Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Za mene nerješive indukcije
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Elementarna matematika 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Dardeville
Gost
PostPostano: 14:53 sri, 19. 2. 2003    Naslov: Za mene nerješive indukcije Citirajte i odgovorite
Pokažite da je broj a^(4n+1) - a djeljiv sa 30 za sve a e N i n e N
Dokažite da je broj a(n)= 2^(2n-1) - 9n^2 + 21n -14 djeljiv s 27, za sve
n e N
Dokažite sljedeću jednakost:
1^1 * 2^2 * 3^3 * ... * n^n =< ((2n+1)/ 3)^(n(n+1)/2)
Pokažite da je broj a^(4n+1) - a djeljiv sa 30 za sve a e N i n e N
Dokažite da je broj a(n)= 2^(2n-1) - 9n^2 + 21n -14 djeljiv s 27, za sve
n e N
Dokažite sljedeću jednakost:
1^1 * 2^2 * 3^3 * ... * n^n =< ((2n+1)/ 3)^(n(n+1)/2)


[Vrh]
vsego
Site Admin
Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3562)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
854 = 1068 - 214
Lokacija: /sbin/init
PostPostano: 2:07 čet, 20. 2. 2003    Naslov: Re: Za mene nerješive indukcije Citirajte i odgovorite
Uh, koliko toga... :shock:

Pretpostavit cu da svuda znas provjeriti bazu indukcije (za n=0 ili, eventualno, n=1) i da je pretpostavka uvijek da [i]tvrdnja vrijedi za sve <=n[/i]. Provjeravamo tvrdnju za n+1.

[quote="Dardeville"]Pokažite da je broj a^(4n+1) - a djeljiv sa 30 za sve a e N i n e N[/quote]

a je cijelo vrijeme proizvoljan.

[code:1]a^(4(n+1)+1) - a = a^(4n+5) - a^(4n+1) + a^(4n+1) - a =
= [ a^4n * (a^5 - a) ] + [ a^(4n+1) - a ][/code:1]

Druga uglata zagrada vrijedi po pretpostavci indukcije, pa ostaje pokazati da vrijedi i prva. Sada idemo indukcijom po a:

Baza je a=0 (to smijemo jer pokazujemo da vrijedi za nulu [b]i[/b] sve prirodne brojeve, sto je i vise nego se trazi). Ocito je a^5-a=0 sto je djeljivo s 30.

Pretp da vrijedi za sve <=a; provjeravamo za a+1:

[code:1](a+1)^5 - (a+1) =
= a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 4a =
= (a^5 - a) + 5a (a^3 + 2a^2 + 2a + 1) =
= (a^5 - a) + 5a (a + 1)(a^2 + a + 1)[/code:1]

Po pretpostavci, a^5 - a je djeljivo s 30. Ostaje provjeriti da je f(a) = a (a + 1)(a^2 + a + 1) djeljivo sa 6. To provjeris po slucajevima za a = 6k + i (gdje i ide od 0 do 5) i ispadne da je f(a) uvijek djeljiv sa 6 (provjerih u Methematici :))

Dakle, vrijedi da je (a^5 - a) djeljivo s 30 za svaki cijeli a>=0, pa je dokazan i korak indukcije za n.

[quote="Dardeville"]Dokažite da je broj a(n)= 2^(2n-1) - 9n^2 + 21n - 14 djeljiv s 27, za sve n e N[/quote]

Kao i gore, dosta je pokazati da je r(n) := a(n+1) - a(n) djeljivo s 27. Objasnjenje: ako su a(n) i r(n) djeljivi s 27, onda je i a(n+1) = a(n) + r(n) djeljiv s 27. Tocno to smo i gore radili, samo uz drugaciji zapis. :D

[code:1]r(n) = 12 - 2^(2n - 1) + 2^(2(n + 1) - 1) - 18n =
= 12 + 2^(2n - 1) * 3 - 18n =
= 3 * (2^(2n-1) - 9n^2 + 21n - 14) + 3*9n^2 - 3*21n + 3 * 14 - 18n + 12 =
= 3a(n) + 27n^2 - 81n + 54 =
= 3a(n) + 27(n^2 - 3n + 2)[/code:1]

Kako je a(n) po pretpostavci djeljivo s 27, a iz ostatka smo izlucili 27, zaklucujemo da je r(n) djeljiv s 27. :D

[quote="Dardeville"]Dokažite sljedeću jednakost:
1^1 * 2^2 * 3^3 * ... * n^n =< ((2n+1)/ 3)^(n(n+1)/2)[/quote]

Joj, sad mi je vec malo dosta, a bas i nemam ideje... :? Daklem...

