno svojstvo slike odnosno ''njeno ponašanje'' s obzirom na skupovnu razliku,za domaći uradak je dano da se uspostavi točna relacija između f(X/Y) i f(X)/f(Y) ,pa probao sam:

Kako je destrukcija lakša od izgradnje idem pokušati oboriti kontraprimjerom ovaj izraz:f(X/Y)=f(X)/f(Y) :

Kontraprimjer: Uzimam realnu funkciju f realne varijable definirane propisom f(x)=1 ,konstanta

X=<1,2>
Y=<3,4>

f(X)={1}
f(Y)={1}

⇒f(X)/f(Y)=0

X/Y=<1,2>⇒f(X/Y)={1}

Zaključak: f(X/Y)!=f(X)/f(Y) jer {1}!=0

Idem sada dokazati da vrijedi inkluzija f(X)/f(Y) C= f(X/Y) :

Po definiciji podskupa svaki element skupa f(X)/f(Y) mora biti i element skupa f(X/Y) pa uzmem proizvoljan element skupa f(X)/f(Y) i idem dokazati da je on nužno u skupu f(X/Y) :

Proizvoljan a@f(X)/f(Y) ,b: f(b)=a ⇒(*definicija skupovne razlike*)a@f(X) i a!@f(Y)⇒(*definicija slike skupa po funkciji*)postoji b@X t.d. f(b)=a i nePostoji c@Y t.d. f(c)=a(ekvivalentno:Ac@Y f(c)!=a)⇒b@X i b!@Y(jer svaki element skupa Y ima svojstvo da djelovanjem funkcije nad njim preslikavanje ''ne ide'' u element a ,a element b ima upravo to svojstvo)⇒(*definicija skupovne razlike*)b@X/Y⇒(*definicija slike*)f(b)=a@f(X/Y) CUBE;)

Ne mogu vjerovati ali uspjevam dokazati i f(X\Y) C= f(X)\f(Y) :
a@f(X\Y) , b: f(b)=a ⇒(*definicija slike skupa po funkciji*)postoji b@X\Y sa svojstvom f(b)=a ⇒b@X i b!@Y⇒f(b)@f(X) i f(b)!@f(Y)

(b@X i b!@Y⇒f(b)!@f(Y)
dokaz:metodom kontradikcije:
f(b)@f(Y) ⇒postoji b@Y t.d. f(b)@Y kontradikcija)

⇒f(b)@f(X)\f(Y) CUBE;)

_________________
Samo sam jedan čovjek,
samo jedan pakao.

[mdoko]

[Vincent Van Ear]

[veky]

[veky]

[veky]

[Vincent Van Ear]

[veky]

[mdoko]