[quote="mandark"]Pa ako mi netko moze lemu objasniti korak po korak, a kod propozicije samo jednakost.[/quote]
[quote][b]Lema:[/b] Ako je lim (an) != 0 ( n->oo) . Tada postoji neki m e N takav da je |an| >=|A|/2 >0 za svaki n>=m.[/quote]
S A je valjda označen taj limes.
Ako je tako, neprekidnost apsolutne vrijednosti povlači da je lim_n|a_n|=|A| . Iz toga, definicija limesa znači da za svaki eps@|R^+ postoji n(eps) takav da za sve n od njega nadalje, bude ||a_n|-|A||<eps , odnosno |a_n|@<|A|-eps,|A|+eps> .
m:=n(|A|/2) . Odnosno, stavimo eps:=|A|/2 i dobiveni n(eps) označimo s m . Sada za sve |a_n| , n>=m , vrijedi
|a_n|@<|A|-|A|/2,|A|+|A|/2>=<|A|/2,3|A|/2> ,
u svakom slučaju, |a_n|>=|A|/2 .
Ok?
[quote]Šikić je u dokazu leme uzeo BSOMP da A<0., to valjda znači da je limes negativan broj[/quote]
Mda. Samo BSOMP je možda kriva riječ...
Stvar je u tome da on to gleda kao dva slučaja, A<0 V A>0 . No misli da je slučaj A>0 lakše dokazati, pa vam ga je ostavio za zadaću, a dokazao je samo slučaj A<0 .
Gornji dokaz izbjegava rastav na slučajeve, koristeći neprekidnost od || .
[quote] i sada dalje ne kuzim ..ne mogu pratiti nekakvi brojevi sa minusom ispred su veći od nule i sl.[/quote]
Naravno. Ako je A<0 , -A je veći od nule. :-)
Česta miskoncepcija, naročito kod brucoša... unarni minus ne označava negativan broj. On označava _suprotan broj_. A suprotnost je simetrična relacija. Suprotan broj od -3 je 3 .
:idea: [code:1]int A=-3;
if(-A>0)puts("Vidi vidi, broj s minusom ispred je veći od nule!\
n")[/code:1]
;-)
[quote]A ovdje kod dokaza propozicije ako preskočim uvodni dio gdje koristi činjenice iz leme pratim dokaz sve dok ne dodjem do jednoga koraka.
[b]Prop.[/b] Neka je (an) konvergentan niz realnih brojeva i neka vrijedi
A= lim (an)
n->oo
Tada je i niz (1/an) konvergentan i vrijedi da je lim (1/an)=1/A.
n->oo
Evo otprilike dokaza: na pocetkui iz leme je uzeo/našao index m0 i kaže počevši od njega su svi članovi niza oko neke okoline limesa koji po pretpostavci različit od nule takodjer sigurno različiti od nule.[/quote]
To je lousy rečeno ono isto što je precizno rečeno gore u Lemi.
Također, treba ti činjenica da su svi od nule odvojeni okolinom (postoji okolina nule koja ne sadrži ni jednog, uvjeren sam da vidiš koja je to: ).
[quote]Takodejr koristi činjenicu da je niz (an) konvergentan pa uzima jednu proizvoljnu okolinu oko limesa A niza (an) oblika |A||A|*E/ 2 (apsolutno A na kvadrat[/quote]
Prvo, x na kvadrat se može pisati x^2 .
A drugo i bitnije, jesi li svjestan da (u |R ) je |A|^2 zapravo A^2 ? :-)
[quote][b]I sada ne razumijem kao je dobio ovu jednakost[/b] | 1/an - 1/A | == |A - an | / | an | |A| <=
<= |A - an | * 2/|A| |A| < |A||A|E /2 * 2/ |A||A| == E epsilon.[/quote]
Hm. Ne kužim koji korak nije jasan. Da ponovimo: imamo
k0>=m0 => |a_n|>=|A|/2
k0>=n0 => |a_n-A|<A^2*eps/2
Primijetimo da je sve nenegativno.
Dijeljenjem druge nejednakosti prvom, dobijemo
|a_n-A|/|a_n|<A^2*eps/(2|A|/2)=|A|*eps , a podijelivši to još s |A| , imamo
|a_n-A|/|A||a_n|<eps , što smo tražili.
IMO, jednostavnije je (na sličnu foru) dokazati (Cauchyjevim postupkom) da je recipročna vrijednost neprekidna, i onda to trivijalno iskoristiti ovdje.
...
, al definicija: |A| je A ako je A>0, -A ako je A<0, i nula ako je A=0. 
), pa je samim tim i naš -A tam iz početka ziher veće od nule! (e.g. A=-4<0 => |A|=-A=-(-4)=4>0). 