:krcko:
Uh, koliko toga... Shocked

Pretpostavit cu da svuda znas provjeriti bazu indukcije (za n=0 ili, eventualno, n=1) i da je pretpostavka uvijek da tvrdnja vrijedi za sve ⇐n. Provjeravamo tvrdnju za n+1.

Dardeville (napisa):
Pokažite da je broj a^(4n+1) - a djeljiv sa 30 za sve a e N i n e N


a je cijelo vrijeme proizvoljan.

Kod:
a^(4(n+1)+1) - a = a^(4n+5) - a^(4n+1) + a^(4n+1) - a =
     = [ a^4n * (a^5 - a) ] + [ a^(4n+1) - a ]


Druga uglata zagrada vrijedi po pretpostavci indukcije, pa ostaje pokazati da vrijedi i prva. Sada idemo indukcijom po a:

Baza je a=0 (to smijemo jer pokazujemo da vrijedi za nulu i sve prirodne brojeve, sto je i vise nego se trazi). Ocito je a^5-a=0 sto je djeljivo s 30.

Pretp da vrijedi za sve ⇐a; provjeravamo za a+1:

Kod:
(a+1)^5 - (a+1) =
     = a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 4a =
     = (a^5 - a) + 5a (a^3 + 2a^2 + 2a + 1) =
     = (a^5 - a) + 5a (a + 1)(a^2 + a + 1)


Po pretpostavci, a^5 - a je djeljivo s 30. Ostaje provjeriti da je f(a) = a (a + 1)(a^2 + a + 1) djeljivo sa 6. To provjeris po slucajevima za a = 6k + i (gdje i ide od 0 do 5) i ispadne da je f(a) uvijek djeljiv sa 6 (provjerih u Methematici Smile)

Dakle, vrijedi da je (a^5 - a) djeljivo s 30 za svaki cijeli a>=0, pa je dokazan i korak indukcije za n.

Dardeville (napisa):
Dokažite da je broj a(n)= 2^(2n-1) - 9n^2 + 21n - 14 djeljiv s 27, za sve n e N


Kao i gore, dosta je pokazati da je r(n) := a(n+1) - a(n) djeljivo s 27. Objasnjenje: ako su a(n) i r(n) djeljivi s 27, onda je i a(n+1) = a(n) + r(n) djeljiv s 27. Tocno to smo i gore radili, samo uz drugaciji zapis. Very Happy

Kod:
r(n) = 12 - 2^(2n - 1) + 2^(2(n + 1) - 1) - 18n =
     = 12 + 2^(2n - 1) * 3 - 18n =
     = 3 * (2^(2n-1) - 9n^2 + 21n - 14) + 3*9n^2 - 3*21n + 3 * 14 - 18n + 12 =
     = 3a(n) + 27n^2 - 81n + 54 =
     = 3a(n) + 27(n^2 - 3n + 2)


Kako je a(n) po pretpostavci djeljivo s 27, a iz ostatka smo izlucili 27, zaklucujemo da je r(n) djeljiv s 27. Very Happy

Dardeville (napisa):
Dokažite sljedeću jednakost:
1^1 * 2^2 * 3^3 * ... * n^n =< ((2n+1)/ 3)^(n(n+1)/2)


Joj, sad mi je vec malo dosta, a bas i nemam ideje... Confused Daklem...

Krcko, pomagaj!



_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju. Drzim prodike
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
krcko
Forumaš nagrađen za životno djelo
Forumaš nagrađen za životno djelo


Pridružen/a: 07. 10. 2002. (15:57:59)
Postovi: (18B3)16
Sarma = la pohva - posuda
655 = 759 - 104
PostPostano: 9:01 čet, 20. 2. 2003    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="Dardeville"]Pokažite da je broj a^(4n+1) - a djeljiv sa 30 za sve a e N i n e N[/quote]

Ovo prvo moze i jednostavnije. Vrijedi 30=2*3*5, znaci dosta je pokazati da je izraz djeljiv s 2, 3, i 5. Djeljivost s 2 je ocita. Za djeljivost s 3 pogledaju se slucajevi a=3k, a=3k+1 i a=3k+2, uvrsti gore i raspise malo. Za 5 moze slicno, eventualno uz glumatanje neke indukcije po n.


[quote="Dardeville"]Dokažite da je broj a(n)= 2^(2n-1) - 9n^2 + 21n -14 djeljiv s 27, za sve n e N [/quote]

Ja bih to ovako...

[code:1]
a(n+1)=2^(2n+1)-9(n+1)^2+21(n+1)-14=4*2^(2n-1)-9(n+1)^2+21(n+1)-14=(bla bla)=4*a(n)+27(n^2-3n+2)[/code:1]

[quote="Dardeville"]Dokažite sljedeću jednakost:
1^1 * 2^2 * 3^3 * ... * n^n =< ((2n+1)/ 3)^(n(n+1)/2)[/quote]

Ovo slijedi iz aritmeticko-geometrijske nejednakosti, koja kaze da geometrijska sredina nije nikad veca od aritmeticke. Uvrste se brojevi 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4...,n,n,...,n, sredi i dobije ovo gore. Pritom treba koristiti formulu za sumu prvih n prirodnih brojeva i za sumu prvih n kvadrata. Inace, vise ne dajemo takve zadatke na pismenima pa mozes mirno spavati.

Donekle... sutrasnja indukcija bit ce... hmmm... specificna. :twisted: Trebat ce dokazati jednu tvrdnju o skupovima :shock: :horror:
Dardeville (napisa):
Pokažite da je broj a^(4n+1) - a djeljiv sa 30 za sve a e N i n e N


Ovo prvo moze i jednostavnije. Vrijedi 30=2*3*5, znaci dosta je pokazati da je izraz djeljiv s 2, 3, i 5. Djeljivost s 2 je ocita. Za djeljivost s 3 pogledaju se slucajevi a=3k, a=3k+1 i a=3k+2, uvrsti gore i raspise malo. Za 5 moze slicno, eventualno uz glumatanje neke indukcije po n.


Dardeville (napisa):
Dokažite da je broj a(n)= 2^(2n-1) - 9n^2 + 21n -14 djeljiv s 27, za sve n e N


Ja bih to ovako...

Kod:

a(n+1)=2^(2n+1)-9(n+1)^2+21(n+1)-14=4*2^(2n-1)-9(n+1)^2+21(n+1)-14=(bla bla)=4*a(n)+27(n^2-3n+2)


Dardeville (napisa):
Dokažite sljedeću jednakost:
1^1 * 2^2 * 3^3 * ... * n^n =< ((2n+1)/ 3)^(n(n+1)/2)


Ovo slijedi iz aritmeticko-geometrijske nejednakosti, koja kaze da geometrijska sredina nije nikad veca od aritmeticke. Uvrste se brojevi 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4...,n,n,...,n, sredi i dobije ovo gore. Pritom treba koristiti formulu za sumu prvih n prirodnih brojeva i za sumu prvih n kvadrata. Inace, vise ne dajemo takve zadatke na pismenima pa mozes mirno spavati.

Donekle... sutrasnja indukcija bit ce... hmmm... specificna. Twisted Evil Trebat ce dokazati jednu tvrdnju o skupovima Shocked :horror:



_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail Posjetite Web stranice
vsego
Site Admin
Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3562)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
854 = 1068 - 214
Lokacija: /sbin/init
PostPostano: 11:43 čet, 20. 2. 2003    Naslov: Citirajte i odgovorite
[quote="krcko"]Ovo prvo moze i jednostavnije.[/quote]

Znam, ali naglasak je bio na indukcijama, pa sam pokusao sto vise na tu stranu. :? Ipak, thanx for the note. :)

[quote="krcko"]Donekle... sutrasnja indukcija bit ce... hmmm... specificna. :twisted: Trebat ce dokazati jednu tvrdnju o skupovima :shock: :horror:[/quote]

Zasto imam dojam da bi studomat (ili odgovarajuci site) mogao pasti pod navalom ljudi koji hoce odjaviti ispit? :lol:
krcko (napisa):
Ovo prvo moze i jednostavnije.


Znam, ali naglasak je bio na indukcijama, pa sam pokusao sto vise na tu stranu. Confused Ipak, thanx for the note. Smile

krcko (napisa):
Donekle... sutrasnja indukcija bit ce... hmmm... specificna. Twisted Evil Trebat ce dokazati jednu tvrdnju o skupovima Shocked :horror:


Zasto imam dojam da bi studomat (ili odgovarajuci site) mogao pasti pod navalom ljudi koji hoce odjaviti ispit? Laughing



_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju. Drzim prodike
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Elementarna matematika 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan